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(번역) Zero divisor

by 다움위키 2024. 4. 20.
Original article: w:Zero divisor

 

추상 대수학(abstract algebra)에서, 링(ring) R의 원소(element) a는, 만약 ax = 0을 만족하는 영이 아닌 x가 존재하면 왼쪽 영제수(left zero divisor)라고 불리거나, 또는 만약 x에서 ax로 보내는 R에서 R로의 맵이 단사가 아니면 마찬가지입니다. 비슷하게, 링의 원소(element) a는 만약 ya = 0을 만족하는 비-영 y가 존재하면 오른쪽 영제수(right zero divisor)라고 불립니다. 이것은 링에서 나눔 가능도(divisibility)의 부분적인 경우입니다. 왼쪽 또는 오른쪽 영제수인 원소는 간단히 영제수(zero divisor)라고 불립니다. 왼쪽 및 오른쪽 영제수 둘 다인 원소 a는 양-측 영제수(two-sided zero divisor)라고 불립니다 (ax = 0을 만족하는 비-영 x는 ya = 0을 만족하는 비-영 y와 다를 수 있습니다). 만약 링이 교환 가능이면(ring is commutative), 왼쪽 및 오른쪽 영제수는 같습니다.

왼쪽 영제수가 아닌 링의 원소는 왼쪽 정규(left regular) 또는 왼쪽 취소-가능(left cancellable)이라고 불립니다. 비슷하게, 오른쪽 영제수가 아닌 링의 원소는 오른쪽 정규(right regular) 또는 오른쪽 취소-가능(right cancellable)이라고 불립니다. 왼쪽 및 오른쪽 취소-가능이고 따라서 영제수가 아닌 링의 원소는 정규(regular) 또는 취소-가능(cancellable), 또는 비-영-제수(non-zero-divisor)라고 불립니다. 비-영인 영제수는 비-영 영제수(nonzero zero divisor) 또는 비-자명한 영제수(nontrivial zero divisor)라고 불립니다. 비-자명한 영제수를 갖지 않는 비-영 링은 도메인(domain)이라고 불립니다.

Examples

  • 링(ring) \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\)에서, 잔여 클래스 \(\overline{2}\)는 영제수인데 왜냐하면 \(\overline{2} \times \overline{2}=\overline{4}=\overline{0}\)이기 때문입니다.
  • 정수의 링 \(\mathbb{Z}\)의 오직 영제수는 \(0\)입니다.  
  • 비-영 링의 거듭제곱영(nilpotent) 원소는 항상 양-측 영제수입니다.
  • 링의 거듭상등 원소(idempotent element)  \(e\ne 1\)는 항상 양-측 영제수인데, 왜냐하면 \(e(1-e)=0=(1-e)e\)이기 때문입니다.
  • 필드(field)에 걸쳐 \(n \times n\) 행렬의 링은 만약 \( n \geq 2\)이면 비-영 영제수를 가집니다. (임의의 비-영 링(nonzero ring)에 걸쳐) \(2\times 2\) 행렬의 링에서 영제수의 예제는 다음에 제시합니다: 
    • \(\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} ,\) \(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}
      =\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
      =\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.\)
  • 둘 이상의 비-영 링(nonzero rings)의 직접 곱(direct product)은 항상 비-영 영제수를 가집니다. 예를 들어, 각 비-영 \(R_i\)를 갖는 \(R_1 \times R_2\)에서, \((1,0)(0,1) = (0,0)\)이므로, \((1,0)\)은 영제수입니다.
  • \(K\)를 필드(field)로 놓고 \(G\)를 그룹(group)으로 놓습니다. \(G\)가 유한 차수(order) \(n>1\)의 원소 \(g\)를 가진다고 가정합니다. 그런-다음 그룹 링(group ring) \(K[G]\)에서 우리는 인수의 어떤 것도 영이 아닌 \((1-g)(1+g+ \cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0\)를 가지므로, \(1-g\)는 \(K[G]\)에서 비-영 영제수입니다.

One-sided zero-divisor

  • (형식적) 행렬 \(\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}\)의 링과 함께 \(x,z\in\mathbb{Z}\)와 \(y\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)를 생각해 보십시오. 그런-다음 \(\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}\) 및 \(\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}\). 만약 \(x\ne0\ne z\)이면, \(\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}\)가 왼쪽 영제수인 것과 \(x\)가 짝수인 것은 필요충분(iff) 조건인데, 왜냐하면 \(\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}\)이기 때문이고, 그것이 오른쪽 영제수인 것과 \(z\)가 유사한 이유로 짝수인 것은 필요충분 조건입니다. 만약 \(x,z\) 중 하나가 \(0\)이면, 그것은 양-측 영제수입니다.
  • 다음은 오직 한쪽에 대한 영제수인 원소를 갖는 링의 또 다른 예제입니다. \(S\)를 모든 정수의 수열(sequences)의 집합 \((a_1,a_2,a_3,...)\)으로 놓습니다. 링에 대해 \(S\)에서 \(S\)로의 모든 덧셈 맵(additive map)을 취하고, 링 연산으로 점별(pointwise) 덧셈과 합성(composition)을 사용합니다. (즉, 우리의 링은 \(\mathrm{End}(S)\), 덧셈 링 \(S\)의 자기-사상 링(endomorphism ring)입니다.) 이 링의 원소의 셋의 예제는 오른쪽 쉬프트 \(R(a_1,a_2,a_3,...)=(0,a_1,a_2,...)\), 왼쪽 쉬프트 \(L(a_1,a_2,a_3,...)=(a_2,a_3,a_4,...)\), 및 첫 번째 인자 \(P(a_1,a_2,a_3,...)=(a_1,0,0,...)\) 위로의 투영 맵입니다. 이들 덧셈 맵(additive map)의 셋 모두는 영이 아니고, 합성 \(LP\)과 \(PR\)은 둘 다 0이므로, \(S\)에서 \(S\)로의 덧셈 맵 링에서 \(L\)은 왼쪽 영제수이고 \(R\)은 오른쪽 영제수입니다. 어쨌든, \(L\)은 오른쪽 영제수가 아니고 \(R\)은 왼쪽 영제수가 아닙니다: 합성 \(LR\)은 항등식입니다. \(RL\)은 양-측 영제수인데 왜냐하면 \(RLP=0=PRL\)이고, 반면에 \(LR=1\)은 임의의 방향에서 없습니다.

Non-examples

Properties

  • 필드(field)에 걸쳐 n-×-n 행렬의 링에서, 왼쪽과 오른쪽 영제수는 일치합니다; 그것들은 정확히 특이 행렬(singular matrices)입니다. 정수 도메인에 걸쳐 n-×-n 행렬의 링에서, 영제수는 정확히 행렬식(determinant) 영(zero)을 갖는 행렬입니다.
  • 왼쪽 또는 영제수는 결코 단위(unit)일 수 없는데, 왜냐하면 만약 a가 역-가능이고 일부 비-영 x에 대해 ax = 0이면, \(0=a^{-1}0=a^{-1}ax=x\), 모순이기 때문입니다.
  • 원소는 그것이 정규인 변에 취소-가능(cancellable)입니다. 즉, 만약 a가 왼쪽 정규이면, ax = ay가 x = y임을 의미하고, 유사하게 오른쪽 정규에도 그렇습니다.

Zero as a zero divisor

정의가 이 경우에도 적용되기 때문에, 경우 a = 0에 대해 별도의 규칙이 필요하지 않습니다:

  • 만약 R이 영 링(zero ring) 이외의 링이면, 0은 (양-측) 영제수인데, 왜냐하면 임의의 비-영 원소 x는 0x = 0 = x0를 만족시키기 때문입니다.
  • 만약 R이 0 = 1인 영 링(zero ring)이면, 0은 영제수가 아닌데, 왜냐하면 0에 곱해질 때 0을 산출하는 비-영 원소가 없기 때문입니다.

일부 참조는 관례에 따라 모든 링에서 영제수로 0을 포함하거나 제외하지만, 그들은 그때에 다음과 같은 명제에서 예외를 도입해야 하는 어려움을 겪습니다:

Zero divisor on a module

R을 교환 링이라고 놓고, M을 R-모듈로, a를 R의 원소로 놓습니다. 우리는 만약 "a에 의한 곱셈" 맵 \(M \,\stackrel{a}\to\, M\)이 단사이면 a는 M-정규이고, 그렇지 않으면 a는 M에 대한 영제수라고 말합니다. M-정규 원소의 집합은 R에서 곱셈 집합(multiplicative set)입니다.

"M-정규"와 "M에 대한 영제수"의 정의를 M = R의 경우로 전문화하면 이 기사에서 앞부분에서 제공된 "정규"와 "영제수"의 정의를 복구합니다.

See also

 

 

References

 

  • N. Bourbaki (1989), Algebra I, Chapters 1–3, Springer-Verlag, p. 98
  • Charles Lanski (2005), Concepts in Abstract Algebra, American Mathematical Soc., p. 342
  • Nicolas Bourbaki (1998). Algebra I. Springer Science+Business Media. p. 15.
  • Hideyuki Matsumura (1980), Commutative algebra, 2nd edition, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., p. 12

Further reading

 

 

 

 

 

 

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