수학(mathematics)에서, 영 원소(zero element)는 다른 대수적 구조(algebraic structures)에 대한 숫자 영의 여러 일반화 중 하나입니다. 이들 대안적인 의미는 문맥에 따라 같은 의미로 축소될 수도 있고 축소되지 않을 수도 있습니다.
Additive identities
덧셈 항등원(additive identity)은 덧셈 그룹(additive group)에서 항등 원소(identity element)입니다. 그것은 그룹에서 모든 x에 대해, 0 + x = x + 0 = x임을 만족하는 원소 0에 해당합니다. 덧셈 항등원의 몇 가지 예제는 다음을 포함합니다:
- 벡터 덧셈 아래에서 영 벡터(zero vector): 길이 0이고 성분이 모두 0인 벡터. 종종 \(\mathbf{0}\) 또는 \(\vec{0}\)으로 표시됩니다.
- 점별 덧셈 (f + g)(x) = f(x) + g(x) 아래에서 z(x) = 0에 의해 정의되는 영 함수(zero function) 또는 영 맵(zero map)
- 집합 합집합(set union) 아래에서 빈 집합(empty set)
- 빈 합(empty sum) 또는 빈 공동곱(empty coproduct)
- 카테고리(category)에서 초기 대상(initial object) (빈 공동곱, 및 따라서 공동곱 아래에서 항등원)
Absorbing elements
곱셈 반그룹(semigroup) 또는 반링(semiring)에서 흡수하는 원소(absorbing element)는 속성 0 ⋅ x = 0을 일반화합니다. 예제는 다음을 포함합니다:
- 빈 집합(empty set), 이는 집합의 데카르트 곱(Cartesian product) 아래에서 흡수하는 원소인데, 왜냐하면 { } × S = { }이기 때문입니다.
- 점별 곱셈(pointwise multiplication) (f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x) 아래에서 z(x) = 0에 의해 정의된 영 함수(zero function) 또는 영 맵(zero map).
많은 흡수하는 원소는 역시 빈 집합과 영 함수를 포함하여 덧셈 항등원입니다. 또 다른 중요한 예제는 덧셈 항등원과 곱셈 흡수하는 원소이고, 그것의 주요 아이디얼(principal ideal)이 가장 작은 아이디얼인 필드(field) 또는 링(ring)에서 구별된 원소 0입니다.
Zero objects
카테고리의 영 대상(zero object)은 초기 대상이자 끝 대상(initial and terminal object)입니다 (그리고 공동곱과 곱 둘 다 아래에서 항등원입니다). 예를 들어, 자명한 구조 (항등원 포함)는 사상이 항등원을 항등원으로 매핑해야 하는 카테고리에서 영 대상입니다. 구체적인 예제는 다음을 포함합니다:
- 자명한 그룹(trivial group), 오직 항등원 (그룹의 카테고리에서 영 대상)을 포함.
- 영 모듈(zero module), 오직 항등원 (링에 걸쳐 모듈의 카테고리에서 영 대상)을 포함.
Zero morphisms
카테고리(category)에서 영 사상(zero morphism)은 함수 합성 아래에서 일반화된 흡수하는 원소입니다: 영 사상으로 구성된 임의의 사상은 영 사상을 제공합니다. 구체적으로, \(0_{XY} : X \to Y\)가 X에서 Y로의 사상 중 영 사상이고, f : A → X와 g : Y → B가 임의적인 사상이면, \(g \circ 0_{XY} = 0_{XB}\)와 \(0_{XY} \circ f = 0_{AY}\)입니다.
만약 카테고리가 영 대상 0을 가지면, 정식의 사상 X → 0과 0 → Y이 있고, 이것들을 합성하는 것은 영 사상 \(0_{XY} : X \to Y\)를 제공합니다. 예를 들어, 그룹의 카테고리에서, 영 사상은 항상 그룹 항등원을 반환하는 사상이며, 따라서 함수 z(x) = 0을 일반화합니다.
Least elements
부분적으로 순서화된 집합(partially ordered set) 또는 격자(lattice)의 최소 원소(least element)는 때때로 영 원소라고 불리고, 0 또는 ⊥로 씁니다.
Zero module
수학(mathematics)에서 영 모듈(zero module)은 모듈의 덧셈 함수에 대해 오직 덧셈 항등원(identity)으로 구성된 모듈(module)입니다. 정수에서 이 항등원은 영(zero)이며, 이는 이름 영 모듈을 제공합니다. 영 모듈이 실제로 모듈이라는 것은 간단하게 보이는 것입니다: 그것은 자명하게 덧셈과 곱셈 아래에서 닫힙니다.
Zero ideal
수학(mathematics)에서, 링 \(R\)에서 영 아이디얼(zero ideal)은 덧셈 항등원 (또는 영 원소)만으로 구성된 아이디얼 \(\{ 0 \}\)입니다. 이것이 아이디얼이라는 사실은 정의에서 직접 따릅니다.
Zero matrix
수학(mathematics), 특히 선형 대수(linear algebra)에서, 영 행렬(zero matrix)은 모든 엔트리가 영(zero)인 행렬입니다. 그것은 대안적으로 기호 \(O\)에 의해 표시됩니다. 영 행렬의 몇 가지 예제는 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle
0_{1,1} = \begin{bmatrix}
0 \end{bmatrix}
,\
0_{2,2} = \begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \end{bmatrix}
,\
0_{2,3} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
,\
\)
링(ring) K에서 엔트리를 갖는 m × n 행렬의 집합은 모듈 \(K_{m,n}\)을 형성합니다. \(K_{m,n}\)에서 영 행렬 \(0_{K_{m,n}}\)은 모든 엔트리가 \(0_K\)인 행렬이며, 여기서 \(0_K\)는 K에서 덧셈 항등원입니다.
\(\quad\displaystyle
0_{K_{m,n}} = \begin{bmatrix}
0_K & 0_K & \cdots & 0_K \\
0_K & 0_K & \cdots & 0_K \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0_K & 0_K & \cdots & 0_K \end{bmatrix}
\)
영 행렬은 \(K_{m,n}\)에서 덧셈 항등원입니다. 즉, 모든 \(A \in K_{m,n}\)에 대해:
\(\quad 0_{K_{m,n}}+A = A + 0_{K_{m,n}} = A\)
임의의 주어진 크기 m × n (주어진 링의 엔트리를 가짐)의 정확하게 하나의 영 행렬이 있으므로, 문맥이 명확할 때, 종종 그 영 행렬을 참조합니다. 일반적으로, 링의 영 원소는 고유하고, 전형적으로 부모 링을 나타내기 위해 임의의 아래첨자 없이 0으로 표시됩니다. 따라서 위의 예제는 임의의 링에 걸쳐 영 행렬을 나타냅니다.
영 행렬은 역시 모든 벡터를 영 벡터로 보내는 선형 변환(linear transformation)을 나타냅니다.
Zero tensor
수학(mathematics)에서, 영 텐서(zero tensor)는, 임의의 차수의, 그것의 모든 구성 요소가 영(zero)인 텐서(tensor)입니다. 차수 1의 영 텐서는 때때로 영 벡터로 알려져 있습니다.
임의의 영 텐서로 임의의 텐서의 텐서 곱(tensor product)을 취하는 것은 또 다른 영 텐서를 초래합니다. 영 텐서를 더하는 것은 항등 연산과 동등합니다.
See also
- Zero divisor
- Zero of a function
- Zero — non-mathematical uses
References
- Weisstein, Eric W. "Zero Vector". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-12.
- "Definition of ZERO VECTOR". www.merriam-webster.com. Retrieved 2020-08-12.
