(번역) Unit sphere

Original article: w:Unit sphere

 

수학(mathematics)에서, 단위 구(unit sphere)는 단순히 주어진 중심(center)을 주위로 반지름(radius) 일의 구(sphere)입니다. 보다 일반적으로, 그것은 고정된 중심 점에서 거리(distance) 1의 점들의 집합(set of points)이며, 여기서 다른 노름(norms)이 "거리"의 일반적인 개념으로 사용될 수 있습니다. 단위 공(unit ball)은 고정된 중심 점에서 1보다 작거나 같은 거리의 점의 닫힌 집합(closed set)입니다. 보통 중심(origin)은 공간의 원점에 있으므로, 우리는 "단위 공" 또는 "단위 구"라고 말합니다. 특수한 경우는 단위 원(unit circle)과 단위 디스크(unit disk)입니다.

단위 구의 중요성은 임의의 구는 평행이동(translation)과 스케일링(scaling)의 조합에 의해 단위 구로 변형될 수 있다는 것입니다. 이런 방법으로, 일반적으로 구의 속성은 단위 구의 연구로 축소될 수 있습니다.

Unit spheres and balls in Euclidean space

n 차원의 유클리드 공간(Euclidean space)에서, (n−1)-차원 단위 구는 다음 방정식을 만족시키는 모든 점 $(x_1,\dots ,x_n)$의 집합입니다:

$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2=1.$

n-차원 열린 단위 공은 다음 부등식(inequality)을 만족시키는 모든 점의 집합입니다:

$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2<1,$

그리고 n-차원 닫힌 단위 공은 다음 부등식(inequality)을 만족시키는 모든 점의 집합입니다:

$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2\le 1.$

General area and volume formulas

단위 구의 고전적인 방정식은 1의 반지름을 갖고 x-, y-, 또는 z-축에 변경이 없는 타원면체의 방정식입니다:

$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=1$

n-차원 유클리드 공간에서 단위 공의 부피와 단위 구의 표면 넓이는 많은 중요한 해석학(analysis)의 공식에 나타납니다. n 차원에서 단위 공의 부피는, $V_n$으로 표시하며, 감마 함수(gamma function)를 사용함으로써 표현될 수 있습니다. 그것은 다음입니다:

${\displaystyle V_n=\frac{{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(1+n/2)}=\{\begin{array}{ll}{\pi }^{n/2}/(n/2)!& \mathrm{if}n\ge 0\mathrm{is}\mathrm{even},\\ \\ {\pi }^{\lfloor n/2\rfloor }{2}^{\lceil n/2\rceil }/n!!& \mathrm{if}n\ge 0\mathrm{is}\mathrm{odd},\end{array}}$

여기서 n!!는 두 배 팩토리얼(double factorial)입니다.

(n−1)-차원 단위 구의 초-부피 (즉, n-차원 단위 공의 경계의 "넓이")는, $A_{n-1}$로 표시하며, 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

${\displaystyle A_{n-1}=n{V}_n=\frac{n{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(1+n/2)}=\frac{2{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(n/2)},}$

여기서 마지막 상등은 오직 n > 0에 대해 유지됩니다. 예를 들어, $A_0=2$는 단위 공 $[-1,1]\subset \mathbb{R}$의 경계의 "넓이"이며, 단순히 두 점을 세는 것입니다. 그런-다음 $A_1=2\pi$는 단위 디스크 경계의 "넓이"이며, 이는 단위 원의 둘레입니다.  $A_2=4\pi$는 단위 공 $\{x\in {\mathbb{R}}^3:x_1^2+x_2^2+x_3^2\le 1\}$의 경계의 넓이이며, 이는 단위 구 $\{x\in {\mathbb{R}}^3:x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\}$의 표면 넓이입니다.

일부 $n$의 값에 대한 표면 넓이와 부피는 다음과 같습니다:

여기서 n ≥ 2에 대해 십진 전개 값은 표시된 정밀도로 반올림됩니다.

Recursion

$A_n$ 값은 다음 재귀를 만족시킵니다:

$A_0=2$

$A_1=2\pi$

${\displaystyle A_n=\frac{2\pi }{n-1}{A}_{n-2}}$ for $n>1$.

$V_n$ 값은 다음 재귀를 만족시킵니다:

$V_0=1$

$V_1=2$

${\displaystyle V_n=\frac{2\pi }{n}{V}_{n-2}}$ for $n>1$.

Non-negative real-valued dimensions

n의 비-음의 실수 값에서 값 ${\displaystyle 2^{-n}{V}_n=\frac{{\pi }^{n/2}}{2^n\mathrm{\Gamma }(1+n/2)}}$은 때때로 하우스도르프 측정의 정규화에 사용됩니다.

Other radii

반지름 r을 갖는 (n−1)-차원 구의 표면 넓이는 $A_{n-1}{r}^{n-1}$이고 반지름 r을 갖는 n-차원 공의 부피는 $V_n{r}^n$입니다. 예를 들어, 반지름 r을 갖는 심-차원 공의 이-차원 표면에 대한 넓이는 $A=4\pi r^2$입니다. 반지름 r을 갖는 삼-차원 공의 부피는 $V=4\pi r^3/3$입니다.

Unit balls in normed vector spaces

노름(norm) $\Vert \cdot \Vert$을 갖는 노름된 벡터 공간(normed vector space) $V$의 열린 단위 공(open unit ball)은 다음에 의해 제공됩니다:

$\{x\in V:\Vert x\Vert <1\}$

그것은 (V,||·||)의 닫힌 단위 공의 토폴로지적 내부(topological interior)입니다:

$\{x\in V:\Vert x\Vert \le 1\}$

후자는 전자와 그것들의 공통 경계의 서로소 합집합, (V,||·||)의 단위 구입니다:

$\{x\in V:\Vert x\Vert =1\}$

단위 공의 '모양'은 선택된 노름에 전적으로 의존합니다; 그것은 '모서리'를 가질 수 있고, 예를 들어 $R^n$에서 최대-노름의 경우에서 $[-1,1{]}^n$처럼 보일 수 있습니다. 우리는 유클리드 거리(Euclidean distance) 위에 유한-차원 경우를 기반으로 보통의 힐베르트 공간(Hilbert space) 노름에 속하는 단위 공으로 자연스럽게 둥근 공(round ball)을 얻습니다; 그것의 경계는 보통 단위 구(unit sphere)가 의미하는 것입니다.

$x=(x_1,...x_n)\in {\mathbb{R}}^n$라고 놓습니다. 보통 p ≥ 1에 대해 ${\ell }_p$-노름을 다음과 같이 정의합니다:

${\displaystyle \Vert x{\Vert }_p={\left(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p\right)}^{1/p}}$

그런-다음 $\Vert x{\Vert }_2$는 보통의 힐베르트 공간(Hilbert space) 노름입니다. $\Vert x{\Vert }_1$은 해밍 노름 또는 ${\ell }_1$-노름이라고 불립니다. 조건 p ≥ 1은 ${\ell }_p$ 노름의 정의에서 필요인데, 왜냐하면 임의의 노름된 공간에서 단위 공이 삼각형 부등식(triangle inequality)의 결과로 볼록(convex)이어야 하기 때문입니다. $\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$는 x의 최대 노름 또는 ${\ell }_{\mathrm{\infty }}$-노름을 나타내도록 놓습니다.

이-차원 단위 공의 일-차원 원주 $C_p$에 대해, 다음을 가짐을 주목하십시오:

$C_1=4\sqrt{2}$가 최댓값입니다.

$C_2=2\pi .$

$C_{\mathrm{\infty }}=8$가 최댓값입니다.

Generalizations

Metric spaces

위의 세 가지 정의는 모두 선택한 원점과 관련하여 메트릭 공간(metric space)으로 간단하게 일반화될 수 있습니다. 어쨌든, 토폴로지적 고려 사항 (내부, 클로저, 경계)은 같은 방법으로 적용될 필요가 없고 (예를 들어, 초메트릭(ultrametric) 공간에서, 세 가지 모두 동시에 열린 집합과 닫힌 집합입니다), 일부 메트릭 공간에서 단위 구가 심지어 빈 것일 수 있습니다.

Quadratic forms

만약 V가 실수 이차 형식(quadratic form) F:V → R을 갖는 선형 공간이면, { p ∈ V : F(p) = 1 }는 V의 단위 구 또는 단위 준-구(unit quasi-sphere)라고 불릴 수 있습니다. 예를 들어, 이차 형식 $x^2-y^2$은, 일과 같다고 설정될 때, 분할-복소수(split-complex numbers)의 평면에서 "단위 원" 역할을 하는 단위 쌍곡선(unit hyperbola)을 생성합니다. 유사하게, 이차 형식 $x^2$은 이중 숫자(dual number) 평면에서 단위 구에 대한 한 쌍의 직선을 생성합니다.

See also

• Ball
• Sphere
• Unit circle
• Unit disk
• Unit square

Notes and references

• Mahlon M. Day (1958) Normed Linear Spaces, page 24, Springer-Verlag.
• Deza, E.; Deza, M. (2006), Dictionary of Distances, Elsevier, ISBN 0-444-52087-2. Reviewed in Newsletter of the European Mathematical Society 64 (June 2007), p. 57. This book is organized as a list of distances of many types, each with a brief description.

External links

• Weisstein, Eric W. "Unit sphere". MathWorld.