이차 방정식 \(x^2+x-2=0\)의 해를 구하려면, 가장 손쉬운 방법은 무엇일까요?
먼저, 두 숫자 \(ab=0\)을 만족하는 경우, 또는 그것의 해는 \(a=0\;\mbox{or}\;b=0\)입니다.
이 사실로부터 이차 방정식의 왼쪽 변인 이차 다항식이 두 개의 일차 다항식의 곱으로 인수분해가 되면, 가장 손쉽게 해를 구할 수 있습니다.
따라서, 이차 방정식을 푸는 첫 번째 방법은 인수분해로부터 시작됩니다. 물론, 인수분해가 되지 않으면, 다른 방법을 사용할 것입니다.
\(x^2+x-2=(x+2)(x-1)\)로 인수분해되고, \(x^2+x-2=0\)을 만족하는 숫자는 쉽게 \(x=-2,1\)임을 알 수 있고, 이것이 해입니다.
반면에, 인수분해가 되지 않는 것들은 이차방정식의 근의 공식을 이용해서 해를 구할 수 있습니다.
이차방정식의 근의 공식은 모든 이차방정식에 대해 적용이 가능하지만, 인수분해를 통해 해를 구하는 것이 보다 쉽기 때문에, 우선적으로 인수분해가 되는지 확인하는 것이 공통적입니다.
제곱근을 이용한 풀이
일차항이 없는 \(x^2=3\)과 같은 이차방정식은 이전에 배웠던, 제곱근의 문제입니다. 어쨌든, 그것의 해는 \(x=\sqrt{3}, -\sqrt{3}\)입니다.
이것을 활용하여, 만약 \((x+2)^2=3\)과 같은 이차방정식의 꼴로 만들 수 있으면, 제곱근을 활용하여, \(x+2=\sqrt{3},-\sqrt{3}\)의 결과를 얻어서, \(x=-2+\sqrt{3},-2-\sqrt{3}\)의 해를 얻을 수 있습니다.
다른 예제로서, \(x^2+4x+1=0\)의 해를 구하기 위해, 제곱근을 이용하면, 왼쪽 변에는 완전제곱식이 오고, 오른쪽에는 양수가 와야 합니다. 만약 왼쪽 변이 완전제곱식이고 계수가 양수인데, 오른쪽 변이 음수이면, 제곱근에서 처럼, 해가 없는 경우입니다. 실수는 제곱해서 음수가 될 수는 없습니다!!
다음은 완전제곱식을 이용해서 해를 구하는 과정입니다.
- \(x^2+4x=-1\) : 양쪽 변에서 오른쪽의 상수항을 뺍니다.
- \(x^2+4x+4= -1+4\) : 왼쪽 변이 완전제곱식이 되는 값 4를 양쪽 변에 더합니다.
- \((x+2)^2=3\) : 왼쪽 변을 완전제곱식으로 표현합니다.
- \(x+2=\pm \sqrt{3} \) : 양쪽 변에 제곱근을 취합니다.
- \(x=-2\pm \sqrt{3}\) : 양쪽 변에서 오른쪽 변의 상수항을 뺍니다.
두 번째 과정에서 더할 숫자는 이차항의 계수가 1일 때, 일차항의 절반의 제곱입니다.
다른 예제로서, \(2x^2+3x-1=0\)을 완전제곱식을 이용해서 해를 구하면,
- \(\displaystyle x^2+\frac 32x- \frac 12=0\) : 양쪽 변을 최고차항의 계수로 나눕니다.
- \(\displaystyle x^2+\frac 32x = \frac 12\)
- \(\displaystyle x^2+\frac 32x + \left(\frac{3}{4}\right)^2= \frac 12+ \left(\frac{3}{4}\right)^2\)
- \(\displaystyle \left(x+\frac{3}{4}\right)^2= \frac{17}{16}\)
- \(\displaystyle x+\frac{3}{4}= \pm\frac{\sqrt{17}}{4}\)
- \(\displaystyle x= \frac{-3\pm \sqrt{17}}{4}\)
이 방법으로 모든 이차방정식을 풀 수 있긴 하지만, 매번 이 과정을 반복하는 것은 상당히 귀찮습니다. 이것을 일반화한 것이 이차방정식의 근의 공식입니다.
