(번역) Symmetric matrix

Original article: w:Symmetric matrix

 

선형 대수(linear algebra)에서, 대칭 행렬(symmetric matrix)은 그것의 전치(transpose)와 같은 정사각 행렬(square matrix)입니다. 형식적으로,

$A\text{ is symmetric}⟺A=A^{\mathsf{\text{T}}}.$

같은 행렬은 같은 차원을 가지기 때문에, 정사각 행렬만 대칭일 수 있습니다.

대칭 행렬의 엔트리는 주요 대각선(main diagonal)에 관해 대칭입니다. 따라서 $a_{ij}$가 $i$-번째 행과 $j$-번째 열의 엔트리를 나타내면 모든 인덱스  $i$와 $j$에 대해 다음과 같습니다:

$A\text{ is symmetric}⟺\text{ for every }i,j,a_{ji}=a_{ij}$

모든 비-대각선 원소는 영이기 때문에, 모든 각 정사각 대각 행렬은 대칭입니다. 마찬가지로, 2와 다른 특성(characteristic)에서, 반-대칭 행렬(skew-symmetric matrix)의 각 대각 원소는 각각 자체적으로 음수이므로 영(zero)이어야 합니다.

선형 대수에서, 실수 대칭 행렬은 실수 안의 곱 공간(inner product space)에 걸쳐 직교-정규 기저(orthonormal basis)로 표현되는 자체-인접 연산자(self-adjoint operator)를 나타냅니다. 복소수(complex) 안의 곱 공간에 대해 해당하는 대상은 그것의 켤레 전치(conjugate transpose)와 같은 복소-값 엔트리를 갖는 에르미트 행렬(Hermitian matrix)입니다. 그러므로, 복소수에 걸쳐 선형 대수에서, 대칭 행렬은 실수-값 엔트리를 가지는 행렬을 참조하는 것으로 종종 가정됩니다. 대칭 행렬은 다양한 응용에서 자연스럽게 나타나고, 전형적인 수치적 선형 대수 소프트웨어는 그것들을 위한 특별한 편의를 제공합니다.

Example

다음 $3\times 3$ 행렬은 대칭입니다:

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 7& 3\\ 7& 4& 5\\ 3& 5& 1\end{array}\right]$

왜냐하면 $A=A^{\mathsf{\text{T}}}$.

Properties

Basic properties

• 두 대칭 행렬의 합과 차이는 대칭입니다.
• 이것은 곱(product)에 대해 항상 참은 아닙니다: 대칭 행렬 $A$와 $B$가 주어졌을 때, $AB$가 대칭인 것과 $A$와 $B$가 교환하는(commute), 즉, $AB=BA$인 것은 필요충분 조건입니다. 
• 임의의 정수 $n$에 대해, $A^n$은 $A$가 대칭이며 대칭입니다.
• 만약 $A^{-1}$가 존재하면, 그것이 대칭인 것과 $A$가 대칭인 것은 필요충분 조건입니다.
• 대칭 행렬 $A$의 랭크는 $A$의 비-영 고윳값의 개수와 같습니다.

Decomposition into symmetric and skew-symmetric

임의의 정사각 행렬은 대칭 행렬과 반-대칭 행렬의 합으로 고유하게 쓸 수 있습니다. 이 분해는 퇴플리츠 분해라고 알려져 있습니다. ${\text{Mat}}_n$가 $n\times n$ 행렬의 공간을 나타낸다고 놓습니다. 만약 ${\text{Sym}}_n$이 $n\times n$ 대칭 행렬의 공간을 나타내고 ${\text{Skew}}_n$이 $n\times n$ 반-대칭 행렬의 공간을 나타내면, ${\text{Mat}}_n={\text{Sym}}_n+{\text{Skew}}_n$와 ${\text{Sym}}_n\cap {\text{Skew}}_n=\{0\}$, 즉,

${\text{Mat}}_n={\text{Sym}}_n\oplus {\text{Skew}}_n,$

여기서 $\oplus$는 직접 합(direct sum)을 나타냅니다. $X\in {\text{Mat}}_n$라고 놓으면, 

${\displaystyle X=\frac{1}{2}(X+X^{\mathsf{\text{T}}})+\frac{1}{2}(X-X^{\mathsf{\text{T}}}).}$

$\frac{1}{2}(X+X^{\mathsf{\text{T}}})\in {\text{Sym}}_n$와 $\frac{1}{2}(X-X^{\mathsf{\text{T}}})\in {\mathrm{Skew}}_n$임을 주의하십시오. 이것은 특성(characteristic)이 2와 다른 임의의 필드(field)에서 엔트리를 갖는 모든 각 정사각 행렬(square matrix) $X$에 대해 참입니다.

대칭 $n\times n$ 행렬은 $\frac{1}{2}n(n+1)$ 스칼라 (주요 대각선 위 또는 위쪽 엔트리의 개수)에 의해 결정됩니다. 마찬가지로, 반-대칭 행렬(skew-symmetric matrix)은 $\frac{1}{2}n(n-1)$ 스칼라 (주요 대각선 위쪽 엔트리의 개수)에 의해 결정됩니다.

Matrix congruent to a symmetric matrix

대칭 행렬과 합동(congruent)인 임의의 행렬은 다시 대칭입니다: 만약 $X$가 대칭 행렬이면, 임의의 행렬 $A$에 대한 $AX{A}^{\mathrm{T}}$도 마찬가지입니다.

Symmetry implies normality

(실수-값) 대칭 행렬은 필연적으로 정규 행렬(normal matrix)입니다.

Real symmetric matrices

${\mathbb{R}}^n$ 위의 표준 안의 곱(inner product)을 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$로 표시합니다. 실수 $n\times n$ 행렬 $A$가 대칭인 것과 다음인 것은 필요충분 조건입니다:
$⟨Ax,y⟩=⟨x,Ay⟩\mathrm{\forall }x,y\in {\mathbb{R}}^n.$

이 정의는 기저(basis)의 선택과 무관하기 때문에, 대칭은 선형 연산자(linear operator) A와 안의 곱(inner product)의 선택에만 의존하는 속성입니다. 대칭의 이러한 특성화는, 예를 들어, 미분 기하학(differential geometry)에서, 매니폴드(manifold)에 대한 각 접 공간(tangent space)에 유용하며, 리만 매니폴드(Riemannian manifold)라고 불리는 것을 발생시키는 안의 곱을 부여받을 수 있습니다. 이 형식화가 사용되는 또 다른 영역은 힐베르트 공간(Hilbert spaces)입니다.

유한-차원 스펙트럼 정리(spectral theorem)는 그 엔트리가 실수인 임의의 대칭 행렬은 직교 행렬(orthogonal matrix)에 의해 대각화될 수 있다고 말합니다. 보다 명시적으로: 모든 각 실수 대칭 행렬 $A$에 대해, $D=Q^{\mathrm{T}}AQ$가 대각 행렬(diagonal matrix)임을 만족하는 실수 직교 행렬 $Q$가 존재합니다. 따라서 모든 각 실수 대칭 행렬은, 직교정규 기저(orthonormal basis)의 선택까지(up to), 대각 행렬입니다.

만약 $A$와 $B$가 교환하는 $n\times n$ 실수 대칭 행렬이면, 그것들은 동시에 대각선화될 수 있습니다: 기저의 모든 각 원소가 $A$와 $B$ 모두에 대한 고유벡터(eigenvector)임을 만족하는 ${\mathbb{R}}^n$의 기저가 존재합니다.

모든 각 실수 대칭 행렬은 에르미트(Hermitian)이고, 따라서 모든 그것의 고윳값(eigenvalues)은 실수입니다. (사실, 고윳값은 (위의) 대각 행렬 $D$에서 엔트리이고, 따라서 $D$는 그것의 엔트리의 순서까지 $A$에 의해 고유하게 결정됩니다.) 필연적으로, 실수 행렬에 대해 대칭적이 되는 속성은 복소수 행렬에 대해 에르미트가 되는 속성에 해당합니다.

Complex symmetric matrices

복소수 대칭 행렬은 유니태리 행렬(unitary matrix)을 사용하여 '대각화'될 수 있습니다: 따라서 만약 $A$가 복소수 대칭 행렬이면, $UA{U}^{\mathrm{T}}$가 비-음의 엔트리를 갖는 실수 대각 행렬임을 만족하는 유니태리 행렬 $U$가 있습니다. 이 결과는 오톤-다카기 인수분해(Autonne–Takagi factorization)라고 참조됩니다. 그것은 원래 리온 오톤(Léon Autonne, 1915)과 데이지 다카기(Teiji Takagi, 1925)에 의해 입증되었고 여러 다른 수학자에 의해 다른 증명으로 재발견되었습니다. 사실, 행렬 $B=A^{†}A$는 에르미트이고 양수 반-한정(positive semi-definite)이므로, $V^{†}BV$가 비-음의 실수 엔트리를 갖는 대각임을 만족하는 유니태리 행렬 $V$가 있습니다. 따라서 $C=V^{\mathrm{T}}AV$는 $C^{†}C$ 실수를 갖는 복소수 대칭입니다. $X$와 $Y$ 실수 대칭 행렬을 갖는 $C=X+iY$를 쓰면, $C^{†}C=X^2+Y^2+i(XY-YX)$입니다. 따라서 $XY=YX$입니다. $X$와 $Y$가 교환하기 때문에, $WX{W}^{\mathrm{T}}$와 $WY{W}^{\mathrm{T}}$ 둘 다가 대각임을 만족하는 실수 직교 행렬 $W$가 있습니다. $U=W{V}^{\mathrm{T}}$ (유니태리 행렬)로 설정하면, 행렬 $UA{U}^{\mathrm{T}}$는 복소 대각입니다. $U$를 적절한 대각 유니태리 행렬 (U의 유니태리성을 유지함)로 미리-곱하면, $UA{U}^{\mathrm{T}}$의 대각 엔트리가 원하는 대로 실수이고 비-음수 값이 되도록 만들 수 있습니다. 이 행렬을 구성하기 위해, 대각 행렬을 $UA{U}^{\mathrm{T}}=\mathrm{diag}(r_1{e}^{i{\theta }_1},r_2{e}^{i{\theta }_2},\dots ,r_n{e}^{i{\theta }_n})$으로 표현합니다. 우리가 구하는 행렬은 간단히 $UA{U}^{\mathrm{T}}=\mathrm{diag}(r_1{e}^{i{\theta }_1},r_2{e}^{i{\theta }_2},\dots ,r_n{e}^{i{\theta }_n})$로 주어집니다. 분명하게, 원하는 대로 $DUA{U}^{\mathrm{T}}D=\mathrm{diag}(r_1,r_2,\dots ,r_n)$이므로,  수정 $U^{\prime }=DU$를 만듭니다. 이들의 제곱은 $A^{†}A$의 고윳값이므로, $A$의 특이값(singular values)과 일치합니다. (복소 대칭 행렬 $A$의 고유-분해에 대해, $A$의 조르당(Jordan) 정규 형식은 대각이 아닐 수 있으며, 따라서 $A$는 임의의 닮음 변환에 의해 대각선화되지 않을 수 있습니다.)

Decomposition

조르당 정규 형식(Jordan normal form)을 사용하여, 모든 각 정사각 실수 행렬이 두 개의 실수 대칭 행렬의 곱으로 쓸 수 있고, 모든 각 정사각 복소수 행렬이 두 개의 복소수 대칭 행렬의 곱으로 쓸 수 있음을 입증할 수 있습니다.

모든 각 실수 비-특이 행렬(non-singular matrix)은 직교 행렬(orthogonal matrix)과 대칭 양수 한정 행렬(positive definite matrix)의 곱으로 고유하게 분해될 수 있으며, 이것은 극 분해(polar decomposition)라고 불립니다. 특이 행렬도 인수화될 수 있지만, 고유하지는 않습니다.

숄레스키 분해(Cholesky decomposition)는 모든 각 실수 양수-한정 대칭 행렬 $A$가 아래쪽-삼각 행렬 $L$과 그 전치의 곱이라고 말합니다:

$A=L{L}^{\mathsf{\text{T}}}.$

만약 행렬이 대칭 부정 행렬이면, 그것은 여전히 $PA{P}^{\mathsf{\text{T}}}=LD{L}^{\mathsf{\text{T}}}$로 분해될 수 있으며, 여기서 $P$는 순열 행렬 (피벗(pivot)해야 할 필요성에서 발생), $L$은 아래쪽 단위 삼각 행렬, 및 $D$는 대칭 $1\times 1$와 $2\times 2$ 블록의 직접 합이며, 이는 번치-코프먼 분해(Bunch–Kaufman decomposition)라고 불립니다.

일반적인 (복소수) 대칭 v 아닙니다. 만약 $A$가 대각화-가능이면, 그것은 다음과 같이 분해될 수 있습니다:

$A=Q\mathrm{\Lambda }{Q}^{\mathsf{\text{T}}}$

여기서 $Q$는 직교 행렬 $Q{Q}^{\mathsf{\text{T}}}=I$이고, $\mathrm{\Lambda }$는$A$의 고윳값의 대각 행렬입니다. $A$가 실수 대칭인 특별한 경우에서, $Q$와 $\mathrm{\Lambda }$도 역시 실수입니다. 직교성을 보기 위해, $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$가 구별되는 고윳값 ${\lambda }_1$, ${\lambda }_2$에 해당하는 고유벡터라고 가정합니다. 그런-다음
${\lambda }_1⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=⟨A\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=⟨\mathbf{x},A\mathbf{y}⟩={\lambda }_2⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩.$

왜냐하면 ${\lambda }_1$과 ${\lambda }_2$가 구별되므로, $⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=0$을 가집니다.

Hessian

실수 함수의 대칭 $n\times n$ 행렬은 $n$ 실수 변수의 두 번 미분-가능 함수의 헤세(Hessians)로 나타납니다 (반대에 대한 공통적인 믿음에도 불구하고, 이차 도함수의 연속성은 필요하지 않습니다). 

${\mathbb{R}}^n$ 위의 모든 각 이차 형식(quadratic form) $q$는 대칭 $n\times n$ 행렬 $A$를 갖는 $q(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{\mathsf{\text{T}}}A\mathbf{x}$ 형식으로 고유하게 쓸 수 있습니다. 위의 스펙트럼 정리로 인해, 모든 각 이차 형식은, ${\mathbb{R}}^n$의 직교정규 기저의 선택까지, 실수 ${\lambda }_i$를 갖는 다음"처럼 보입니다": 

${\displaystyle q(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i^2}$

이것은 원뿔 단면(conic sections)의 일반화인 수준 집합 $\{\mathbf{x}:q(\mathbf{x})=1\}$의 연구뿐만 아니라 이차 형식의 연구를 상당히 단순화합니다.

이것은 부분적으로 모든 각 매끄러운 다중-변수 함수의 이차 행동이 함수의 헤세에 속하는 이차 형식으로 설명되기 때문에 중요합니다; 이것은 테일러의 정리(Taylor's theorem)의 결과입니다.

Symmetrizable matrix

$n\times n$ 행렬 $A$는 $A=DS$임을 만족하는 역-가능 대각 행렬(diagonal matrix) $D$와 대칭 행렬 $S$가 존재하면 대칭-가능(symmetrizable)이라고 말합니다.

대칭-가능 행렬의 전치는 대칭-가능인데, 왜냐하면 $A^{\mathrm{T}}=(DS{)}^{\mathrm{T}}=SD=D^{-1}(DSD)$이고 $DSD$가 대칭이기 때문입니다.  행렬 $A=(a_{ij})$이 대칭-가능인 것과 다음 조건이 충족되는 것은 필요충분 조건입니다:

1. $a_{ij}=0$ implies $a_{ji}=0$ for all $1\le i\le j\le n.$
2. $a_{i_1{i}_2}{a}_{i_2{i}_3}\dots a_{i_k{i}_1}=a_{i_2{i}_1}{a}_{i_3{i}_2}\dots a_{i_1{i}_k}$ for any finite sequence $(i_1,i_2,\dots ,i_k).$

See also

 

• Skew-symmetric matrix (also called antisymmetric or antimetric)

 

References

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6

External links

• "Symmetric matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• A brief introduction and proof of eigenvalue properties of the real symmetric matrix
• How to implement a Symmetric Matrix in C++