제곱근의 나눗셈에서, 두 제곱근 사이의 나눗셈, 예를 들어, \(\sqrt{\frac 73}\)를 계산하려면, 여러 가지 방법을 생각할 수 있습니다.
먼저, \(\sqrt{\frac 73} \approx \sqrt{2.33}\)으로 근삿값을 취한 후에, 제곱근 테이블에서 그것의 근삿값, 1.526을 읽을 수 있습니다.
다음으로, \(\sqrt{\frac 73} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\)으로 계산한 후에, 제곱근 테이블에서 각각의 근삿값을 읽어, \(\frac{2.646}{1.732}\)으로 계산할 수 있지만, 마지막 나눗셈이 상당한 부담이 있습니다.
다음으로, 분모의 제곱근을 분모와 분자에 곱하여 계산할 수 있습니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
\sqrt{\frac 73} & = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \\
& = \frac{\sqrt{7} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}} \\
& = \frac{\sqrt{21}}{3} \\
& \approx \frac{4.583}{3} \\
& \approx 1.528 \\
\end{align}\)
이 경우에서는 세 번째 방법이 참값에 가장 가깝습니다.
어쨌든, 첫 번째 방법은 먼저 나눗셈을 수행하고, 세 번째는 마지막에 나눗셈을 수행합니다.
한편, 분수로 표현된 여러 유리수와 무리수를 더할 때에는 개별적으로 모든 항을 첫 번째 방법을 통해 계산한 후에 결과를 계산할 수 있습니다. 이럴 경우는 매 항의 계산에서 오차가 발생할 수 있습니다. 어떨 때에는 오차가 누적되어 참값에서 상당히 먼 결과를 얻을 수 있다는 단점이 있습니다.
다른 방법은, 유리수의 계산에서 처럼, 공통 분모를 통해, 계산을 수행할 수 있습니다. 이 방법은 위의 세 번째 계산을 통해 분모를 유리수로 만들어 두면, 나머지 계산은 유리수에서 했던 방법을 그대로 적용할 수 있어서, 이미 충분히 연습된 방법을 이용할 수 있다는 장점이 있습니다.
따라서, 분모에 제곱근을 포함하고 있을 때에는 분모를 유리수로 만들어서 계산하는 과정이 필요합니다. 분모의 유리화 과정은 변형을 하는 과정이므로, 오차를 발생시키지 않습니다.
분모 유리화의 또 하나의 장점은 분모를 정수로 만듦으로써 어느 정도의 숫자인지 짐작하기가 쉽다는 것입니다. 예를 들어, \(\frac{\sqrt{15}}{3}\)와 같은 숫자는 분자가 3.xxx이고 분모가 3이라서, 1.xxx 정도의 숫자임을 쉽게 알 수 있습니다. 반면에, 분모 유리화를 하기 전의 숫자, \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\)는 덜 직관적입니다.
