수학(mathematics)에서, 잘-정의된 표현(well-defined expression) 또는 모호하지 않은 표현(unambiguous expression)은 그것의 정의가 고유한 해석이나 값을 할당하는 표현입니다. 그렇지 않으면, 표현이 잘 정의되지 않음, 잘못 정의, 또는 모호하다고 말합니다. 함수는 만약 그것이 입력의 표시가 입력의 값의 변경없이 바뀌었을 때 같은 결과를 제공하면 잘 정의된 것입니다. 예를 들어, 만약 f가 입력으로 실수를 취하고, f(0.5)가 f(1/2)과 같지 않으면 f는 잘 정의되지 않은 것입니다 (그리고 따라서 함수가 아닙니다). 용어 잘 정의된은 역시 논리적 표현이 모호하지 않거나 모순되지 않음을 나타내기 위해 사용될 수 있습니다.
잘 정의되지 않은 함수는 정의되지 않은(undefined) 함수와 같지 않습니다. 예를 들어, 만약 f(x) = 1/x이면, f(0)가 정의되지 않는다는 사실은 f가 잘 정의되지 않았다는 의미가 아니라 0이 단순히 f의 도메인(domain)에 있지 않음을 의미합니다.
Example
\(A_0,A_1\)를 집합으로 놓고, \(A = A_0 \cup A_1\)라고 놓고 \(f: A \rightarrow \{0,1\}\)를 \(a \in A_0\)이면 \(f(a)=0\)이고 \(a \in A_1\)이면 \(f(a)=1\)라고 "정의합니다".
그런-다음 \(f\)는 \(A_0 \cap A_1 = \emptyset\!\)이면 잘 정의된 것입니다. 예를 들어, 만약 \(A_0:=\{2,4\}\)와 \(A_1:=\{3,5\}\)이면, \(f(a)\)는 잘 정의될 것이고 \(\operatorname{mod}(a,2)\)와 같을 것입니다.
어쨌든, 만약 \(A_0 \cap A_1 \neq \emptyset\)이면, \(f\)는 잘 정의된 것이 아닐 것인데, 왜냐하면 \(f(a)\)는 \(a \in A_0 \cap A_1\)에 대해 "모호한" 것이기 때문입니다. 예를 들어, 만약 \(A_0:=\{2\}\)와 \(A_1:=\{2\}\)이면, \(f(2)\)는 0과 1 둘 다를 가져야 할 것이며, 그것을 모호하게 만듭니다. 결과로써, 후자 \(f\)는 잘 정의되지 않은 것이고 따라서 함수가 아닙니다.
"Definition" as anticipation of definition
이전의 간단한 예제에서 "정의합니다" 주위에 따옴표를 피하기 위해, \(f\)의 "정의"는 두 가지 간단한 논리적 단계로 분리될 수 있습니다:
- 이항 관계(binary relation)의 정의: 그 예제에서
- \(f := \bigl\{(a,i) \mid i \in \{0,1\} \wedge a \in A_i \bigr\}, \)
- (이것은 지금까지 아무것도 아니었지만 [[Cartesian product|데카르트 곱(Cartesian product)]] \(A \times \{0,1\}\)의 특정 부분집합입니다.)
- 주장: 이항 관계 \(f\)는 함수입니다; 그 예제에서
- \(f: A \rightarrow \{0,1\}.\)
단계 1에서 정의는 임의의 정의의 자유로 공식화되고 확실히 효과적이지만 ("잘 정의된"으로 분류할 필요없이), 단계 2에서 주장은 입증되어야 합니다. 즉, \(f\)가 함수인 것과 \(A_0 \cap A_1 = \emptyset\)인 것은 필요충분 조건이며, 이 경우에서 \(f\) – 하나의 함수로서의 – 잘 정의됩니다. 다른 한편으로, 만약 \(A_0 \cap A_1 \neq \emptyset\)이면, \(a \in A_0 \cap A_1\)에 대해, 우리는 \((a,0) \in f\) 그리고 \((a,1) \in f\)임을 가질 것이며, 이것은 이항 관계 \(f\)를 (Binary relation#Special types of binary relations에서 정의된 것처럼) 함수형이 아니게 만들고 따라서 함수로 잘 정의된 것이 아닙니다. 구어체로, "함수" \(f\)는 역시 점 \(a\)에서 모호하다고 불리고 (비록 정의에 따라(per definitionem) 결코 "모호한 함수"가 존재하지 않을지라도), 원래의 "정의"는 무의미합니다. 이들 미묘한 논리적 문제에도 불구하고, 이러한 종류의 "정의"에 대해 (어포스트로피없이) 정의라는 용어를 예상대로 사용하는 것이 꽤 공통적입니다 – 그 이유는 다음 세 가지 때문입니다:
- 그것은 이-단계 접근 방식의 편리한 축약형을 제공합니다.
- 관련 수학적 추론 (즉, 단계 2)은 두 경우 모두에서 같습니다.
- 수학적 교과서에서, 그 주장은 "100%까지" 참입니다.
Independence of representative
함수의 잘 정의성의 문제는 함수의 정의하는 방정식이 인수 자체를 참조하는 것이 아니라, 대표(representative) 역할을 하는 인수의 원소를 (또는 인수뿐만 아니라 인수의 원소를) 참조할 때 고전적으로 발생합니다. 이것은 때때로 인수가 코셋(coset)이고 그 방정식이 코셋 대표를 참조할 때 피하기 어렵습니다. 함수 적용의 결과는 그런-다음 대표의 선택에 의존해서는 안 됩니다.
Functions with one argument
예를 들어, 다음 함수를 생각해 보십시오:
\(\quad
\begin{matrix}
f : & \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} & \to & \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\\
& \overline{n}_8 & \mapsto & \overline{n}_4,
\end{matrix}\)
여기서 \(n\in\mathbb{Z}, m\in \{4,8\}\)와 \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\)는 정수 모듈로 m과 n 모드 m의 합동 클래스를 나타냅니다.
주의: \(\overline{n}_4\)는 원소 \(n \in \overline{n}_8\)로의 참조이고, \(\overline{n}_8\)는 \(f\)의 인수입니다.
함수 \(f\)는 잘 정의된 것인데, 왜냐하면
\(\quad n \equiv n' \bmod 8 \; \Leftrightarrow \; 8 \text{ divides } (n-n') \Rightarrow \; 4 \text{ divides } (n-n') \; \Leftrightarrow \; n \equiv n' \bmod 4.\)
반대 예제로서, 다음 그것의 전환 정의는
\(\quad
\begin{matrix}
g : & \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} & \to & \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\\
& \overline{n}_4 & \mapsto & \overline{n}_8,
\end{matrix}\)
잘 정의된 함수로 이어지지 않는데, 왜냐하면 예를 들어 \(\overline{1}_4\)는 \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\)에서 \(\overline{5}_4\)와 같지만, 첫 번째는 \(g\)에 의해 \(\overline{1}_8\)로 매핑될 것이고, 반면에 두 번째는 \(\overline{5}_8\)로 매핑될 것이고, \(\overline{1}_8\)와 \(\overline{5}_8\)는 \(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\)에서 같지 않기 때문입니다.
Operations
특히, 용어 잘 정의된은 코셋 위에 (이항) 연산(operation)에 관해 사용됩니다. 이 경우에서, 우리는 연산을 두 변수의 함수로 볼 수 있고 잘 정의된 속성은 함수에 대해 속성과 같습니다. 예를 들어, 일부 n 모듈로 정수에 대한 덧셈은 정수 덧셈의 관점에서 자연스럽게 정의될 수 있습니다:
\(\quad [a]\oplus[b] = [a+b]\)
이것이 잘 정의되어 있다는 사실은 우리가 \([a]\)의 임의의 대표를 \(a+kn\)으로 쓸 수 있다는 사실에서 비롯되며, 여기서 \(k\)는 정수입니다. 그러므로,
\(\quad [a]\oplus[b] = [a+kn]\oplus[b] = [(a+kn)+b] = [(a+b)+kn] = [a+b];\)
그리고 유사하게 \([b]\)의 임의의 대표에 대해, 그것에 의하여 \([a+b]\)를 대표의 선택에 관계없이 같게 만듭니다.
Well-defined notation
실수에 대해, 곱 \(a \times b \times c\)는 모호하지 않은데 왜냐하면 \((a \times b)\times c = a \times (b \times c)\)이기 때문입니다 (그리고 따라서 표기법이 잘 정의되었다라고 말합니다). 이 속성은, 역시 곱셈의 결합성(associativity)으로 알려져 있으며, 그 결과가 순서의 지정이 생략될 수 있도록 곱셈의 순서에 의존하지 않습니다.
뺄셈(subtraction) 연산은, 다른 한편으로, 결합적이지 않습니다. 어쨌든, \(a-b-c\)가 \((a-b)-c\)에 대해 축약이라는 관례가 있고, 따라서 그것이 "잘 정의된" 것입니다.
나눗셈(Division)은 역시 비-결합적입니다. 어쨌든, \(a/b/c\)의 경우에서, 괄호 관례는 그렇게 잘 설립되지는 않으므로, 이 표현은 종종 나쁜 정의된 것으로 고려됩니다.
함수와 달리, 표기법적 모호성은 추가적인 정의 (예를 들어, 우선순위(precedence)의 규칙, 연산자의 결합성)를 수단으로 다소 쉽게 극복될 수 있습니다. 예를 들어, 프로그래밍 언어 C에서, 뺄셈에 대해 연산자는 왼쪽에서-오른쪽으로-결합적이며, 이것은 a-b-c가 (a-b)-c로 정의됨을 의미하고, 할당에 대해 연산자 =는 오른쪽에서-왼쪽으로-결합적이며, 이것은 a=b=c가 a=(b=c)로 정의됨을 의미합니다. 프로그래밍 언어 APL에서, 단 하나의 규칙이 있습니다: 오른쪽에서 왼쪽 결합적이지만 괄호가 항상 먼저입니다.
Other uses of the term
부분 미분 방정식(partial differential equation)에 대한 해는 만약 그것이 경계조건이 변화함에 따라 연속적인 방법에서 경계 조건에 의해 결정된다면 잘 정의된 것이라고 말합니다.
See also
Sources
- Contemporary Abstract Algebra, Joseph A. Gallian, 6th Edition, Houghlin Mifflin, 2006, ISBN 0-618-51471-6.
- Algebra: Chapter 0, Paolo Aluffi, ISBN 978-0821847817. Page 16.
- Abstract Algebra, Dummit and Foote, 3rd edition, ISBN 978-0471433347. Page 1.
