과거에 식을 미지수로 사용하여 계산하기 전에는 문장으로 그 순서와 계산을 표현했습니다. 예를 들어, 구하려는 것은 계수가 0이 아니면 상수항에 −1을 곱해서 계수로 나눈 것이고, 계수가 0이면, 그 값은 무수히 많거나 구할 수 없는 경우입니다.
위의 것은 앞으로 배울 일차방정식에 해를 표현하는 것으로써, 지금은 이해되지 않아도 좋습니다.
어쨌든, 문자를 사용하지 않고, 식을 표현하거나, 값을 구하는 것은, 복잡하면 할수록 표현하기 힘든 것은 당연하고, 이것을 다른 사람들이 이해하는 데 엄청난 노력이 필요할 것임을 짐작할 수 있습니다.
이런 이유 등으로, 숫자와 문자를 사용하여, 주어진 상황을 수학적으로 표현합니다.
가장 간단한 경우를 생각해 보십시오.
한 개에 500원하는 볼펜을 10개를 살 때, 단계적으로 생각하면, 1개를 사고 500원을 내고 또 1개를 사고 500원을 내고, 이런 식으로 반복되므로, 500원을 10번 더하는 연산입니다. 어쨌든, 같은 숫자를 더하는 과정이므로, 덧셈보다는 곱셈을 사용하는 것이 더 효율적이고, "500×10"으로 계산될 수 있습니다. 만약, 사려는 볼펜의 개수가 아직 정해지지 않았다면, 사려는 볼펜의 개수를 미지수 \(x\)로 나타내고, 총 구입 금액은 \(500 \times x\)로 나타낼 수 있습니다.
한편, 문자를 통한 사칙연산이 많아지면서, 표기법을 좀 더 간결하게 만들 필요가 생겼고, 자주 사용하는 것 중에 ×
기호를 생략해서 적는데, 몇 가지 관례가 있습니다:
- 숫자와 문자의 곱은 문자 앞에 숫자를 씁니다: \(500\times x = 500x\)
- 문자끼리의 곱은 알파벳 순으로 씁니다: \(x \times y \times a=axy\)
- 같은 문자의 곱은 거듭제곱으로 나타냅니다: \(x\times x\times x\times y\times y = x^3 y^2\)
다른 연산 중에서 나눗셈 \(\div\)는 여러 번 나타나게 되면 혼동을 초래할 가능성이 있습니다. 나눗셈은 역수의 곱셈과 항상 같은 결과를 가지므로, 나눗셈을 분수꼴로 나타내는 것이 보다 직관적이어서 계산에서 실수를 줄일 수 있을 것입니다:
\(\quad\)\(\displaystyle x \div 2 = x \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}x\)
값의 평가
어떤 상황을 식으로 만들면, 위의 예제에서, 500원짜리 볼펜을 \(x\)개 구매하면, 다음과 같이 표현됩니다:
\(\quad\)\(500x\)
그렇다면, 10개 구매한 볼펜의 가격은 얼마일까요?
물론 이 금액은 \(500\times 10\)이 되는데, 위 식의 \(x\) 대신에 10을 대입, 또는 대체함으로써 식을 평가할 수 있습니다.
