수학(mathematics)에서, 부피 원소(volume element)는 구형 좌표(spherical coordinates) 및 원통형 좌표(cylindrical coordinates)와 같은 다양한 좌표 시스템에서 부피(volume)에 관한 함수(function)를 적분하는 데 수단을 제공합니다. 따라서 부피 원소는 다음 형식의 표현입니다:
\(\quad \mathrm{d}V = \rho(u_1,u_2,u_3)\,\mathrm{d}u_1\,\mathrm{d}u_2\,\mathrm{d}u_3\)
여기서 \(u_i\)는 임의의 집합 \(B\)의 부피가 다음에 의해 계산될 수 있도록 하는 좌표입니다:
\(\quad\displaystyle \operatorname{Volume}(B) = \int_B \rho(u_1,u_2,u_3)\,\mathrm{d}u_1\,\mathrm{d}u_2\,\mathrm{d}u_3.\)
예를 들어, 구형 좌표에서 \(\mathrm{d}V = u_1^2\sin u_2\,\mathrm{d}u_1\,\mathrm{d}u_2\,\mathrm{d}u_3\)이고, 따라서 \(\rho = u_1^2\sin u_2\)입니다.
부피 원소의 개념은 3차원으로 제한되지 않습니다: 2차원에서 그것은 종종 넓이 원소(area element)로 알려져 있고, 이 설정에서 그것은 표면 적분(surface integrals)을 수행하는 데 유용합니다. 좌표의 변경 아래에서, 부피 원소는 (변수 변경의 공식에 의해) 좌표 변환의 야코비 행렬식(Jacobian determinant)의 절댓값에 의해 변경됩니다. 이 사실은 부피 원소가 매니폴드(manifold) 위에 일종의 측정(measure)으로 정의될 수 있도록 합니다. 방향-가능 미분-가능 매니폴드 위에, 부피 원소는 전형적으로 부피 형식(volume form): 최고 차수 미분 형식(differential form)에서 발생합니다. 비-방향가능 매니폴드 위에, 부피 원소는 전형적으로 (지역적으로 정의된) 부피 형식의 절댓값입니다: 그것은 1-밀도(1-density)를 정의합니다.
Volume element in Euclidean space
유클리드 공간(Euclidean space)에서, 부피 원소는 다음과 같이 데카르트 좌표의 미분의 곱으로 제공됩니다:
\(\quad \mathrm{d}V = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z.\)
형식 \(x=x(u_1,u_2,u_3)\), \(y=y(u_1,u_2,u_3)\), \(z=z(u_1,u_2,u_3)\)의 다른 좌표 시스템에서, 부피 원소는 좌표 변경의 야코비 (행렬식)에 의해 변경됩니다:
\(\quad\displaystyle \mathrm{d}V = \left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u_1,u_2,u_3)}\right|\,\mathrm{d}u_1\,\mathrm{d}u_2\,\mathrm{d}u_3.\)
예를 들어, 구형 좌표에서 (수학적 관례)
\(\quad\displaystyle \begin{align}
x&=\rho\cos\theta\sin\phi\\
y&=\rho\sin\theta\sin\phi\\
z&=\rho\cos\phi
\end{align}
\)
야코비 행렬식은 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle \left |\frac{\partial(x,y,z)}{\partial (\rho,\theta,\phi)}\right| = \rho^2\sin\phi\)
이때,
\(\quad\displaystyle \mathrm{d}V = \rho^2\sin\phi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi.\)
이는 미분 형식이 당김 \(F^*\)를 통해 다음과 같이 변환된다는 사실의 특별한 경우로 볼 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle F^*(u \; dy^1 \wedge \cdots \wedge dy^n) = (u \circ F) \det \left(\frac{\partial F^j}{\partial x^i}\right) \mathrm{d}x^1 \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^n \)
Volume element of a linear subspace
다음과 같은 선형적으로 독립(linearly independent) 벡터의 모음에 의해 스팬되는 n-차원 유클리드 공간(Euclidean space) \(\mathbf{R}^n\)의 선형 부분공간(linear subspace)을 생각해 보십시오:
\(\quad X_1,\dots,X_k.\)
부분공간의 부피 원소를 찾기 위해, \(X_i\)에 의해 스팬되는 평행육면체의 부피가 \(X_i\)의 그람 행렬(Gramian matrix)의 행렬식(determinant)의 제곱근이라는 선형 대수로부터 사실을 아는 것이 유용합니다.
\(\quad \sqrt{\det(X_i\cdot X_j)_{i,j=1\dots k}}.\)
부분공간에서 임의의 점 \(p\)는 다음임을 만족하는 좌표 \((u_1,u_2,\dots,u_k)\)로 주어질 수 있습니다:
\(\quad p = u_1X_1 + \cdots + u_kX_k.\)
점 \(p\)에서, 만약 우리가 변 \(\mathrm{d}u_i\)를 갖는 작은 평행육면체를 형성하면, 해당 평행육면체의 부피는 그람 행렬의 행렬식의 제곱근입니다:
\(\quad \sqrt{\det\left((du_i X_i)\cdot (du_j X_j)\right)_{i,j=1\dots k}} = \sqrt{\det(X_i\cdot X_j)_{i,j=1\dots k}}\; \mathrm{d}u_1\,\mathrm{d}u_2\,\cdots\,\mathrm{d}u_k.\)
그러므로 이것은 선형 부분공간에서 부피 형식을 정의합니다.
Volume element of manifolds
차원 n의 방향화된 리만 매니폴드(Riemannian manifold) 위에, 부피 원소는 단위 상수, 함수 \(f(x) = 1\)의 호지 이중(Hodge dual)과 같은 부피 형식입니다:
\(\quad \omega = \star 1 .\)
동등하게, 부피 원소는 정확히 레비-치비타 텐서(Levi-Civita tensor) \(\epsilon\)입니다. 좌표에서
\(\quad \omega = \epsilon =\sqrt{\left|\det g\right|}\, \mathrm{d}x^1 \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^n\)
여기서 \(\det g\)는 좌표 시스템에서 쓴 메트릭 텐서(metric tensor) g의 행렬식(determinant)입니다.
Area element of a surface
부피 원소의 간단한 예제는 n-차원 유클리드 공간(Euclidean space)에 삽입된 2-차원 표면을 고려함으로써 탐색할 수 있습니다. 그러한 부피 원소는 때때로 넓이 원소(area element)라고 불립니다. 부분집합 \(U \subset \mathbb{R}^2\)과 따라서 \(\mathbb{R}^n\)에서 삽입된 표면을 정의하는 다음 매핑 함수를 생각해 보십시오:
\(\quad \varphi:U\to \mathbb{R}^n\)
2-차원에서, 부피는 넓이일 뿐이고, 부피 원소는 표면 부분의 넓이를 결정하기 위한 방법을 제공합니다. 따라서 부피 원소는 다음 형식의 표현입니다:
\(\quad f(u_1,u_2)\,\mathrm{d}u_1\,\mathrm{d}u_2\)
이는 다음 적분을 계산함으로써 표면 위에 놓인 집합 B의 넓이를 계산할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \operatorname{Area}(B) = \int_B f(u_1,u_2)\,\mathrm{d}u_1\,\mathrm{d}u_2.\)
여기서 우리는 보통의 의미에서 넓이를 정의하는 표면 위에 부피 원소를 찾을 것입니다. 매핑의 야코비 행렬(Jacobian matrix)은 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle \lambda_{ij}=\frac{\partial \varphi_i} {\partial u_j}\)
이때 인덱스 i는 1에서 n까지 변하고, j는 1부터 2까지 변합니다. n-차원 공간에서 유클리드 메트릭(metric)은 다음 행렬 원소를 갖는 집합 U에서 메트릭 \(g = \lambda^T \lambda\)를 유도합니다:
\(\quad\displaystyle g_{ij}=\sum_{k=1}^n \lambda_{ki} \lambda_{kj}
= \sum_{k=1}^n
\frac{\partial \varphi_k} {\partial u_i}
\frac{\partial \varphi_k} {\partial u_j}.
\)
메트릭의 행렬식(determinant)은 다음에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle \det g = \left|
\frac{\partial \varphi} {\partial u_1} \wedge
\frac{\partial \varphi} {\partial u_2}
\right|^2 = \det (\lambda^T \lambda)\)
정규 표면에 대해, 이 행렬식은 사라지지 않습니다; 동등하게, 야코비 행렬은 랭크 2를 가집니다.
이제 다음과 같은 미분-동형(diffeomorphism)에 의해 주어진 U에 대한 좌표의 변경을 생각해 보십시오:
\(\quad f \colon U\to U ,\)
이때 좌표 \((u_1,u_2)\)는 \((u_1,u_2)= f(v_1,v_2)\)에 의해 \((v_1,v_2)\)의 관점에서 제공됩니다. 이 변환의 야코비 행렬은 다음에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle F_{ij}= \frac{\partial f_i} {\partial v_j}.\)
새로운 좌표에서, 다음을 가지고:
\(\quad\displaystyle \frac{\partial \varphi_i} {\partial v_j} =
\sum_{k=1}^2
\frac{\partial \varphi_i} {\partial u_k}
\frac{\partial f_k} {\partial v_j}
\)
따라서 메트릭은 다음과 같이 변환됩니다:
\(\quad \tilde{g} = F^T g F \)
여기서 \(\tilde{g}\)는 v 좌표 시스템에서 당김 메달리스트입니다. 행렬식은 다음과 같습니다:
\(\quad \det \tilde{g} = \det g \left( \det F \right)^2. \)
위의 구조가 주어졌을 때, 방향을-보존하는 좌표의 변경 아래에서 부피 원소가 어떻게 변하지 않는지 이해하는 것이 이제 간단해야 합니다.
이 차원에서, 부피는 단지 넓이일 뿐입니다. 부분집합 \(B\subset U\)의 넓이는 다음 적분에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle \begin{align}
\mbox{Area}(B)
&= \iint_B \sqrt{\det g}\; \mathrm{d}u_1\; \mathrm{d}u_2 \\
&= \iint_B \sqrt{\det g} \left|\det F\right| \;\mathrm{d}v_1 \;\mathrm{d}v_2 \\
&= \iint_B \sqrt{\det \tilde{g}} \;\mathrm{d}v_1 \;\mathrm{d}v_2.
\end{align}\)
따라서, 두 좌표 시스템에서, 부피 원소는 같은 표현을 취합니다; 부피 원소의 표현은 좌표의 변화 아래에서 변하지 않습니다.
위의 프레젠테이션에서 이차원에 특별한 내용이 없다는 점에 유의하십시오; 위의 내용은 임의적인 차원으로 자명하게 일반화됩니다.
Example: Sphere
예를 들어, \(\mathbf{R}^3\)에서 원점에 중심을 둔 반지름 r을 갖는 구를 생각해 보십시오. 이것은 다음 맵을 갖는 구형 좌표(spherical coordinates)를 사용하여 매개변수화될 수 있습니다:
\(\quad \phi(u_1,u_2) = (r \cos u_1 \sin u_2, r \sin u_1 \sin u_2, r \cos u_2).\)
그런-다음
\(\quad\displaystyle g = \begin{pmatrix}
r^2\sin^2u_2 & 0 \\
0 & r^2
\end{pmatrix},\)
그리고 넓이 원소는 다음과 같습니다:
\(\quad \omega = \sqrt{\det g}\; \mathrm{d}u_1 \mathrm{d}u_2 = r^2\sin u_2\, \mathrm{d}u_1 \mathrm{d}u_2.\)
See also
- Cylindrical coordinate system § Line and volume elements
- Spherical coordinate system § Integration and differentiation in spherical coordinates
eferences
- Besse, Arthur L. (1987), Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8
- Carroll, Sean. Spacetime and Geometry. Addison Wesley, 2004, p. 90
