(번역) Volume element

Original article: w:Volume element

 

수학(mathematics)에서, 부피 원소(volume element)는 구형 좌표(spherical coordinates) 및 원통형 좌표(cylindrical coordinates)와 같은 다양한 좌표 시스템에서 부피(volume)에 관한 함수(function)를 적분하는 데 수단을 제공합니다. 따라서 부피 원소는 다음 형식의 표현입니다:

$\mathrm{d}V=\rho (u_1,u_2,u_3)\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\mathrm{d}{u}_3$

여기서 $u_i$는 임의의 집합 $B$의 부피가 다음에 의해 계산될 수 있도록 하는 좌표입니다:

${\displaystyle \mathrm{Volume}(B)={\int }_B\rho (u_1,u_2,u_3)\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\mathrm{d}{u}_3.}$

예를 들어, 구형 좌표에서 $\mathrm{d}V=u_1^2\sin u_2\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\mathrm{d}{u}_3$이고, 따라서 $\rho =u_1^2\sin u_2$입니다.

부피 원소의 개념은 3차원으로 제한되지 않습니다: 2차원에서 그것은 종종 넓이 원소(area element)로 알려져 있고, 이 설정에서 그것은 표면 적분(surface integrals)을 수행하는 데 유용합니다. 좌표의 변경 아래에서, 부피 원소는 (변수 변경의 공식에 의해) 좌표 변환의 야코비 행렬식(Jacobian determinant)의 절댓값에 의해 변경됩니다. 이 사실은 부피 원소가 매니폴드(manifold) 위에 일종의 측정(measure)으로 정의될 수 있도록 합니다. 방향-가능 미분-가능 매니폴드 위에, 부피 원소는 전형적으로 부피 형식(volume form): 최고 차수 미분 형식(differential form)에서 발생합니다. 비-방향가능 매니폴드 위에, 부피 원소는 전형적으로 (지역적으로 정의된) 부피 형식의 절댓값입니다: 그것은 1-밀도(1-density)를 정의합니다.

Volume element in Euclidean space

유클리드 공간(Euclidean space)에서, 부피 원소는 다음과 같이 데카르트 좌표의 미분의 곱으로 제공됩니다:

$\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z.$

형식 $x=x(u_1,u_2,u_3)$, $y=y(u_1,u_2,u_3)$, $z=z(u_1,u_2,u_3)$의 다른 좌표 시스템에서, 부피 원소는 좌표 변경의 야코비 (행렬식)에 의해 변경됩니다:

${\displaystyle \mathrm{d}V=\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u_1,u_2,u_3)}\right|\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\mathrm{d}{u}_3.}$

예를 들어, 구형 좌표에서 (수학적 관례) 

${\displaystyle \begin{array}{rl}x& =\rho \cos \theta \sin \varphi \\ y& =\rho \sin \theta \sin \varphi \\ z& =\rho \cos \varphi \end{array}}$

야코비 행렬식은 다음과 같습니다:

${\displaystyle \left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}\right|={\rho }^2\sin \varphi }$

이때,

${\displaystyle \mathrm{d}V={\rho }^2\sin \varphi \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi .}$

이는 미분 형식이 당김 $F^{\ast }$를 통해 다음과 같이 변환된다는 사실의 특별한 경우로 볼 수 있습니다:

${\displaystyle F^{\ast }(ud{y}^1\wedge \cdots \wedge d{y}^n)=(u\circ F)det\left(\frac{\partial F^j}{\partial x^i}\right)\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^n}$

Volume element of a linear subspace

다음과 같은 선형적으로 독립(linearly independent) 벡터의 모음에 의해 스팬되는 n-차원 유클리드 공간(Euclidean space) ${\mathbf{R}}^n$의 선형 부분공간(linear subspace)을 생각해 보십시오:

$X_1,\dots ,X_k.$

부분공간의 부피 원소를 찾기 위해, $X_i$에 의해 스팬되는 평행육면체의 부피가 $X_i$의 그람 행렬(Gramian matrix)의 행렬식(determinant)의 제곱근이라는 선형 대수로부터 사실을 아는 것이 유용합니다.

$\sqrt{det(X_i\cdot X_j{)}_{i,j=1\dots k}}.$

부분공간에서 임의의 점 $p$는 다음임을 만족하는 좌표 $(u_1,u_2,\dots ,u_k)$로 주어질 수 있습니다:

$p=u_1{X}_1+\cdots +u_k{X}_k.$

점 $p$에서, 만약 우리가 변 $\mathrm{d}{u}_i$를 갖는 작은 평행육면체를 형성하면, 해당 평행육면체의 부피는 그람 행렬의 행렬식의 제곱근입니다:

$\sqrt{det{((d{u}_i{X}_i)\cdot (d{u}_j{X}_j))}_{i,j=1\dots k}}=\sqrt{det(X_i\cdot X_j{)}_{i,j=1\dots k}}\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\cdots \mathrm{d}{u}_k.$

그러므로 이것은 선형 부분공간에서 부피 형식을 정의합니다.

Volume element of manifolds

차원 n의 방향화된 리만 매니폴드(Riemannian manifold) 위에, 부피 원소는 단위 상수, 함수 $f(x)=1$의 호지 이중(Hodge dual)과 같은 부피 형식입니다:

$\omega =\star 1.$

동등하게, 부피 원소는 정확히 레비-치비타 텐서(Levi-Civita tensor) $ϵ$입니다. 좌표에서

$\omega =ϵ=\sqrt{|detg|}\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^n$

여기서 $detg$는 좌표 시스템에서 쓴 메트릭 텐서(metric tensor) g의 행렬식(determinant)입니다.

Area element of a surface

부피 원소의 간단한 예제는 n-차원 유클리드 공간(Euclidean space)에 삽입된 2-차원 표면을 고려함으로써 탐색할 수 있습니다. 그러한 부피 원소는 때때로 넓이 원소(area element)라고 불립니다. 부분집합 $U\subset {\mathbb{R}}^2$과 따라서 ${\mathbb{R}}^n$에서 삽입된 표면을 정의하는 다음 매핑 함수를 생각해 보십시오:

$\phi :U\to {\mathbb{R}}^n$

2-차원에서, 부피는 넓이일 뿐이고, 부피 원소는 표면 부분의 넓이를 결정하기 위한 방법을 제공합니다. 따라서 부피 원소는 다음 형식의 표현입니다:

$f(u_1,u_2)\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2$

이는 다음 적분을 계산함으로써 표면 위에 놓인 집합 B의 넓이를 계산할 수 있습니다:

${\displaystyle \mathrm{Area}(B)={\int }_{B}f(u_1,u_2)\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2.}$

여기서 우리는 보통의 의미에서 넓이를 정의하는 표면 위에 부피 원소를 찾을 것입니다. 매핑의 야코비 행렬(Jacobian matrix)은 다음과 같습니다:

${\displaystyle {\lambda }_{ij}=\frac{\partial {\phi }_i}{\partial u_j}}$

이때 인덱스 i는 1에서 n까지 변하고, j는 1부터 2까지 변합니다. n-차원 공간에서 유클리드 메트릭(metric)은 다음 행렬 원소를 갖는 집합 U에서 메트릭 $g={\lambda }^T\lambda$를 유도합니다:

${\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^n{\lambda }_{ki}{\lambda }_{kj}=\sum _{k=1}^n\frac{\partial {\phi }_k}{\partial u_i}\frac{\partial {\phi }_k}{\partial u_j}.}$

메트릭의 행렬식(determinant)은 다음에 의해 제공됩니다:

${\displaystyle detg={|\frac{\partial \phi }{\partial u_1}\wedge \frac{\partial \phi }{\partial u_2}|}^2=det({\lambda }^T\lambda )}$

정규 표면에 대해, 이 행렬식은 사라지지 않습니다; 동등하게, 야코비 행렬은 랭크 2를 가집니다.

이제 다음과 같은 미분-동형(diffeomorphism)에 의해 주어진 U에 대한 좌표의 변경을 생각해 보십시오:

$f:U\to U,$

이때 좌표 $(u_1,u_2)$는 $(u_1,u_2)=f(v_1,v_2)$에 의해 $(v_1,v_2)$의 관점에서 제공됩니다. 이 변환의 야코비 행렬은 다음에 의해 제공됩니다:

${\displaystyle F_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial v_j}.}$

새로운 좌표에서, 다음을 가지고:

${\displaystyle \frac{\partial {\phi }_i}{\partial v_j}=\sum _{k=1}^2\frac{\partial {\phi }_i}{\partial u_k}\frac{\partial f_k}{\partial v_j}}$

따라서 메트릭은 다음과 같이 변환됩니다:

$\tilde{g}=F^{T}gF$

여기서 $\tilde{g}$는 v 좌표 시스템에서 당김 메달리스트입니다. 행렬식은 다음과 같습니다:

$det\tilde{g}=detg{(detF)}^2.$

위의 구조가 주어졌을 때, 방향을-보존하는 좌표의 변경 아래에서 부피 원소가 어떻게 변하지 않는지 이해하는 것이 이제 간단해야 합니다. 

이 차원에서, 부피는 단지 넓이일 뿐입니다. 부분집합 $B\subset U$의 넓이는 다음 적분에 의해 제공됩니다: 

${\displaystyle \begin{array}{rl}\text{Area}(B)& ={\iint }_B\sqrt{detg}\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\\ & ={\iint }_B\sqrt{detg}|detF|\mathrm{d}{v}_1\mathrm{d}{v}_2\\ & ={\iint }_B\sqrt{det\tilde{g}}\mathrm{d}{v}_1\mathrm{d}{v}_2.\end{array}}$

따라서, 두 좌표 시스템에서, 부피 원소는 같은 표현을 취합니다; 부피 원소의 표현은 좌표의 변화 아래에서 변하지 않습니다.

위의 프레젠테이션에서 이차원에 특별한 내용이 없다는 점에 유의하십시오; 위의 내용은 임의적인 차원으로 자명하게 일반화됩니다.

Example: Sphere

예를 들어, ${\mathbf{R}}^3$에서 원점에 중심을 둔 반지름 r을 갖는 구를 생각해 보십시오. 이것은 다음 맵을 갖는 구형 좌표(spherical coordinates)를 사용하여 매개변수화될 수 있습니다:

$\varphi (u_1,u_2)=(r\cos u_1\sin u_2,r\sin u_1\sin u_2,r\cos u_2).$

그런-다음

${\displaystyle g=\left(\begin{array}{cc}{r}^2{\sin }^2{u}_2& 0\\ 0& r^2\end{array}\right),}$

그리고 넓이 원소는 다음과 같습니다:

$\omega =\sqrt{detg}\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2=r^2\sin u_2\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2.$

See also

 

• Cylindrical coordinate system § Line and volume elements
• Spherical coordinate system § Integration and differentiation in spherical coordinates

 

eferences

• Besse, Arthur L. (1987), Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8
• Carroll, Sean. Spacetime and Geometry. Addison Wesley, 2004, p. 90