(번역) Weak topology

Original article: w:Weak topology

 

수학(mathematics)에서, 약한 토폴로지(weak topology)는 종종 토폴로지적 벡터 공간 또는 선형 연산자의 공간, 예를 들어 힐베르트 공간 위에 특정 초기 토폴로지(initial topologies)에 대해 대안적인 용어입니다. 그 용어는 연속 이중(continuous dual)과 관련하여 토폴로지적 벡터 공간 (예를 들어 노름 벡터 공간)의 초기 토폴로지에 가장 공통적으로 사용됩니다. 이 기사의 나머지 부분에서는 함수형 해석학(functional analysis)의 개념 중 하나인 이 경우를 다룰 것입니다.

우리는 만약 그것들이 약한 토폴로지와 관련하여 닫힌 (각각, 컴팩트, 등) 것이면, 약하게 닫힌 (각각, 약하게 컴팩트, 등) 토폴로지적 벡터 공간의 부분집합이라고 부를 수 있습니다. 마찬가지로, 함수가 때때로 만약 그것들이 약한 토폴로지와 관련하여 연속 (각각, 미분-가능, 해석적, 등)이면, 약하게 연속 (각각, 약하게 미분-가능, 약하게 해석적, 등)이라고 불립니다.

History

1900년대 초부터, 다비트 힐베르트(David Hilbert)와 머르첼 리스(Marcel Riesz)는 약한 수렴을 광범위하게 사용했습니다. 함수형 해석학(functional analysis)의 초기 선구자들은 약한 수렴보다 노름 수렴을 높이지 않았고 종종 약한 수렴을 선호하는 것으로 보였습니다. 1929년에, 바나흐(Banach)는 노름 공간에 대해 약한 수렴을 도입했고 유사한 약한-* 수렴(weak-* convergence)도 도입했습니다. 약한 토폴로지는 topologie faible 및 schwache Topologie라고도 합니다.

The weak and strong topologies

$\mathbb{K}$를 토폴로지적 필드(topological field), 즉 덧셈, 곱셈, 및 나눗셈이 연속(continuous)임을 만족하는 토폴로지(topology)를 갖는 필드(field)라고 놓습니다. 대부분 응용에서 $\mathbb{K}$는 친숙한 토폴로지를
갖는 복소수의 필드이거나 실수의 필드입니다.

Weak topology with respect to a pairing

약한 토폴로지와 약한* 토폴로지는 둘 다 쌍화(pairings)에 대한 보다 일반적인 구성의 특수한 경우이며, 이는 우리가 이제 설명합니다. 이 보다 일반적인 구성의 이점은 그것에 대해 입증된 모든 정의 또는 결과가 약한 토폴로지와 약한* 토폴로지에 모두 적용되므로, 많은 정의, 정리 명제, 및 증명의 필요성이 중복된다는 것입니다. 이것은 역시 약한* 토폴로지가 역시 "약한 토폴로지"라고 자주 언급되는 이유이기도 합니다; 왜냐하면 그것이 보다 일반적인 구성의 설정에서 약한 토폴로지의 한 예제일 뿐이기 때문입니다.

(X, Y, b)가 토폴로지적 필드 $\mathbb{K}$에 걸쳐 벡터 공간의 쌍화(pairing)라고 가정합니다 (즉, X와 Y는 $\mathbb{K}$에 걸쳐 벡터 공간이고 $b:X\times Y\to \mathbb{K}$}}는 쌍선형 맵(bilinear map)입니다).

 

표기법. 모든 x ∈ X에 대해, $b(x,\bullet ):Y\to \mathbb{K}$는 $y\mapsto b(x,y)$에 의해 정의된 Y 위에 선형 함수형을 나타낸다고 놓습니다. 마찬가지로, 모든 y ∈ Y에 대해, $b(\bullet ,y):X\to \mathbb{K}$를 $x\mapsto b(x,y)$에 의해 정의된다고 놓습니다.

정의. Y (및 b)에 의해 유도된 X 위에 약한 토폴로지(weak topology on X)는 X 위에 가장 약한 토폴로지이며, 𝜎(X, Y, b) 또는 간단히 𝜎(X, Y)로 표시되며, 모든 맵 $b(\bullet ,y):X\to \mathbb{K}$을 y가 Y에 걸쳐 범위를 미칠 때 연속으로 만듭니다.

 

Y 위에 약한 토폴로지는 기사 이중 시스템(Dual system)에서 설명된 대로 이제 자동으로 정의됩니다. 어쨌든, 명확성을 위해, 우리는 이제 그것을 반복합니다.

 

정의. X (및 b)에 의해 유도된 Y 위에 약한 토폴로지(weak topology on Y)는 Y 위에 가장 약한 토폴로지이며, 𝜎(Y, X, b) 또는 간단히 𝜎(Y, X)로 표시되며, 모든 맵 $b(x,\bullet ):Y\to \mathbb{K}$을 x가 X에 걸쳐 범위를 미칠 때 연속으로 만듭니다.

 

만약 필드 $\mathbb{K}$가 절댓값(absolute value) |⋅|을 가지면, X 위에 약한 토폴로지 𝜎(X, Y, b)는 모든 y ∈ Y와 x ∈ X에 대해 다음에 의해 정의되는 반-노름(seminorms)의 가족, $p_y:X\to \mathbb{R}$}}에 의해 유도됩니다:

$p_y(x):=|b(x,y)|$

이것은 약한 토폴로지가 지역적으로 볼록(locally convex)임을 보여줍니다.

 

가정. 우리는 이제부터 $\mathbb{K}$가 실수 $\mathbb{R}$이거나 복소수 $\mathbb{C}$라고 가정합니다.

Canonical duality

우리는 이제 Y가 X의 대수적 이중 공간(algebraic dual space, 즉, X 위에 선형 함수형의 벡터 공간)의 벡터 부분공간인 특수한 경우를 고려합니다.

선형 맵 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$이 모든 $x\in X$와 $x^{\prime }\in Y$에 대해 $⟨x,x^{\prime }⟩=x^{\prime }(x)$에 의해 정의된 정식의 평가 맵(canonical evaluation map)인 정식의 쌍화(canonical pairing)라고 불리는 쌍화가 있으며, $(X,Y,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 또는 $(X,Y)$에 의해 표시됩니다.

가정. 만약 Y가 X의 대수적 이중 공간(algebraic dual space)의 벡터 부분공간이면, 우리는 그것들이 정식의 쌍화 ⟨X, Y⟩와 결합되어 있다고 가정할 것입니다.

 

이 경우에서, X 위에 약한 토폴로지 (각각, Y 위에 약한 토폴로지)는, 𝜎(X,Y)에 의해 (각각 𝜎(Y,X)에 의해) 표시되며, 정식의 쌍화 ⟨X, Y⟩와 관련하여 X 위에 (각각 Y 위에) 약한 토폴로지(weak topology)입니다.

토폴로지 σ(X,Y)는 Y에 관한 X의 초기 토폴로지(initial topology)입니다..

만약 Y가 X 위에 선형 함수형의 벡터 공간이면, 토폴로지 σ(X,Y)에 관한 X의 연속 이중은 Y와 정확하게 같습니다. (Rudin 1991, Theorem 3.10)

The weak and weak* topologies

X를 $\mathbb{K}$에 걸쳐 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space, TVS), 즉, 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈(scalar multiplication)이 연속이 되도록 토폴로지(topology)를 갖춘 $\mathbb{K}$ 벡터 공간(vector space)이라고 놓습니다. 우리는 X가 원래(original), 시작(starting), 또는 주어진 토폴로지(given topology)로 시작하는 토폴로지를 호출합니다 (독자는 이미 잘 알려진 의미를 가지고 있으므로 그것들을 사용하는 것이 혼동을 초래할 수 있기 때문에 원래 토폴로지를 참조하기 위해 "초기 토폴로지" 및 "강한 토폴로지"라는 용어를 사용하지 않도록 주의해야 합니다). 우리는 주어진 토폴로지와 관련하여 연속적인 X에서 기저 필드 $\mathbb{K}$로의 모든 선형 함수형(linear functionals)으로 구성된 토폴로지적 또는 연속 이중 공간(continuous dual space) $X^{\ast }$를 사용하여 X 위에 가능한 다른 토폴로지를 정의할 수 있습니다.

$⟨\cdot ,\cdot ⟩$가 모든 $x\in X$와 $x^{\prime }\in X^{\ast }$에 대해 $⟨x,x^{\prime }⟩=x^{\prime }(x)$에 의해 정의된 정식의 평가 맵임을 상기하십시오, 여기서 특히 $⟨\cdot ,x^{\prime }⟩=x^{\prime }(\cdot )=x^{\prime }$입니다.

정의. X 위에 약한 토폴로지(weak topology on X)는 정식의 쌍화(canonical pairing) $⟨X,X^{\ast }⟩$와 관련하여 X 위의 약한 토폴로지입니다. 즉, 그것은 $x^{\prime }$가 $X^{\ast }$에 걸쳐 범위를 미치는 연속적인 모든 맵 $x^{\prime }=⟨\cdot ,x^{\prime }⟩:X\to \mathbb{K}$를 만드는 X 위에 가장 약한 토폴로지입니다.

정의: $X^{\ast }$ 위에 약한 토폴로지(weak topology on $X^{\ast }$)는 정식의 쌍화(canonical pairing) $⟨X,X^{\ast }⟩$와 관련하여 $X^{\ast }$ 위에 약한 토폴로지입니다. 즉, 그것은 x가 X에 걸쳐 범위를 미치는 연속적인 모든 맵 $⟨x,\cdot ⟩:X^{\ast }\to \mathbb{K}$를 만드는 $X^{\ast }$ 위에 가장 약한 토폴로지입니다. 이 토폴로지는 역시 약한* 토폴로지(weak* topology)라고 불립니다.

우리는 아래에 대안적인 정의를 제공합니다.

Weak topology induced by the continuous dual space

대안적으로, TVS X의 약한 토폴로지(weak topology)는 $X^{\ast }$ 가족과 관련하여 초기 토폴로지(initial topology)입니다. 다시 말해서, 그것은 $X^{\ast }$의 각 원소가 연속 함수(continuous function)로 남음을 만족하는 X 위에 가장-엉성한(coarsest) 토폴로지입니다.

약한 토폴로지에 대해 부분기저(subbase)는 ${\varphi }^{-1}(U)$ 형식의 집합의 모음이며, 여기서 $\varphi \in X^{\ast }$와 U는 기저 필드 $\mathbb{K}$의 열린 부분집합입니다. 다시 말해서, X의 부분집합이 약한 토폴로지에서 열린 것과 그것이 ${\varphi }^{-1}(U)$ 형식의 유한하게 많은 집합의 교집합인 (아마도 무한하게 많은) 집합의 합집합으로 쓸 수 있는 것은 필요충분 조건입니다.

이러한 관점에서, 약한 토폴로지는 가장-엉성한 극 토폴로지(polar topology)입니다.

Weak convergence

약한 토폴로지는 다음 조건에 의해 특성화됩니다: X에서 네트(net) $(x_{\lambda })$는 X의 원소 x로 약한 토폴로지에서 수렴하는 것과 $\varphi (x_{\lambda })$가 모든 $\varphi \in X^{\ast }$에 대해   $\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$에서 수렴하는 것은 필요충분 조건입니다.

특히, $x_n$이 X에서 수열(sequence)이면, $x_n$은 모든 $\phi \in X^{\ast }$에 대해 n → ∞일 때 다음이면 x로 약하게 수렴합니다:

$\phi (x_n)\to \phi (x)$

이 경우에서, 그것은 다음과 같이 쓰는 것이 관례적입니다:

$x_n\stackrel{\mathrm{w}}{⟶}x$

또는, 때때로,

$x_n\rightharpoonup x.$

Other properties

만약 X가 약한 토폴로지를 갖추면, 덧셈과 스칼라 곱셈이 연속 연산으로 유지되고, X는 지역적으로 볼록 토폴로지적 벡터 공간(locally convex topological vector space)입니다.

만약 X가 노름 공간이면, 이중 공간 $X^{\ast }$ 자체는 다음 노름을 사용함으로써 노름 벡터 공간입니다:

${\displaystyle \Vert \varphi \Vert =\underset{\Vert x\Vert \le 1}{sup}|\varphi (x)|.}$

이 노름은 $X^{\ast }$ 위에, 강한 토폴로지(strong topology)라고 불리는, 토폴로지를 생성합니다. 이것은 균등 수렴(uniform convergence)의 토폴로지입니다. 균등하고 강한 토폴로지는 일반적으로 선형 맵의 다른 공간과 다릅니다; 아래를 참조하십시오.

Weak-* topology

약한* 토폴로지는 극 토폴로지(polar topology)의 중요한 예제입니다.

공간 X는 두배 이중(double dual) X**에 다음에 의해 삽입될 수 있습니다:

$x\mapsto \{\begin{array}{l}{T}_x:X^{\ast }\to \mathbb{K}\\ T_x(\varphi )=\varphi (x)\end{array}$

따라서 $T:X\to X^{\ast \ast }$는 반드시 전사적일 필요는 없지만 단사적 선형 매핑입니다 (이러한 정식 삽입이 전사적인 공간은 반사적(reflexive)이라고 불립니다). $X^{\ast }$ 위의 약한-* 토폴로지(weak-* topology)는 $T:T(X)\subset X^{\ast \ast }$의 이미지에 의해 유도된 약한 토폴로지입니다. 다시 말해서, 그것은 $X^{\ast }$에서 기저 필드 $\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$로의 $T_x(\varphi )=\varphi (x)$에 의해  정의되는 맵 $T_x$가 연속적으로 유지됨을 만족하는 가장-엉성한 토폴로지입니다.

Weak-* convergence

$X^{\ast }$에서 네트(net) ${\varphi }_{\lambda }$는 만약 그것이 모든 $x\in X$에 대해 점별로 수렴하면 약한-* 토폴로지에서 $\varphi$로 수렴합니다:

${\varphi }_{\lambda }(x)\to \varphi (x)$

특히, ${\varphi }_n\in X^{\ast }$의 수열(sequence)은 모든 x ∈ X에 대해 다음이라는 조건으로 하여 $\varphi$로 수렴합니다:

${\varphi }_n(x)\to \varphi (x)$

이 경우에서, n → ∞일 때, 다음과 같이 씁니다:

${\varphi }_n\stackrel{w^{\ast }}{\to }\varphi$

약한-* 수렴은 때때로 단순 수렴(simple convergence) 또는 점별 수렴(pointwise convergence)이라고 불립니다. 실제로, 그것은 선형 함수형의 점별 수렴(pointwise convergence)과 일치합니다.

Properties

만약 X가 분리-가능 (즉, 셀-수-있는 조밀한 부분집합을 가짐) 지역적 볼록 공간이고 H가 그것의 연속 이중 공간의 노름-경계진 부분집합이면, 약한* (부분공간) 토폴로지가 부여된 H는 메트릭-가능(metrizable) 토폴로지적 공간입니다. 어쨌든, 무한-차원 공간에 대해, 메트릭은 변환-불변일 수 없습니다. 만약 X가 분리-가능 메트릭-가능 지역적 볼록(locally convex) 공간이면, X의 연속 이중 공간 위에 약한* 토폴로지는 분리-가능입니다.

 

Properties on normed spaces

정의에 의해, 약한* 토폴로지는 $X^{\ast }$의 약한 토폴로지보다 더 약합니다. 약한* 토폴로지에 대한 중요한 사실은 바나흐–앨러오글루 정리(Banach–Alaoglu theorem)입니다: 만약 X가 노름되면, $X^{\ast }$에서 닫힌 단위 공은 약한*-컴팩트(compact)입니다 (보다 일반적으로, X에서 0의 이웃에 대한 $X^{\ast }$의 극은 약한*-컴팩트입니다). 더욱이, 노름 공간 X에서 닫힌 단위 공이 약한 토폴로지에서 컴팩트인 것과 X 반사적(reflexive)인 것은 필요충분 조건입니다.

보다 일반성에서, F를 지역적으로 컴팩트 값 필드 (예를 들어, 실수, 복소수, 또는 p-진수 숫자 시스템의 어떤 것)라고 놓습니다. X를 F에서 절댓값과 호환되는 F에 걸쳐 노름 토폴로지적 벡터 공간이라고 놓습니다. 그런-다음 $X^{\ast }$, X 위에 연속 F-값 선형 함수형의 토폴로지적 이중 공간 X에서, 모든 노름-닫힌 공은 약한-* 토폴로지에서 콤팩트입니다.

만약 X가 노름 공간이면, 하이네–보렐 정리(Heine–Borel theorem)의 버전이 유지됩니다. 특히, 연속 이중의 부분집합이 약한* 컴팩트인 것과 그것이 약한* 닫히고 노름-경계진 것은 필요충분 조건입니다. 이것은 특히 X가 무한-차원 노름 공간일 때 X의 이중 공간에서 원점에 있는 닫힌 단위 공이 0의 임의의 약한* 이웃을 포함하지 않는다는 것을 의미합니다 (왜냐하면 임의의 그러한 이웃은 노름-무경계진 것이기 때문입니다). 따라서 노름-닫힌 공이 콤팩트이더라도 $X^{\ast }$는 약한 지역적으로 컴팩트(locally compact)가 아닙니다.

만약 X가 노름 공간이면, X가 분리-가능인 것과 $X^{\ast }$의 닫힌 단위 공 위에 약한* 토폴로지가 메트릭-가능인 것은 필요충분 조건입니다. 이 경우에서, 약한* 토폴로지는 $X^{\ast }$의 노름-경계진 부분집합 위에 메트릭-가능입니다. 만약 노름 공간 X가 (이중-노름 토폴로지와 관련하여) 분리-가능인 이중 공간을 가지면, X는 반드시 분리-가능입니다. 만약 X가 바나흐 공간(Banach space)이면, X가 유한-차원이 아닌 한 약한* 토폴로지는 모든 $X^{\ast }$에서 메트릭-가능이 아닙니다.

Examples

Examples

예를 들어, 힐베르트 공간(Hilbert space) $L^2{\mathbb{R}}^n$)에서 함수의 강한 수렴과 약한 수렴 사이의 차이를 생각해 보십시오. 원소 ψ에 대한 수열 ${\psi }_k\in L^2({\mathbb{R}}^n)$의 강한 수렴은 k → ∞일 때 다음임을 의미합니다:

${\displaystyle {\int }_{{\mathbb{R}}^n}|{\psi }_k-\psi {|}^2\mathrm{d}\mu \to 0}$

여기서 수렴의 개념은 $L^2$ 위의 노름에 해당합니다.

대조적으로 약한 수렴은 모든 함수 $f\in L^2$ (또는, 보다 전형적으로, 만약 수열 $\{{\varphi }_k\}$가 경계지면 테스트 함수(test functions)의 공간과 같은 $L^2$의 조밀한 부분집합에서 모든 f)에 대해 다음임을 오직 요구합니다:

${\displaystyle {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\overline{\psi }}_{k}f\mathrm{d}\mu \to {\int }_{{\mathbb{R}}^n}\overline{\psi }f\mathrm{d}\mu }$

주어진 테스트 함수에 대해, 관련 수렴의 개념은 $\mathbb{C}$에서 사용되는 토폴로지에만 해당합니다.

예를 들어, 힐베르트 공간 $L^2(0,\pi )$에서, 다음 함수의 수열은 직교-정규 기저(orthonormal basis)를 형성합니다:

${\psi }_k(x)=\sqrt{2/\pi }\sin (kx)$

특히, k → ∞일 때 ${\psi }_k$의 (강한) 극한은 존재하지 않습니다. 다른 한편으로, 리만-르베그 보조정리(Riemann–Lebesgue lemma)에 의해, 약한 극한은 존재하고 영입니다.

Distributions

우리는 통상적으로 테스트 함수 (예를 들어, ${\mathbb{R}}^n$ 위에 컴팩트하게 지원된 매끄러운 함수)의 공간의 강한 이중을 형성함으로써 분포(distributions)의 공간을 얻습니다. 그러한 공간의 대안적인 구성에서, 우리는 $L^2$와 같은 힐베르트 공간 내부의 테스트 함수의 공간의 약한 이중을 취할 수 있습니다. 따라서, 조작된 힐베르트 공간(rigged Hilbert space)의 아이디어를 고려하는 것으로 이어집니다.

Weak topology induced by the algebraic dual

X가 벡터 공간이고 $X^{\mathrm{\#}}$가 X의 대수적 이중 공간 (즉, X 위에 모든 선형 함수형의 벡터 공간)이라고 가정합니다. 만약 X가 $X^{\mathrm{\#}}$에 의해 유도된 약한 토폴로지를 갖추면, X의 연속 이중 공간은 $X^{\mathrm{\#}}$이고, X의 모든 각 경계진 부분집합은 X의 유한-차원 벡터 부분공간에 포함되고, X의 모든 각 벡터 부분공간은 닫혀 있고 토폴로지적 여(topological complement)를 가집니다.

Operator topologies

만약 X와 Y가 토폴로지적 벡터 공간이면, 연속 선형 연산자(continuous linear operators) f : X → Y의 공간 L(X,Y)는 다양한 다른 가능한 토폴로지를 나를 수 있습니다. 그러한 토폴로지의 이름-지정은 연산자 수렴을 정의하기 위해 대상 공간 Y에서 사용하는 토폴로지의 종류에 따라 다릅니다 (Yosida 1980, IV.7 Topologies of linear maps). 일반적으로, L(X,Y)에는 가능한 연산자 토폴로지의 방대한 배열이 있으며, 그것의 이름-지정이 완전히 직관적이지 않습니다.

예를 들어, L(X,Y) 위에 강한 연산자 토폴로지(strong operator topology)는 점별 수렴(pointwise convergence)의 토폴로지입니다. 예를 들어, 만약 Y가 노름 공간이면, 이 토폴로지는 x ∈ X에 의해 인덱스된 반노름에 의해 정의됩니다:

$f\mapsto \Vert f(x){\Vert }_Y.$

보다 일반적으로, 만약 반-노름 Q의 가족이 Y 위의 토폴로지를 정의하면, 강한 토폴로지를 정의하는 L(X,Y) 위의 반-노름 $p_{q,x}$는 q ∈ Q와 x ∈ X에 의해 인덱스된 다음에 의해 제공됩니다:

$p_{q,x}:f\mapsto q(f(x)),$

특히, weak operator topology와 weak* operator topology를 참조하십시오.

Bibliography

 

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