일상생활에서 주어진 상황을 식으로 만들면, 이차방정식이 만들어지는 경우가 있습니다. 예를 들어, 친구들과 90개가 들어있는 사탕을 사서, 똑같이 나누어 가지고자 합니다. 나를 포함해서 각 사람들에게 나누어 준 사탕의 개수는 전체 사람 수보다 27만큼 작다고 할 때, 사람의 숫자는 몇 명일까요?
- 먼저, 구하려는 값을 미지수로 만듭니다. 여기서는 사람의 수를 \(x\)로 둡니다.
- 다음으로 문제에 맞는 식을 세웁니다. 각 사람이 받은 사탕의 개수는 \(x-27\)이므로, 이것과 사람의 수를 곱하면, 전체 사탕의 개수와 같아야 합니다. \(x(x-27)=90\)
- 이차방정식을 풉니다. \(x^2-27x-90=(x+3)(x-30)=0\)으로 인수분해되고, 따라서 \(x=-3, 30\)입니다.
- 문제의 의미에 맞는 답을 찾습니다. 사람의 수가 음수일 수는 없으니, \(x=30\)이고, 각각 받은 사탕은 3개입니다.
응용예제
응용예제1
통 속에 주스 원액이 50L 있다. 처음에 일부를 따라내고 따라낸 양만큼 물로 채운 후, 다시 처음보다 5L만큼 더 따라내고 따라낸 양만큼 물로 채웠더니 물과 주스 원액의 양의 비가 11:14가 되었다. 처음에 따라낸 주스 원액의 양은?
해설: 아마도, 이런 문제를 백분율로 만들어진 공식을 이용해서 푸는 방법을 많이 소개할 것입니다. 예를 들어, 다음과 같은 공식을 자주 이용합니다:
\(\displaystyle \%\rm{농도} = \frac{\rm{용질}}{\rm{용액}} \times 100\)
그러나, 이런 식은 문자를 분수로 다룰 가능성이 높기 때문에, 생각보다 다루기 쉽지 않을 수 있습니다.
이런 방법보다는 가능한 나눗셈을 하지 않고 해결하는 접근법을 알아 둘 필요가 있습니다.
먼저, 초기 상태에서 원액은 50L, 물은 0L 있습니다.
처음 \(x\)만큼 따라내고, 물은 \(x\)만큼 넣으면, 원액과 물은 아래의 비를 가집니다:
\(\quad\)원액 : 물 = \(50-x\) : \(x\)
다음에는 전체에서 \(x+5\)만큼 따라내고, 물은 \(x+5\)만큼 넣는데, 이전과는 다르게 원액과 물이 섞여있기 때문에, 원액과 물이 같은 비율로 없어지고, 물만 첨가됩니다.
예를 들어, 원액이 40L 있고, 물이 10L 있다고 가정하면, 물을 완전히 없앨 수는 없는데, 왜냐하면 물 10L는 전부이기 때문에, 원액도 40L 전부를 버린다는 의미이기 때문입니다.
어쨌든, 물을 1L 버리면, 10개 중에 1개를 버리니까, 원액은 10×4 따라서 4L를 버리게 됩니다. 다른 경우로써, 물을 5L 버리면, 절반을 버렸으므로, 원액은 20L를 버리게 됩니다. 이때, 원래 있던 값에 곱해서 버리는 양을 결정하는 값을 비율이라고 합니다. 여기서 물 10L×0.1{{=}}1L와 같이 생각할 수 있으므로, 비율은 0.1이 됩니다.
한편, 우리는 이 값을 모르기 때문에, \(k\) 비율만큼 버릴 것이라고 가정합니다. 따라서, 버려지게 되는 양은 각각, 원액과 물에 대해 다음과 같습니다:
\(\quad\)\((50-x)k\), \(xk\)
이제 원래의 값에서 남아있는 양과 첨가되는 물의 양 \(x+5\)를 더하면, 원액과 물은 아래와 같습니다:
\(\quad\)\((50-x)-(50-x)k\), \(x-kx+(x+5)\)
게다가, 버린 양은 전체의 비율만큼, 즉, \(50k=x+5\)임을 알 수 있습니다. 역시, 물과 원액은 11:14의 비율이므로, 50L를 맞추려면, 2를 곱해서 22:28임을 알 수 있습니다.
따라서, 우리가 사용할 수 있는 식은 아래의 세 가지 식입니다:
\(\quad\)\(50k=x+5\)
\(\quad\)\((50-x)-(50-x)k=28\)
\(\quad\)\(x-kx+(x+5)=22\)
응용예제2
\(100g\)의 물이 들어있는 컵에 얼마만큼의 물을 퍼낸 다음, 퍼낸 물의 양과 같은 양의 설탕을 넣어 완전히 녹였다. 이 설탕물에서 처음 퍼낸 물보다 \(10g\) 더 많은 설탕물을 퍼내고 퍼낸 설탕물의 양만큼 설탕을 다시 넣었더니 \(44\%\)의 설탕물이 되었다. 처음 퍼낸 물의 양은?
해설: 응용예제1과 마찬가지로 농도를 다룰 때, 가능한 공식을 사용하지 않고 푸는 연습이 필요합니다. 게다, 이 문제는 항상 용액의 양이 \(100g\)으로 유지되기 때문에, 용질, 즉, 설탕의 개수가 농도와 같음을 이용할 수 있습니다.
처음 퍼낸 양의 \(xg\)이라고 놓으면, 처음 물을 퍼내고 설탕을 같은 양만큼 넣으므로, 설탕은 용액에 \(xg\)이 있습니다.
이제 여기서, \((x+10)g\)을 퍼낼 때, 설탕이 얼마나 없어지는지 계산해야 합니다. 다음 비례식을 생각해 보십시오:
\(\quad\)\(100:x=(x+10):y\)
이 식은 설탕물 100에 \(x\)의 설탕이 있을 때, \((x+10)\)에 \(y\)의 설탕이 있음을 의미합니다. 이것을 계산할 때, 내항의 곱은 외항의 곱과 같음을 이용할 필요가 없습니다.
다음 비례식을 생각해 보십시오:
\(\quad\)\(3:2=6:a\)
이 식을 풀 때, 내항의 곱은 외항의 곱과 같음을 이용하지 않습니다. 대신에, 앞의 것이 2배가 되었으니, 뒤의 것도 2배가 되어야 하니까, \(a =4\)임을 바로 알 수 있습니다.
위 식에서도 배수를 알면 바로 구할 수 있습니다. 배수를 구할 때, 먼저, 숫자 또는 문자를 1로 만듭니다. 현재는 숫자 100이 주어져 있으므로, 1로 만들기 위해 1/100을 곱합니다. 즉, 무조건 곱셈의 역원을 곱하면 끝입니다. 그런-다음 1이 \((x+10)\)이 되어야 하므로, 해당 식을 곱합니다. 즉, 배수는 \((x+10)/100\)입니다. 따라서, 구하려는 값은 다음과 같습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle y=\frac{x+10}{100}\times x\)
설명이 복잡해 보이지만, 간단하게 계산하기 위해, 공식을 이용하지 않고 푸는 과정을 단계별로 머릿속에서 진행함으로써, 같은 효과를 얻게 됩니다. 즉, 중간에 설명은 전부 없어지고, 주어진 식으로부터 바로, 퍼낸 설탕을 얻을 수 있습니다.
이제 다음 식을 적을 수 있습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle x-\frac{x+10}{100}\times x+(x+10)=44\)
이차방정식이므로, 결과는 2개가 나옵니다. 퍼낸 양은 전체 양보다 클 수 없으므로, \(x=20\)입니다.
응용예제3
\(\rm{A, B}\) 두 지점 사이의 거리가 \(30km\)이다. 영재는 시속 \(8km\)로 \(\rm{B}\)를 향하여 \(\rm{A}\)를 출발하고, 수재는 \(\rm{A}\)를 향하여 \(\rm{B}\)를 출발하였다. 두 사람이 동시에 출발하여 도중에 만난 지 1시간 20분 후에 수재가 \(\rm{A}\)에 도착하였다. 수재의 속력을 \(akm\), 두 사람이 만날 때까지 걸린 시간을 \(b\)시간이라 할 때, \(a−3b\)의 값은?
해설: 이 문제는 주의가 필요합니다. 시험 출제에서는 직선 운동을 한다 또는 최단 거리로 움직인다 등의 문구를 추가해서 의문점을 없애는 것이 좋겠습니다.
시속 \(8km\)와 같은 표현이 적합한지도 의문입니다. 시속의 단위는 \(km/h\)이므로, 주의가 필요해 보입니다.
한편, 이런 문제는 수학 문제라기보다는 물리 문제에 가깝습니다. 물리 문제에서는 차원이 맞아야 계산이 됩니다. 주어진 문제는 시속을 사용하고 있으므로, 시간 단위를 시간(hour)으로 만들어야 합니다. 분수가 나온다고 정수를 만들기 위해 분 단위로 만들어서는 안 됩니다.
그리고, 가능한 다음 식을 사용하는 것이 분수를 피할 수 있기 때문에, 이해하기 쉽습니다.
\(\quad\)거리=속력×시간
처음 두 사람이 만났다는 의미는 두 사람이 움직인 거리의 합이 30임을 의미합니다: 차원을 맞추고 나면, 단위는 생략해도 상관없습니다.
\(\quad\)\(8b+ab=30\)
다음으로, 수재는 거리 30을 움직이므로, 다음 식을 세울 수 있습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle a\left(b+\frac{4}{3}\right)=30\)
오른쪽 변이 같으므로, 왼쪽 변이 같음을 이용하는 것이 한 가지 방법입니다:
\(\quad\)\(\displaystyle 8b+ab=a\left(b+\frac{4}{3}\right)\)
이것으로부터, \(a=6b\)임을 알 수 있으므로, 위의 식 중 하나에 대입해서 계산할 수 있습니다. 이때, 속력은 음수가 될 수 없으므로, 양수를 답으로 찾아야 합니다:
\(\quad\)\(\displaystyle a=10,\;b=\frac{5}{3}\)
