수학(mathematics), 특히 미적분학(calculus)에서, 수직 접선(vertical tangent)은 수직으로 접하는(tangent) 직선입니다. 수직 직선은 무한대(infinite) 기울기(slope)를 가지기 때문에, 그래프(graph)가 수직 접선을 가지는 함수(function)는 접하는 점에서 미분-가능(differentiable)이 아닙니다.
Limit definition
함수 ƒ는 만약 도함수를 정의하기 위해 사용되는 차이 몫(difference quotient)이 다음 무한 극한을 가지면 x = a에서 수직 접선을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = {+\infty}\quad\text{or}\quad\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = {-\infty}.\)
첫 번째 경우는 위쪽-경사진 수직 접선에 해당하고, 두 번째 경우는 아래쪽-경사진 수직 접선에 해당합니다. 비공식적으로 말하면, ƒ의 그래프는 만약 a에서 ƒ의 도함수가 양의 또는 음의 무한대 중 하나이면 x = a에서 수직 접선을 가집니다.
연속 함수(continuous function)에 대해, 도함수의 극한을 취함으로써 수직 접선을 검출하는 것이 종종 가능합니다. 만약 다음이면:
\(\quad\displaystyle \lim_{x\to a} f'(x) = {+\infty}\text{,}\)
ƒ는 반드시 x = a에서 위쪽-경사진 수직 접선을 반드시 가집니다. 비슷하게, 만약 다음이면:
\(\quad\displaystyle \lim_{x\to a} f'(x) = {-\infty}\text{,}\)
ƒ는 반드시 x = a에서 아래쪽-경사진 수직 접선을 반드시 가집니다. 이들 상황에서, ƒ에 대한 수직 접선은 도함수의 그래프에 대한 수직 점근선(asymptote)으로 나타납니다.
Vertical cusps
수직 뾰족-점(vertical cusps)은 수직 접선과 밀접한 관련되어 있습니다. 이것은 한-쪽 도함수(one-sided derivative)가 모두 무한이지만, 하나는 양이고 다른 하나는 음일 때 발생합니다. 예를 들어, 만약 다음이면:
\(\quad\displaystyle \lim_{h \to 0^-}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = {+\infty}\quad\text{and}\quad \lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = {-\infty}\text{,}\)
ƒ의 그래프는 왼쪽에서 위로 경사지고 오른쪽에서 아래로 경사지는 수직 뾰족-점을 가질 것입니다.
수직 접선과 마찬가지로, 수직 뾰족-점은 도함수의 극한을 검사함으로써 연속 함수에 대해 때때로 감지될 수 있습니다. 예를 들어, 만약 다음이면:
\(\quad\displaystyle \lim_{x \to a^-} f'(x) = {-\infty} \quad \text{and} \quad \lim_{x \to a^+} f'(x) = {+\infty}\text{,}\)
ƒ의 그래프는 왼쪽에서 아래로 경사지고 오른쪽에서 위로 경사지는 수직 뾰족-점을 가질 것입니다. 이것은 왼쪽에서 \(\infty\)로 가고 오른쪽에서 \(-\infty\)로 가는 도함수의 그래프에 대한 수직 점근선에 해당합니다.
Example
다음 함수:
\(\quad\displaystyle f(x) = \sqrt[3]{x}\)
는 x = 0에서 수직 접선을 가지는데, 왜냐하면 그것은 연속이고 다음이기 때문입니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{x\to 0} f'(x) \;=\; \lim_{x\to 0} \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \;=\; \infty.\)
비슷하게, 다음 함수:
\(\quad g(x) = \sqrt[3]{x^2}\)
는 x = 0에서 수직 뾰족-점을 가지는데, 왜냐하면 그것은 연속이고 다음이기 때문입니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{x\to 0^-} g'(x) \;=\; \lim_{x\to 0^-} \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \;=\; {-\infty}\text{,}\)
및
\(\quad\displaystyle \lim_{x\to 0^+} g'(x) \;=\; \lim_{x\to 0^+} \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \;=\; {+\infty}\text{.}\)
References
- Vertical Tangents and Cusps. Retrieved May 12, 2006.
