수학(mathematics)에서, 단위 구간은 닫힌 구간(closed interval) [0,1], 즉, 0보다 크거나 같고 1보다 작거나 같은 모든 실수(real number)의 집합(set)입니다. 그것은 종종 I (대문자 I)로 표시됩니다. 실수 해석학(real analysis)에서의 역할 외에도, 단위 구간은 토폴로지(topology) 분야에서 호모토피 이론(homotopy theory)을 연구하기 위해 사용됩니다.
문헌에서, 용어 "단위 구간"은 때때로 0에서 1 사이의 구간이 취할 수 있는 다른 모양: (0,1], [0,1), 및 (0,1)에 적용됩니다. 어쨌든, 표기법 I는 닫힌 구간 [0,1]에 대해 가장 공통적으로 예약되어 있습니다.
Properties
단위 구간은 확장된 실수 직선(extended real number line)과 위상-동형적(homeomorphic), 완비 메트릭 공간(complete metric space)입니다. 토폴로지적 공간(topological space)으로서, 그것은 컴팩트(compact), 축약-가능(contractible), 경로 연결된(path connected), 및 지역적으로 경로 연결된(locally path connected) 것입니다. 힐베르트 입방체(Hilbert cube)는 단위 구간의 셀-수-있게 많은 사본의 토폴로지적 곱을 취함으로써 얻습니다.
수학적 해석학(mathematical analysis)에서, 단위 구간은 그것의 경계가 두 점 0과 1로 구성된 일-차원(one-dimensional) 해석적 매니폴드(manifold)입니다. 그것의 표준 방향(orientation)은 0에서 1로 갑니다.
단위 구간은 전체적으로 순서화된 집합(totally ordered set)과 완비 격자(complete lattice)입니다 (단위 구간의 모든 각 부분집합은 상한(supremum)과 하한(infimum)을 가집니다).
Cardinality
집합의 크기 또는 카디널리티(cardinality)는 그것이 포함하는 원소의 숫자입니다.
단위 구간은 실수(real number) \(\mathbb{R}\)의 부분집합(subset)입니다. 어쨌든, 그것은 전체 집합과 크기: 연속체의 카디널리티(cardinality of the continuum)를 가집니다. 실수는 무한하게 긴 직선을 따라 점을 나타내기 위해 사용될 수 있으므로, 이것은 해당 직선의 일부인 길이 1의 선분(line segment)은 전체 직선과 같은 숫자의 점을 가짐을 의미합니다. 게다가, 그것은 넓이(area) 1의 정사각형, 부피(volume) 1의 정육면체(cube), 및 심지어 무경계진 n-차원 유클리드 공간(Euclidean space) \(\mathbb{R}^n\)으로 같은 숫자의 점을 가집니다 (공간-채우는 곡선(space-filling curve)을 참조하십시오).
위에서 언급한 모든 집합의 원소 (실수 또는 점)의 숫자는 셀-수-없는(uncountable) 것인데, 왜냐하면 그것은 자연수(natural number)의 숫자보다 엄격하게 더 크기 때문입니다.
Generalizations
길이 2를 갖는, 구간 [-1,1]은 양수와 음수 단위로 구분되며, 삼각 함수(trigonometric function) 사인과 코사인과 쌍곡형 함수(hyperbolic function) tanh의 범위(range)에서와 같이 자주 발생합니다. 이 구간은 역함수(inverse function)의 도메인(domain)에 사용될 수 있습니다. 예를 들어, θ가 [−π/2, π/2]로 제한될 때, \(\sin\theta\)는 이 구간에 있고 아크사인은 거기에서 정의됩니다.
때때로, 용어 "단위 구간"은 호모토피 이론에서 [0,1]이 수행하는 역할과 유사한 수학의 다양한 가지에서 역할을 하는 대상을 참조하기 위해 사용됩니다. 예를 들어, 화살집(quiver)의 이론에서, 단위 구간 (의 아날로그)은 꼭짓점 집합이 \(\{0,1\}\)이고 출발지가 0이고 목적지가 1인 단일 가장자리 e를 포함하는 그래프입니다. 우리는 그런-다음 연속(continuous) 맵 사이의 호모토피 개념과 유사한 화살집 준동형(homomorphism) 사이의 호모토피(homotopy)의 개념을 정의할 수 있습니다.
Fuzzy logic
논리(logic)에서, 단위 구간 [0,1]은 부울 도메인(Boolean domain) {0,1}의 일반화로 해석될 수 있으며, 이 경우에서 값 0 또는 1만 취하는 것이 아니라, 0과 1을 포함하고 그것 사이의 값이 가정될 수 있습니다. 대수적으로, 부정(negation) (NOT)은 1 − x로 대체됩니다; 논리곱(conjunction) (AND)은 곱셈 (xy)으로 대체됩니다; 그리고 논리합(disjunction) (OR)는 드 모르간의 법칙(De Morgan's laws)에 따라 1 − (1 − x)(1 − y)로 정의됩니다.
이들 값을 논리적 진리값(truth value)으로 해석하면 퍼지 논리(fuzzy logic)와 확률적 논리(probabilistic logic)의 기초를 형성하는 다중-값 논리(multi-valued logic)를 산출합니다. 이들 해석에서, 값은 진리의 "정도" – 명제가 어느 정도까지 참인지 또는 명제가 참일 확률 – 로 해석됩니다.
See also
- Interval notation
- Unit square, cube, circle, hyperbola and sphere
- Unit impulse
- Unit vector
References
- Robert G. Bartle, 1964, The Elements of Real Analysis, John Wiley & Sons.
