정비례에서, \(x\)의 값이 배수에 따라 변함에 따라, \(y\)의 값도 어떤 값의 배수로 변하는 경우였습니다.
이제, 다른 경우로서, 해야 할 일이 24개가 있다고 생각해 보십시오. 한 시간에 1개씩 처리하면, 24시간이 걸리고, 한 시간에 2개씩 처리하면, 12시간이 걸리고, 3개씩 처리하면, 8시간이 걸리고, 이런 식으로 계속됩니다.
이와 같이, 시간 당 하는 일이 1배, 2배, 3배, 등으로 늘어나면, 해야 할 일은 \(\frac11\)배, \(\frac12\)배, \(\frac13\)배, 등으로 줄어드는데, 이것을 반비례라고 말하고, 둘 사이의 곱은 항상 일정합니다.
게다가, 위의 예제에서, 시간당 처리할 수 있는 능력을 \(x\)로 두고, 남은 해야 할 일을 \(y\)로 두면,
\(\quad\)\(x=1\)일 때, \(y=24\)
\(\quad\)\(x=2\)일 때, \(y=12\)
\(\quad\)\(x=3\)일 때, \(y=8\), 등과 같은
값을 가지고, 두 변수의 관계는 항상 \(xy=24\)를 만족하고, 따라서, \(\displaystyle y=\frac{24}{x}\)로 표현할 수 있습니다.
일반적으로, 두 변수 \(x,y\)가 반비례 관계일 때, 그 관계는 다음과 같습니다:
\(\quad\)\(xy=a\;\Leftrightarrow\; y=\frac{a}{x}\;\) (단, \(a\ne 0\))
이제, 두 변수 사이의 관계식 \(y=\frac{6}{x}\)의 그래프를 그려보자면, 우선, 계산하기 쉬운 값을 대입해서 그것의 경향을 파악해 봅니다.
만약 이런 값으로도 그래프의 경향이 잘 나타나지 않을 때에는 그 사이의 유리수를 대입해서 좀 더 데이터의 개수를 추가해 볼 수 있습니다.
| \(x\) | \(\cdots\) | \(-6\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(6\) | \(\cdots\) | |||||
| \(y\) | \(\cdots\) | \(-6\) | \(-2\) | \(-3\) | \(-6\) | \(6\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(\cdots\) | |||||
이제, 위의 순서쌍을 좌표 평면 위에 표시합니다.
그런-다음 점들의 경향을 직선 또는 곡선으로 연결해 봅니다.
반비례 그래프는 크게 2가지로 나뉩니다.
먼저, 좌표평면의 제1사분면과 제3사분면을 지나는 반비례 그래프는 \(a\)의 값은 양수입니다. 나머지 하나는 좌표평면의 제2사분면과 제4사분면을 지나는 그래프로써 \(a\)의 값은 음수입니다.
실제로 반비례라는 용어는 잘 사용하지 않고, 나중에 함수를 배운 후에 유리함수라고 불리고, 보다 구체적으로 직각 쌍곡선이라고 불립니다.