수학(mathematics), 특히 선형 대수(linear algebra)에서, 영 행렬(zero matrix) 또는 널 행렬(null matrix)은 모든 엔트리가 영(zero)인 행렬(matrix)입니다. 그것은 역시 \(m \times n\) 행렬의 덧셈 그룹(additive group)의 덧셈 항등원(additive identity)으로 역할을 하고, 기호 \(O\) 또는 \(0\)과 문맥에 맞게 행렬의 차원에 해당하는 아래첨자로 표시됩니다. 영 행렬의 몇 가지 예제는 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle
0_{1,1} = \begin{bmatrix}
0 \end{bmatrix}
,\
0_{2,2} = \begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \end{bmatrix}
,\
0_{2,3} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
.\
\)
Properties
링(ring) K에서 엔트리를 갖는 \(m \times n\) 행렬의 집합은 링 \(K_{m,n}\)을 형성합니다. \(K_{m,n} \, \)에서 영 행렬 \(0_{K_{m,n}} \)은 모든 엔터리가 \(0_K \, \)와 같은 행렬이며, 여기서 \(0_K \)는 K에서 덧셈 항등원(additive identity)입니다.
\(\quad\displaystyle
0_{K_{m,n}} = \begin{bmatrix}
0_K & 0_K & \cdots & 0_K \\
0_K & 0_K & \cdots & 0_K \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0_K & 0_K & \cdots & 0_K \end{bmatrix}_{m \times n}
\)
영 행렬은 \(K_{m,n} \, \)에서 덧셈 항등원입니다. 즉, 모든 \(A \in K_{m,n} \, \)에 대해, 그것은 다음 방정식을 만족시킵니다:
\(\quad 0_{K_{m,n}}+A = A + 0_{K_{m,n}} = A.\)
임의의 주어진 차원 \(m \times n\) (주어진 링에서 엔트리를 가짐)의 정확하게 하나의 영 행렬이 있으므로, 문맥이 명확할 때, 종종 그 영 행렬로 참조합니다. 일반적으로, 링의 영 원소(zero element)는 고유하고, 전형적으로 부모 링을 나타내는 데 아래첨자 없이 0에 의해 표시됩니다. 따라서 위의 예제는 임의의 링에 걸쳐 영 행렬을 나타냅니다.
영 행렬은 역시 모든 벡터(vectors)를 영 벡터(zero vector)로 보내는 선형 변환(linear transformation)을 나타냅니다. 그것은 거듭상등(idempotent)이며. 그것에 자체를 곱할 때, 결과가 자체임을 의미합니다.
영 행렬은 그 랭크(rank)가 0인 유일한 행렬입니다.
Occurrences
모탈 행렬 문제(mortal matrix problem)는 정수 엔트리를 갖는 n × n 행렬의 유한 집합이 주어졌을 때, 그것들이 어떤 순서로, 반복과 함께 가능하게 곱해져서 영 행렬을 생성할 수 있는지 여부를 결정하는 문제입니다. 이것은 6개 이상의 3×3 행렬의 집합, 또는 2개의 15×15 행렬의 집합에 대해 비-결정가능인 것으로 알려져 있습니다.
보통의 최소 제곱(ordinary least squares) 회귀에서, 만약 데이터에 완벽하게 적합한 것이 있으면, 소멸자 행렬(annihilator matrix)은 영 행렬입니다.
See also
- Identity matrix, the multiplicative identity for matrices
- Nilpotent matrix
References
- Lang, Serge (1987), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 25, ISBN 9780387964126, We have a zero matrix in which aij = 0 for all i, j. ... We shall write it O.
- "Intro to zero matrices (article) | Matrices". Khan Academy. Retrieved 2020-08-13.
- Weisstein, Eric W. "Zero Matrix". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-13.
- Warner, Seth (1990), Modern Algebra, Courier Dover Publications, p. 291, ISBN 9780486663418, The neutral element for addition is called the zero matrix, for all of its entries are zero.
- Bronson, Richard; Costa, Gabriel B. (2007), Linear Algebra: An Introduction, Academic Press, p. 377, ISBN 9780120887842, The zero matrix represents the zero transformation 0, having the property 0(v) = 0 for every vector v ∈ V.
- Cassaigne, Julien; Halava, Vesa; Harju, Tero; Nicolas, Francois (2014). "Tighter Undecidability Bounds for Matrix Mortality, Zero-in-the-Corner Problems, and More". arXiv:1404.0644 [cs.DM].