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수학

(중학교) 유리수와 순환소수

by 다움위키 2023. 11. 8.

십진수(소수)를 배우기 전에, 유리수는 두 정수의 비값을 참조하는 용어입니다. 즉,

ab(b0)

이제 유리수를 십진수로 표현했을 때, 그 특징을 알아보려고 합니다.

먼저, 유리수를 십진수로 표현하기 위해서는 긴 나눗셈 등을 사용할 수 있습니다. 예를 들어,

  • 111=0.090909
  • 73=2.333
  • 35=0.6

유리수를 십진수로 나타내면, 0.6과 같이 십진점(소수점) 아래에 유한 개의 비-영 숫자를 갖는 것을 유한소수라고 참조하고, 0.090909,2.333와 같이 십진점 아래에 무한히 많은 비-영 숫자를 갖는 것을 무한소수라고 말합니다.

무한소수는 위와 같이 같은 것이 반복되는 순환소수와 그렇지 않은 순환하지 않는 무한소수로 나뉘고 중학교 3학년 과정의 무리수에서 다루어집니다.

이제 한 가지 의문이 생길 수 있는데, 그럼, 유리수 중에서 유한소수와 무한소수는 어떻게 구별할 수 있을까요?

결론적으로, 유리수 중에서 유한소수는 유리수를 분수로 나타내었을 때, 분모가 10의 지수배로 바꿀 수 있어야 합니다. 그래야 분수를 십진수로 만들었을 때, 소수점 아래에 유한한 개수의 비-영 숫자가 나타납니다.

이 말은 분모를 소인수분해했을 때, 오직 2와 5로 구성되어야 함을 의미합니다.

예를 들어,

  • 35=3×25×2=610=0.6
  • 34=3×254×25=75100=0.75
  • 1320=13×520×5=45100=0.45

위의 기약 분수는 모두 분모가 2 또는 5로 구성됩니다. 

기약 분수가 분모에 2와 5 이외의 숫자를 포함하고 있을 때, 그 숫자는 유한소수가 되지 않기 때문에 무한소수가 됩니다.

순환소수

앞에서도 언급했듯이, 유리수 중에서 무한소수는 십진점 아래의 숫자가 무한히 반복되는 것들을 참조합니다. 이때 무한히 반복되는 숫자의 시작에서 끝부분까지를 순환마디라고 합니다.

순환소수는, 물론 수학에서 점 3개를 연속적으로 찍는 것이 같은 규칙으로 반복됨을 의미할 수 있을지라도, 표기법은 덜 직관적입니다. 이런 연유로 보다 명확한 표기법이 필요합니다. 예를 들어,

0.090909=0.0˙9˙ : 여기서 순환마디는 09입니다. 9라고 해서는 안됩니다!!

0.25112511=0.2˙511˙ : 여기서 순환마디는 2511입니다.

위에서 언급한 것처럼, 유리수를 순환소수로 바꿀 때, 긴 나눗셈 등을 사용할 수 있습니다.

그럼, 반대로 순환소수를 유리수로는 어떻게 나타낼 수 있을까요? 반복하기는 하지만, 어쨌든, 무한한 것을 분모와 분자가 유한한 유리수로 바꾸는 것이 이상해 보일 수 있습니다.

이 변환은 역시 무한하지만 반복적이라는 것에서 출발합니다.

가장 쉬운 순환마디가 하나인 것을 유리수로 바꾸어 보면, 원래 숫자를 x로 놓고 밑에 적고, 그것에 순환마디만큼 10의 지수배를 곱해서 위에 둡니다. 예를 들어,

10x=3.333x=0.333

그런-다음 변변 뺍니다:

9x=3

따라서, x=0.3˙=39=13입니다.

만약, 순환마디가 2개이면, 102=100을 곱해서 같은 과정을 거칩니다. 예를 들어,
100x=9.090909x=0.090909

그런-다음 변변 빼면,

99x=9

따라서, x=0.0˙9˙=999=111입니다.

한편, 십진점 아래에 순환마디가 아닌 숫자를 포함하는 무한소수가 있습니다. 이때에는 x자체를 사용하지 않고, 순환마디 앞까지가 십진점 앞으로 가도록 10의 거듭제곱을 곱합니다. 그런 다음 그 숫자에 순환마디의 개수만큼 10의 거듭제곱을 곱합니다. 

예를 들어, x=0.34˙이면, 먼저 1개가 순환마디에 들어가지 않으므로 10을 곱하고, 그런-다음 순환마디가 1개이므로 그 숫자에 10을 다시 곱합니다:
100x=34.444410x=3.4444

이제 변변 빼면,

90x=31

따라서, x=0.34˙=3190입니다.