단위 분수(unit fraction)는 그것의 분자로 일을 갖는 양의 분수, 1/n입니다. 그것은 양의 자연수여야 하는 분수의 분모의 곱셈의 역 (역수)입니다. 예제는 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 등입니다. 물체를 같은 부분으로 나눌 때, 각 부분은 전체의 단위 분수입니다.
두 개의 단위 분수를 곱하는 것은 또 다른 단위 분수를 생성하지만, 다른 산술 연산은 단위 분수를 보존하지 않습니다. 모듈러 산술에서, 단위 분수는 동등한 정수로 변환될 수 있으며, 모듈러 나눗셈을 곱셈으로 변환할 수 있습니다. 모든 각 유리수는 구별되는 단위 분수의 합으로 나타낼 수 있습니다; 이들 표현은 고대 이집트 수학에서의 사용을 기반으로 이집트 분수라고 불립니다. 단위 분수의 많은 무한한 합은 수학적으로 의미가 있습니다.
기하학에서, 단위 분수는 삼각형 그룹(triangle groups)의 곡률과 포드 원(Ford circles)의 접선을 특성화하기 위해 사용될 수 있습니다. 단위 분수는 공통적으로 공정한 나눗셈에 사용되고, 이 친숙한 응용은 다른 분수를 이해하기 위한 초기 단계로 수학 교육에서 사용됩니다. 단위 분수는 무차별의 원리(principle of indifference)로 인해 확률 이론(probability theory)에서 공통적입니다. 그것들은 역시 조합론적 최적화(combinatorial optimization)와 수소 스펙트럼 계열(hydrogen spectral series)에서 주파수 패턴 분석에 응용을 가집니다.
Arithmetic
단위 분수는 다음 형식으로 쓸 수 있는 유리수입니다:
\(\quad\displaystyle \frac1n,\)
여기서 \(n\)은 임의의 양의 자연수(natural number)입니다. 그것들은 따라서 양의 정수의 곱셈의 역(multiplicative inverses)입니다. 무언가를 \(n\)개의 같은 부분으로 나눌 때, 각 부분은 전체의 \(1/n\) 분수입니다.
Elementary arithmetic
임의의 두 개의 단위 분수를 곱하는 것은 또 다른 단위 분수인 곱을 초래합니다:
\(\quad\displaystyle \frac1x \times \frac1y = \frac1{xy}.\)
어쨌든, 두 개의 단위 분수를 더하는 것(adding), 빼는 것(subtracting), 또는 나누는 것(dividing)은 일반적으로 단위 분수가 아닌 결과를 생성합니다:
\(\quad\displaystyle \frac1x + \frac1y = \frac{x+y}{xy}\)
\(\quad\displaystyle \frac1x - \frac1y = \frac{y-x}{xy}\)
\(\quad\displaystyle \frac1x \div \frac1y = \frac{y}{x}.\)
이들 공식의 마지막에서 알 수 있듯이, 모든 각 분수는 두 단위 분수의 몫으로 표현될 수 있습니다.
Modular arithmetic
모듈러 산술(modular arithmetic)에서, 임의의 단위 분수는 확장된 유클리드 알고리듬(extended Euclidean algorithm)을 사용하여 동등한 정수로 변환될 수 있습니다. 이 변환은 모듈러 나눗셈을 수행하기 위해 사용될 수 있습니다: 숫자 \(x\), 모듈로 \(y\)로 나누는 것은 단위 분수 \(1/x\)를 동등한 정수 모듈로 \(y\)로 변환하고, 그런-다음 해당 숫자를 곱함으로써 수행될 수 있습니다.
더 자세히 설명하면, \(x\)가 \(y\)와 상대적으로 소수(relatively prime)라고 가정합니다 (그렇지 않으면, \(x\)로 나누는 것은 모듈로 \(y\)로 정의되지 않습니다). 최대 공통 약수(greatest common divisor)에 대한 확장된 유클리드 알고리듬은 베주의 항등식(Bézout's identity)이 다음을 만족시킴을 만족하는 정수 \(a\)와 \(b\)를 찾기 위해 사용될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle ax + by = \gcd(x,y)=1.\)
모듈로-\(y\) 산술에서, 항 \(by\)는 모듈로 \(y\)가 영이므로 제거될 수 있습니다. 이것은 다음을 남깁니다:
\(\quad \displaystyle ax \equiv 1 \pmod y.\)
즉, \(a\)는 \(x\)를 곱했을 때 일을 생성하는 숫자인 \(x\)의 모듈러 역수입니다. 동등하게,
\(\quad\displaystyle a \equiv \frac1x \pmod y.\)
따라서 \(x\)에 의한 나눗셈 (모듈로 \(y\))는 대신 정수 \(a\)를 곱함으로써 수행될 수 있습니다.
Combinations
수학에서 여러 구성은 여러 단위 분수를 함께 결합하는 것을 포함하여, 종종 그것들을 더함으로써 결합합니다.
Finite sums
모든 양의 유리수는 여러 가지 방법으로 구별되는 단위 분수의 합으로 쓸 수 있습니다. 예를 들어,
\(\quad\displaystyle \frac45=\frac12+\frac14+\frac1{20}=\frac13+\frac15+\frac16+\frac1{10}.\)
이들 합은 이집트 분수라고 불리는데, 왜냐하면 고대 이집트 문명에서 보다 일반적인 유리수에 대한 표기법으로 사용했기 때문입니다. 고대인들이 분수에 대한 가능한 표현 중에서 선택하고, 그러한 표현으로 계산하기 위해 사용한 방법을 분석하기 위해 오늘날에도 여전히 관심이 있습니다. 이집트 분수의 주제는 현대 숫자 이론(number theory)에서도 관심을 보였습니다; 예를 들어 에르되시–그레이엄 추측(Erdős–Graham conjecture)과 에르되시–스트라우스 추측(Erdős–Straus conjecture)은 오레의 조화 숫자(Ore's harmonic numbers)의 정의와 마찬가지로 단위 분수의 합에 관한 것입니다.
기하 그룹 이론(geometric group theory)에서, 삼각형 그룹(triangle groups)은 관련된 단위 분수의 합이 각각 1과 같은지, 1보다 큰지, 1보다 작은지에 따라 유클리드 경우, 구면 경우, 및 쌍곡선 경우로 분류됩니다.
Infinite series
많은 잘-알려진 [[Series (mathematics)|무한 급수(infinite series)]]는 단위 분수인 항을 포함합니다. 여기에는 다음이 포함됩니다:
- 조화 급수(harmonic series), 모든 양의 단위 분수의 합. 이 합은 발산하고, 그것의 부분 합은
- \(\frac11 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1n\)
- \(n\)에 오일러–마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)를 더한 자연 로그에 근접합니다. 모든 각 다른 덧셈을 뺄셈으로 변경하는 것은 2의 자연 로그로 합하는 교대하는 조화 급수를 생성합니다:
- \(\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots = \ln 2.\)
- π에 대한 라이프니츠 공식(Leibniz formula for π)은 다음과 같습니다:
- \(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}.\)
- 바젤 문제(Basel problem)는 제곱 단위 분수의 합과 관련이 있습니다:
- \(1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}.\)
- 유사하게, 아페리의 상수(Apéry's constant)는 세제곱된 단위 분수의 합인 무리수(irrational number)입니다.
- 이진 기하 급수(geometric series)는 다음과 같습니다:
- \(1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac1{16} + \cdots = 2.\)
Matrices
힐베르트 행렬(Hilbert matrix)은 \(i\)번째 역-대각선(antidiagonal)의 원소가 모두 단위 분수 \(1/i\)와 같은 정사각 행렬입니다. 즉, 그것은 다음과 같은 원소를 가집니다:
\(\quad\displaystyle B_{i,j} = \frac1{i+j-1}.\)
예를 들어, 다음 행렬은 힐베르트 행렬입니다:
\(\quad \begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\
\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}
\end{bmatrix}\)
그것은 역행렬에서 모든 원소가 정수라는 특이한 속성을 가집니다. 마찬가지로, Richardson (2001)은 그 원소가 분모가 피보나치 숫자(Fibonacci numbers)인 단위 분수인 행렬을 정의했습니다:
\(\quad\displaystyle C_{i,j} = \frac1{F_{i+j-1}},\)
여기서 \(F_i\)는 \(i\)번째 피보나치 숫자를 나타냅니다. 그는 이 행렬을 Filbert 행렬이라고 부르고 정수 역수를 가지는 것과 같은 속성을 가집니다.
Adjacency and Ford circles
두 개의 분수 \(a/b\)와 \(c/d\) (가장 낮은 항에서)는 만약 다음이면 인접(adjacent)이라고 불립니다:
\(\quad ad-bc=\pm1,\)
이는 그것들이 단위 분수만큼 서로 다르다는 것을 의미합니다:
\(\quad\displaystyle \left|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right|=\frac{|ad-bc|}{bd}=\frac{1}{bd}.\)
예를 들어, \(\tfrac12\)과 \(\tfrac35\)는 인접입니다: \(1\cdot 5-2\cdot 3=-1\) 및 \(\tfrac35-\tfrac12=\tfrac1{10}\). 어쨌든, 차이가 단위 분수인 일부 분수의 쌍은 이러한 의미에서 인접이 아닙니다: 예를 들어, \(\tfrac13\)과 \(\tfrac23\)는 단위 분수만큼 다르지만, 인접은 아닌데, 왜냐하면 그것들에 대해 \(ad-bc=3\)이기 때문입니다.
이 용어는 포드 원(Ford circles)의 연구에서 나온 것입니다. 이것들은 주어진 분수에서 숫자 직선에 접하고 분수의 제곱된 분모를 그것들의 지름으로 가지는 원의 시스템입니다. 분수 \(a/b\)와 \(c/d\)는 그것들의 포드 원이 접하는 원(tangent circles)인 경우에만 인접입니다.
Applications
Fair division and mathematics education
수학 교육에서, 단위 분수는 전체의 같은 부분으로 시각적으로 그것들을 설명하기 쉽기 때문에 종종 다른 종류의 분수보다 먼저 소개됩니다. 단위 분수의 공통적인 실제 사용은 많은 사람들에게 음식을 균등하게 나누는 것이고, 이러한 종류의 공정한 나눗셈(fair division)을 수행하는 연습은 학생들에게 단위 분수로 공부하도록 가르치는 표준 교실 예시입니다.
Probability and statistics
이산 공간 위의 균등 분포에서, 모든 확률은 같은 단위 분수입니다. 무차별의 원리(principle of indifference)로 인해, 이러한 형식의 확률은 통계적 계산에서 자주 발생합니다.
단위 분수와 관련된 같지-않은 확률은 지프의 법칙(Zipf's law)에서 발생합니다. 이것은 순서화된 수열에서 항목을 선택하는 것과 관련한 많은 관찰된 현상에 대해, \(n\)번째 항목이 선택될 확률이 단위 분수 \(1/n\)에 비례한다는 것을 말합니다.
Combinatorial optimization
조합론적 최적화(combinatorial optimization) 문제의 연구에서, 상자 채우기(bin packing) 문제는 용량 (각 상자에 배치된 항목의 총 크기)이 1인 상자에 배치되어야 하는 분수적 크기를 갖는 항목 입력 순서열을 포함합니다. 이러한 문제에 대한 연구는 항목 크기가 단위 분수인 제한된 상자 채우기 문제에 대한 연구가 포함되어 왔습니다.
이것에 대한 한 가지 동기는 보다 일반적인 상자 채우기 방법에 대한 테스트 사례입니다. 또 다른 하나는 같은 길이의 메시지의 모음이 각각 제한된 숫자의 통신 채널에서 반복적으로 브로드캐스트되어야 하는 바람개비 스케줄링(pinwheel scheduling)의 한 형태를 포함하며, 각 메시지는 반복되는 브로드캐스트의 시작 시간 사이에 최대 지연을 가집니다. 지연이 메시지 길이의 \(k\)배인 항목은 할당된 채널의 시간 슬롯 중 적어도 \(1/k\)의 일부를 차지해야 하므로, 스케줄링 문제에 대한 해결책은 채널을 상자로, 분수 \(1/k\)를 항목 크기로 사용하는 단위 분수 상자 채우기 문제에 대한 해결책에서만 나올 수 있습니다.
임의의 항목 크기를 갖는 상자 채우기 문제의 경우에도, 각 항목 크기를 다음으로 큰 단위 분수로 반올림하고, 그런-다음 단위 분수 크기에 특화된 상자 채우기 알고리듬을 적용하는 것이 도움이 될 수 있습니다. 특히 조화 상자 채우기(harmonic bin packing) 방법은 정확히 이것을 하고, 그런-다음 단일 반올림 단위 분수 크기의 항목만 사용하여 각 상자를 채웁니다.
Physics
수소 원자에 의해 흡수되거나 방출될 수 있는 광자(photons)의 에너지 준위는 뤼드베리 공식(Rydberg formula)에 따라 두 단위 분수의 차이에 비례적입니다. 이 현상에 대한 설명은 수소 원자의 전자 오비탈(electron orbital)의 에너지 준위가 제곱 단위 분수에 반비례적이고, 광자의 에너지가 두 준위의 차이로 양자화(quantized)되는 보어 모델(Bohr model)에 의해 제공됩니다.
아서 에딩턴(Arthur Eddington)은 미세-구조 상수(fine-structure constant)가 단위 분수였다고 주장했습니다. 그는 처음에 그것이 1/136이라고 생각했고 나중에 그의 이론을 1/137로 변경했습니다. 미세 구조 상수의 현재 추정이 (유효 자릿수 6자리까지) 1/137.036이라는 점을 감안하면 이 주장은 거짓입니다.
