(번역) Vieta's formulas

Original article: w:Vieta's formulas

수학(mathematics)에서, 비에타의 공식(Vieta's formulas)은 다항식(polynomial)의 계수(coefficient)를 그의 근(roots)의 합과 곱으로 관련시키는 공식입니다. 프랑수아 비에트(François Viète)의 이름을 따서 명칭이 지어졌으며 (보다 공통적으로 그의 이름의 라틴어로된 형식, 프란키스쿠스 비에타(Franciscus Vieta)로 참조됩니다), 그 공식은 대수학(algebra)에서 특별히 사용됩니다.

Basic formulas

차수 n의 임의의 일반적인 다항식은 다음과 같습니다:

$P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$

(여기서 계수는 실수 또는 복소수이고 $a_{n} \neq 0$ 입니다.) 이 방정식은 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해 n (구별되는 것이 요구되지 않는) 복소수 근 $r_{1}, r_{2}, . . ., r_{n}$ 을 가지는 것으로 알려집니다. 비에타의 공식은 다항식의 계수를 다음과 같은 근 $r_{1}, r_{2}, . . ., r_{n}$ 의 곱의 부호화된 합과 관련시킵니다:

${\begin{cases} r_{1} + r_{2} + \dots + r_{n - 1} + r_{n} = - \frac{a_{n - 1}}{a_{n}} \\ (r_{1} r_{2} + r_{1} r_{3} + \dots + r_{1} r_{n}) + (r_{2} r_{3} + r_{2} r_{4} + \dots + r_{2} r_{n}) + \dots + r_{n - 1} r_{n} = \frac{a_{n - 2}}{a_{n}} \\ ⋮ \\ r_{1} r_{2} \dots r_{n} = (- 1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}} . \end{cases}$

비에타의 공식은 동동하게, k = 1, 2, ..., n에 대해, 다음으로 쓰일 수 있습니다:

$\sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} \leq n} (\prod_{j = 1}^{k} r_{i_{j}}) = (- 1)^{k} \frac{a_{n - k}}{a_{n}}$ .

(여기서 인덱스 $i_{k}$ 는 k 근의 각 곱이 정확히 한 번만 사용되는 것을 보증하기 위해 증가하는 순서로 정렬됩니다.)

비에타의 공식의 왼쪽 변은 근의 기본 대칭 함수(elementary symmetric function)입니다.

Generalization to rings

비에타의 공식은 임의의 정수 도메인(integral domain) R에서 계수를 가진 다항식과 함께 자주 사용됩니다. 그런-다음, 몫 $a_{i} / a_{n}$ 은 R의 분수의 링(ring of fractions)에 속하고 (만약 $a_{n}$ 이 R에서 역-가능한 것으로 발생하면 아마도 R 자체에 있는) 근 $r_{i}$ 는 대수적으로 닫힌 확장(algebraically closed extension)에서 취합니다. 전형적으로, R은 정수(integer)의 링이고, 분수의 필드는 유리수(rational number)의 필드 및 대수적으로 닫힌 필드는 복소수(complex numbers)의 필드입니다.

비에타의 공식은, 그런-다음, 사용되는데 왜냐하면 공식은 근을 계산하는 것없이 근 사이의 관계를 제공합니다.

정수 도메인이 아닌 교환 링에 걸쳐 다항식에 대해, 비에타의 공식은 $a_{n}$ 이 영-인수가 아니고 $P (x)$ 인수는 $a_{n} (x - r_{1}) (x - r_{2}) \dots (x - r_{n})$ 일 때 오직 유효합니다. 예를 들어, 정수 모듈로(modulo) 8의 링에서, 다항식 $P (x) = x^{2} - 1$ 은 네 근: 1, 3, 5, 및 7을 가집니다. 비에타의 공식은, 만약, 말하자면, $r_{1} = 1$ 및 $r_{2} = 3$ 이면, 참이 아닌데, 왜냐하면 $P (x) \neq (x - 1) (x - 3)$ 이기 때문입니다. 어쨌든, $P (x)$ 는 $(x - 1) (x - 7)$ 및 $(x - 3) (x - 5)$ 로 인수분해되고, 비에타의 공식은 만약 우리가 $r_{1} = 1$ 와 $r_{2} = 7$ 또는 $r_{1} = 3$ 와 $r_{2} = 5$ 중에 하나로 정하면 유지됩니다.

Example

비에타의 공식은 이차 및 삼차 다항식에 적용됩니다:

이차 다항식(quadratic polynomial) $P (x) = a x^{2} + b x + c$ 의 근 $r_{1}, r_{2}$ 은 다음을 만족시킵니다:

$r_{1} + r_{2} = - \frac{b}{a}, r_{1} r_{2} = \frac{c}{a} .$

이들 방정식의 첫 번째는 P의 최솟값 (또는 최댓값)을 찾기 위해 사용될 수 있습니다; Quadratic equation § Vieta's formulas를 참조하십시오.

삼차 다항식(cubic polynomial) $P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 의 근 $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ 은 다음을 만족시킵니다:

$r_{1} + r_{2} + r_{3} = - \frac{b}{a}, r_{1} r_{2} + r_{1} r_{3} + r_{2} r_{3} = \frac{c}{a}, r_{1} r_{2} r_{3} = - \frac{d}{a} .$

Proof

비에타의 공식은 다음 상등을 전개함으로써 입증될 수 있습니다:

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = a_{n} (x - r_{1}) (x - r_{2}) \dots (x - r_{n})$

(이것은 참인데 왜냐하면 $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}$ 은 이 방정식의 모든 근이기 때문입니다), 오른쪽 변에 인수를 곱하고, $x$ 의 각 거듭제곱의 계수가 서로-같음을 이용합니다.

공식적으로, 만약 우리가 $(x - r_{1}) (x - r_{2}) \dots (x - r_{n})$ 을 전개하면, 항은 정확히 $(- 1)^{n - k} r_{1}^{b_{1}} \dots r_{n}^{b_{n}} x^{k}$ 이며, 여기서 $b_{i}$ 는, $r_{i}$ 가 곱에 포함 또는 그렇지 않은지 여부에 따라, 0 또는 1 중에 하나이고 k는 제외되는 $r_{i}$ 의 숫자이므로, 곱에서 인수의 전체 숫자는 n입니다 ( $x^{k}$ 는 중복도 k로 셉니다) – n 이진 선택 ( $r_{i}$ 또는 x를 포함하는)이 있으므로, $2^{n}$ 항이 있습니다 – 기하학적으로, 이들은 하이퍼규브(초입방체)의 꼭짓점으로 이해될 수 있습니다. 이들 항을 차수에 따라 묶으면 $r_{i}$ 에서 기본 대칭 다항식을 산출합니다 – $x^{k}$ 에 대해, $r_{i}$ 의 모든 구별되는 k-폴드 곱(들).

History

이름에 반영된 바와 같이, 공식은, 양의 근의 경우에 대해, 16세기 프랑스 수학자 프랑수아 비에트(François Viète)에 의해 발견되었습니다.

18세기 영국 수학자 찰스 허튼(Charles Hutton)의 의견에서, 펑카우서에 의해 인용된 것처럼, (양의 실수 근에 제한되지 않는) 일반적인 원리는 17세기 프랑스 수학자 알버트 지라드(Albert Girard)에 의해 처음으로 이해되었습니다:

...[지라드는] 근과 그들의 곱의 합으로부터 거듭제곱의 계수의 형성에 대한 일반적인 정리를 이해했던 첫 번째 사람이었습니다. 그는 임의의 방정식의 근의 거듭제곱을 합하는 것에 대해 규칙을 발견한 첫 번째 사람이었습니다.

References

"Viète theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Funkhouser, H. Gray (1930), "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations", American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 37 (7): 357–365, doi:10.2307/2299273, JSTOR 2299273
Vinberg, E. B. (2003), A course in algebra, American Mathematical Society, Providence, R.I, ISBN 0-8218-3413-4
Djukić, Dušan; et al. (2006), The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, Springer, New York, NY, ISBN 0-387-24299-6

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