적분 미적분(integral calculus)에서, 바이어슈트라스 치환(Weierstrass substitution) 또는 탄젠트 반-각 치환(tangent half-angle substitution)은 \(x\)의 삼각 함수(trigonometric functions)의 유리 함수(rational function)를 \(t = \tan (x /2)\)를 설정함으로써 \(t\)의 보통 유리 함수로 변환하는 적분(integrals)을 평가하기 위한 방법입니다. 일반성은 이것들을 사인과 코사인의 유리 함수로 취함으로써 손실되지 않습니다. 일반적인 변환 공식은 다음입니다:
\(\quad\displaystyle \int f(\sin(x), \cos(x))\, dx =\int\frac2{1+t^2} f \left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\, dt.\)
그것은 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass) (1815–1897)의 이름을 따서 지어졌지만, 그것은 1768년 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)에 의한 책에서 발견될 수 있습니다. 마이클 스피빅(Michael Spivak)은 이 방법이 세계에서 "가장 은밀한 치환"이라고 썼습니다.
The substitution
사인과 코사인의 유리 함수로 시작하여, 우리는 \(\sin x\)와 \(\cos x\)를 변수 \(t\)의 유리 함수로 대체하고 미분 \(dx\)와 \(dt\)를 다음처럼 대체합니다:
\(t = \tan (x/2)\)라고 놓으며, 여기서 \(- \pi < x < \pi\)입니다. 그런-다음
\(\quad\displaystyle \sin \left( \frac x 2 \right)= \frac t {\sqrt{1+ t^2}} \quad \text{and} \quad
\cos \left( \frac x 2 \right)= \frac 1 {\sqrt{1+ t^2}}.\)
따라서,
\(\quad\displaystyle
\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad \text{and} \quad dx = \frac{2}{1 + t^2}\,dt.
\)
Derivation of the formulas
배-각 공식(double-angle formula)에 의해,
\(\quad\displaystyle \sin x = 2\sin \left( \frac{x}{2}\right) \cos \left( \frac{x}{2}\right) = 2 \cdot \frac{t}{\sqrt{t^2 +1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{t^2 + 1}} = \frac{2t}{t^2 + 1},\)
및
\(\quad\displaystyle \cos x = 2\cos^2 \left(\frac{x}{2} \right) - 1 = \frac{2}{t^2 + 1} - 1 = \frac{2 - (t^2 + 1)}{t^2 + 1} = \frac{1 -t^2}{1 + t^2}.\)
마지막으로, \(t = \tan \left( \frac{x}{2} \right)\)이므로,
\(\quad\displaystyle dt = \frac{1}{2}\sec^2 \left( \frac{x}{2} \right) dx = \frac{dx}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{dx}{2 \cdot \frac{1}{t^2 + 1}} \qquad \Rightarrow \qquad dx = \frac{2}{t^2 + 1}dt.\)
Examples
First example: the cosecant integral
\(\quad\displaystyle \begin{align}
\int\csc x\,dx&=\int\frac{dx}{\sin x} \\[6pt]
&=\int \left(\frac{1 + t^2}{2t}\right) \left(\frac{2}{1 + t^2}\right)dt && t = \tan\frac{x}{2} \\[6pt]
&=\int\frac{dt}{t} \\[6pt]
&=\ln |t |+ C \\[6pt]
&=\ln \left|\tan\frac{x}{2} \right| + C.
\end{align}\)
우리는 분자와 분모에 \(\csc x - \cot x\)를 곱하고 결과 표현에 다음 치환: \(u = \csc x - \cot x\)와 \(du = (-\csc x \cot x + \csc^2 x)\,dx\)를 사용함으로써 코시컨트 적분을 평가하는 표준 방법을 사용하여 위의 결과를 확인할 수 있습니다. 이 치환은 공통 인수로 코시컨트를 가지는 코시컨트와 코탄젠트의 도함수의 차이로부터 얻어질 수 있습니다.
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
\int \csc x \,dx &= \int \frac{\csc x (\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} \, dx \\[6pt]
&= \int \frac{(\csc^2 x - \csc x \cot x)\,dx}{\csc x - \cot x} && u = \csc x - \cot x \\[6pt]
&= \int \frac{du}{u} && du = (-\csc x \cot x + \csc^2 x) \,dx \\[6pt]
&= \ln |u| + C = \ln|\csc x - \cot x| + C.
\end{align}
\)
이제, 사인과 코사인에 대해 반-각 공식은 다음입니다:
\(\quad\displaystyle \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \quad \text{and} \quad \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}.\)
그것들은 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle \begin{align}
\int \csc x \, dx &= \ln \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C = \ln \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} + C \\[6pt]
&= \ln \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \cdot \frac{1 - \cos x}{1 - \cos x}} + C\\[6pt]
&= \ln \sqrt{\frac{(1 - \cos x)^2}{\sin^2 x}} + C\\[6pt]
&= \ln \sqrt{\left(\frac{1 - \cos x}{\sin x}\right)^2} + C\\[6pt]
&= \ln \sqrt{\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2} + C\\[6pt]
&= \ln \sqrt{(\csc x - \cot x)^2} + C = \ln \left | \csc x - \cot x\right| + C,
\end{align}\)
따라서 둘의 답은 동등합니다. 다음 표현은 탄젠트 반-각 공식입니다:
\(\quad\displaystyle \tan \frac x 2 = \frac{1-\cos x}{\sin x}\)
시컨트 적분(secant integral)은 비슷한 방식에서 평가될 수 있습니다.
Second example: a definite integral
\(\quad\displaystyle \begin{align}
\int_0^{2\pi}\frac{dx}{2+\cos x}
&= \int_0^\pi \frac{dx}{2+\cos x} + \int_\pi^{2\pi} \frac{dx}{2+\cos x} \\[6pt]
&=\int_0^\infty \frac{2\,dt}{3 + t^2} + \int_{-\infty}^0 \frac{2\,dt}{3 + t^2} & t &= \tan\frac{x}{2} \\[6pt]
&=\int_{-\infty}^\infty \frac{2\,dt}{3+t^2} \\[6pt]
&=\frac{2}{\sqrt 3}\int_{-\infty}^\infty \frac{du}{1+u^2} & t &= u\sqrt 3 \\[6pt]
&=\frac{2\pi}{\sqrt 3}.
\end{align}\)
첫째 줄에서, 우리는 적분화의 극한(limits of integration)에 대해 단순히 \(t=0\)를 대입하지 않습니다. \(x=\pi\)에서 \(t=\tan\frac{x}{2}\)의 특이점(singularity) (이 경우에서, 수직 점근선(vertical asymptote))이 고려되어야 합니다. 대안적으로, 먼저 부정적분을 평가하고 그런-다음 경계 값을 적용합니다.
\(\quad\displaystyle \begin{align}
\int \frac{dx}{2 + \cos x} &= \int \frac{1}{2 + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \frac{2\,dt}{t^2+1} && t = \tan\frac{x}{2} \\[6pt]
&= \int \frac{2\, dt}{2(t^2+1)+(1-t^2)} = \int \frac{2\,dt}{t^2+3}\\[6pt]
&= \frac{2}{3} \int \frac{dt}{\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)^2 + 1} && u = \frac{t}{\sqrt 3}\\[6pt]
&= \frac{2}{\sqrt 3} \int \frac{du}{u^2 + 1} && \tan \theta = u \\[6pt]
&= \frac{2}{\sqrt 3} \int \cos^2 \theta \sec^2 \theta \,d\theta = \frac{2}{\sqrt 3} \int d\theta\\[6pt]
&= \frac{2}{\sqrt 3} \theta + C = \frac{2}{\sqrt 3} \arctan \left( \frac{t}{\sqrt 3}\right) + C\\[6pt]
&= \frac{2}{\sqrt 3} \arctan \left [ \frac{\tan (x/2)}{\sqrt3}\right] + C.
\end{align}\)
대칭에 의해,
\(\quad\displaystyle \begin{align}
\int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{2 + \cos x} &= 2 \int_{0}^{\pi} \frac{dx}{2 + \cos x} = \lim_{b \rightarrow \pi} \frac{4}{\sqrt3} \arctan \left( \frac{\tan x/2}{\sqrt3}\right) \Biggl|_{0}^{b}\\[6pt]
&= \frac{4}{\sqrt3} \Biggl[ \lim_{b \rightarrow \pi} \arctan \left(\frac{\tan b/2}{\sqrt3}\right) - \arctan (0) \Biggl] = \frac{4}{\sqrt 3} \left( \frac{\pi}{2} - 0\right) = \frac{2\pi}{\sqrt 3},
\end{align} \)
이것은 위의 답과 같습니다.
Third example: both sine and cosine
\(\quad\displaystyle \begin{align} \int \frac{dx}{a\cos x + b\sin x +c} &= \int \frac{2dt}{a(1-t^2) + 2bt + c(t^2+1)} \\[6pt]
&= \int \frac{2dt}{(c-a)t^2 +2bt+a+c} \\[6pt]
&= \frac{2}{\sqrt{c^2-(a^2+b^2)}} \arctan \frac{(c-a)\tan \frac{x}{2} + b}{\sqrt{c^2-(a^2+b^2)}} + C
\end{align} \)
If \( 4E = 4(c-a)(c+a) - (2b)^2 = 4(c^2-(a^2+b^2))>0.\)
Geometry
x가 변함에 따라, 점 (cos x, sin x)는 (0, 0)을 중심으로 하는 단위 원(unit circle) 주위를 반복적으로 감습니다. 다음 점은
\(\quad\displaystyle \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)\)
t가 −∞에서 +∞로 갈 때 원 주위를 오직 한 번 가고, 결코 점 (−1, 0)에 도달하지 않으며, 이것은 t가 ±∞로 접근할 때 극한으로 접근합니다. t가 −∞에서 −1로 갈 때, t에 의해 결정된 점은 (−1, 0)에서 (0, −1)까지 3사분면에서 원의 부분을 통과합니다. t가 −1에서 0으로 갈 때, 점은 (0, −1)에서 (1, 0)까지 4사분면에서 원의 부분을 따릅니다. t가 0에서 1로 갈 때, 점은 (1, 0)에서 (0, 1)까지 1사분면에서 원의 부분을 따릅니다. 마지막으로, t가 1에서 +∞로 갈 때, 점은 (0, 1)에서 (−1, 0)까지 2사분면에서 원의 부분을 따릅니다.
여기서 또 다른 기하학적 관점이 있습니다. 단위 원을 그리고, P를 점 (−1, 0)으로 놓습니다. P를 통과하는 직선 (수직 직선 제외)은 그것의 기울기에 의해 결정됩니다. 게다가, 각 직선 (수직 직선 제외)은 정확히 두 점에서 단위 원과 교차하며, 그 중 하나는 P입니다. 이것은 단위 원 위의 점에서 기울기까지의 함수를 결정합니다. 삼각 함수는 단위 원 위의 각도에서 점까지의 함수를 결정하고, 이들 두 함수를 조합함으로써 우리는 각도에서 기울기까지의 함수를 가집니다.
Hyperbolic functions
삼각 함수와 쌍곡선 함수 사이에 공유되는 다른 속성과 마찬가지로, 쌍곡선 항등식(hyperbolic identities)을 유사한 치환의 형식을 구성하기 위해 사용하는 것이 가능합니다:
\(\quad\displaystyle
\sinh x = \frac{2t}{1 - t^2}, \qquad \cosh x = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}, \qquad \tanh x = \frac{2t}{1 + t^2}, \qquad \text{and} \qquad dx = \frac{2}{1- t^2}\,dt.
\)
See also
Further reading
- Edwards, Joseph (1921). "Chapter VI". A Treatise on the Integral Calculus with Applications, Examples, and Problems. London: Macmillan and Co, Ltd.
