미적분학(calculus)에서, 기호적 적분(symbolic integration)은 주어진 함수(function) f(x)의 역도함수(antiderivative) 또는 부정 적분에 대해 공식을 찾는 문제, 즉 다음을 만족하는 미분-가능 함수(differentiable function) F(x)를 찾는 것입니다:
\(\quad\displaystyle \frac{dF}{dx} = f(x).\)
이것은 다음과 같이 역시 표시됩니다:
\(\quad\displaystyle F(x) = \int f(x) \, dx.\)
Discussion
용어 기호적은 F에 대한 일반 공식이 아닌 특정 입력 또는 입력의 집합에서 F의 값을 찾는 수치적 적분(numerical integration)의 문제와 이 문제를 구별하기 위해 사용됩니다.
문제 둘 다는 디지털 컴퓨터 시대 이전부터 실용적이고 이론적으로 중요하다고 여겨졌지만, 현재 컴퓨터가 개별 사례를 해결하기 위해 가장 자주 사용되기 때문에 그것들은 이제 일반적으로 컴퓨터 과학(computer science)의 영역으로 고려됩니다.
표현식의 도함수를 찾는 것은 알고리듬(algorithm)을 구성하기 쉬운 간단한 과정입니다. 적분을 찾는 역 질문은 훨씬 더 어렵습니다. 비교적 단순한 많은 표현식은 닫힌 형식(closed form)으로 표현될 수 있는 적분을 가지지 않습니다. 자세한 내용에 대해 역도함수(antiderivative)와 비-기본 적분(nonelementary integral)을 참조하십시오.
기본 함수(elementary function) (4개의 기본 연산(elementary operations)을 사용하여 합성(composition)과 조합을 통해 유한 개수의 지수(exponential), 로그(logarithm), 상수(constant), 및 n번째 근(nth root)으로 구성된 함수)의 적분이 기본인지 여부를 판별하고 만약 그렇다면 그것을 반환할 수 있는 리시 알고리듬(Risch algorithm)이라고 불리는 절차가 존재합니다. 그것의 원래 형식에서, 리시 알고리듬은 직접 구현에 적합하지 않았고, 완전한 구현은 오랜 시간이 걸렸습니다. 그것은 순전히 초월적인 함수의 경우에서 Reduce에서 처음 구현되었습니다; 순전히 초월적인 함수의 경우에서 James H. Davenport에 의한 Reduce에서 해결되고 구현되었습니다; 일반적인 경우는 Manuel Bronstein에 의한 Axiom에서 해결되고 구현되었습니다.
어쨌든, 리시 알고리듬은 오직 부정 적분에 적용되고 물리학자, 이론 화학자, 및 엔지니어가 관심을 갖는 대부분의 적분은 종종 라플라스 변환(Laplace transform), 푸리에 변환(Fourier transform), 및 멜린 변환(Mellin transform)과 관련된 정 적분입니다. 일반 알고리듬이 부족하여, 컴퓨터 대수 시스템(computer algebra system)의 개발자는 패턴-일치와 특수 함수, 특히 불완전한 감마 함수(incomplete gamma function)의 활용에 기반한 휴리스틱(heuristics)을 구현해 왔습니다. 비록 이 접근 방식이 알고리듬보다는 발견적 방법이지만, 그럼에도 불구하고 실제 공학 응용에서 직면하는 많은 한정 적분을 푸는 효과적인 방법입니다. Macsyma와 같은 이전 시스템은 조회 테이블 내의 특수 함수와 관련된 몇 가지 한정 적분을 가졌습니다. 어쨌든, 매개변수, 변수 변환, 패턴 일치(pattern matching), 및 기타 조작과 관련된 특수 함수의 미분을 포함하는 이 특정 방법은 나중에 Mathematica, Axiom, MuPAD, 및 다른 시스템에서 에뮬레이트된 Maple 시스템의 개발자에 의해 개척되었습니다.
Recent advances
기호적 적분의 고전적 접근 방식에서 주요 문제는 만약 함수가 닫힌 형식(closed form)으로 표현되면, 일반적으로, 그것의 역도함수(antiderivative)가 유사한 표현을 갖지 않는다는 것입니다. 다시 말해서, 닫힌 형식으로 표현될 수 있는 함수의 클래스는 역도함수 아래에서 닫혀(closed) 있지 않습니다.
홀로노믹 함수(Holonomic function)는 대규모 함수의 클래스로, 이것은 역도함수 아래에서 닫혀 있고 적분과 많은 다른 미적분의 연산의 컴퓨터에서 알고리듬 구현을 허용합니다.
더 정확하게 말하면, 홀로노믹 함수는 다항식 계수를 갖는 동차 선형 미분 방정식(linear differential equation)의 해입니다. 홀로노믹 함수는 덧셈과 곱셈, 도함수, 및 역도함수 아래에서 닫혀 있습니다. 그것들은 대수적 함수(algebraic function), 지수 함수(exponential function), 로그(logarithm), 사인(sine), 코사인(cosine), 역 삼각 함수(inverse trigonometric functions), 역 쌍곡선 함수(inverse hyperbolic functions)를 포함합니다. 그것들은 역시 에어리 함수(Airy function), 오차 함수(error function), 베셀 함수(Bessel function), 및 모든 초기하 함수(hypergeometric function)와 같은 가장 공통적인 특수 함수를 포함합니다.
홀로노믹 함수의 기본 속성은 임의의 점에서 테일러 급수(Taylor series)의 계수가 다항식 계수를 갖는 선형 재귀 관계를 만족시키고, 이 재귀 관계(recurrence relation)는 함수를 정의하는 미분 방정식에서 계산될 수 있다는 것입니다. 반대로, 거듭제곱 급수(power series)의 계수 사이에 그러한 재귀 관계가 주어지면, 이 거듭제곱 급수는 미분 방정식이 알고리듬적으로 계산될 수 있는 홀로노믹 함수를 정의합니다. 이 재귀 관계는 테일러 급수의 빠른 계산을 허용하고, 따라서 임의적인 작은 인증된 오차를 갖는 임의의 점에서 함수의 값을 계산을 허용합니다.
이것은 미적분 방정식과 초기 조건에 의해 표현되는 홀로노믹 함수로 제한될 때 대부분의 미적분(calculus) 연산에 대한 알고리듬을 만듭니다. 이것은 역도함수와 한정 적분(definite integral)의 계산을 포함합니다 (이는 적분 구간의 끝점에서 역도함수를 평가하는 것과 같습니다). 이것은 역시 무한대에서 함수의 점근적 행위(asymptotic behavior)의 계산을 포함하고, 따라서 비-경계진 구격에 대한 한정 적분을 포함합니다.
모든 이들 연산은 Maple에 대해 algolib 라이브러리에서 구현됩니다. 역시 수학 함수의 동적 사전을 참조하십시오.
Example
예를 들어: 다음은
\(\quad\displaystyle \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C\)
부정 적분에 대해 기호적 결과입니다 (여기서 C는 적분의 상수입니다), 다음은
\(\quad\displaystyle \int_{-1}^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1= \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3}=\frac{2}{3}\)
한정 적분에 대해 기호적 결과이고, 다음은
\(\quad\displaystyle \int_{-1}^1 x^2\,dx \approx 0.6667\)
같은 한정 적분에 대해 수치적 결과입니다.
See also
References
- Bronstein, Manuel (1997), Symbolic Integration 1 (transcendental functions) (2 ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-60521-5
- Moses, Joel (March 23–25, 1971), "Symbolic integration: the stormy decade", Proceedings of the Second ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Manipulation, Los Angeles, California: 427–440
External links
- Bhatt, Bhuvanesh. "Risch Algorithm". MathWorld.
- Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica
