수학(mathematics), 특히 선형 대수(linear algebra)에서, 반-대칭(skew-symmetric 또는 antisymmetric 또는 antimetric) 행렬은 그 전치(transpose)가 그것의 음수와 같은 정사각 행렬입니다. 즉, 그것은 다음 조건을 만족시킵니다:
\(\quad A \text{ skew-symmetric} \quad \iff \quad A^\textsf{T} = -A.\)
행렬의 엔트리의 관점에서, 만약 \(a_{ij}\)가 \(i\)-번째 행과 \(j\)-번째 열에 있는 엔트리를 나타내면, 반-대칭 조건은 다음과 동등합니다:
\(\quad A \text{ skew-symmetric} \quad \iff \quad a_{ji} = -a_{ij}.\)
Example
다음 행렬은
\(\quad A =
\begin{bmatrix}
0 & 2 & -45 \\
-2 & 0 & -4 \\
45 & 4 & 0
\end{bmatrix}
\)
반대칭인데 왜냐하면
\(\quad -A =
\begin{bmatrix}
0 & -2 & 45 \\
2 & 0 & 4 \\
-45 & -4 & 0
\end{bmatrix} = A^\textsf{T}
.\)
Properties
전체에 걸쳐, 우리는 모든 행렬 엔트리가 그 특성(characteristic)이 2와 같지 않은 필드(field) \(\mathbb{F}\)에 속한다고 가정합니다. 즉, 1 + 1 ≠ 0이라고 가정하며, 여기서 1은 주어진 필드의 곱셈 항등식을 나타내고 0은 덧셈 항등식을 나타냅니다. 만약 필드의 특성이 2이면, 반-대칭 행렬은 대칭 행렬(symmetric matrix)과 같은 것입니다:
- 두 반-대칭 행렬의 합은 반-대칭입니다.
- 반-대칭 행렬의 스칼라 배수는 반-대칭입니다.
- 반-대칭 행렬의 대각선 위에 있는 원소는 영이고, 따라서 그것의 대각합(trace)은 영과 같습니다.
- 만약 \(A\)가 실수 반-대칭 행렬이고 \(\lambda\)가 실수 고윳값(eigenvalue)이면, \(\lambda = 0\), 즉. 반-대칭 행렬의 비-영 고윳값은 비-실수입니다.
- 만약 \(A\)가 실수 반-대칭 행렬이면, \(I + A\)는 역가능(invertible)이며, 여기서 \(I\)는 항등 행렬입니다.
- 만약 \(A\)가 반-대칭 행렬이면, \(A^2\)은 대칭 음수 반-항정 행렬(negative semi-definite matrix)입니다.
Vector space structure
위의 처음 두 속성의 결과로, 고정된 크기의 모든 반-대칭 행렬의 집합은 벡터 공간(vector space)을 형성합니다. \(n \times n\) 반-대칭 행렬의 공간은 차원(dimension) \(\frac{1}{2}n(n - 1)\)을 가집니다.
\(\mbox{Mat}_n\)가 \(n \times n\) 행렬의 공간을 나타낸다고 놓습니다. 반-대칭 행렬은 \(\frac{1}{2}n(n - 1)\) 스칼라 (주요 대각선 위쪽 편에 있는 엔트리의 개수)에 의해 결정됩니다; 대칭 행렬(symmetric matrix)은 \(\frac{1}{2}n(n + 1)\) 스칼라 (주요 대각선 위에 또는 위쪽 편에 있는 엔트리의 개수)에 의해 결정됩니다. \(\mbox{Skew}_n\)가 \(n \times n\) 반-대칭 행렬의 공간을 나타내고 \(\mbox{Sym}_n\)는 \(n \times n\) 대칭 행렬의 공간을 나타낸다고 놓습니다. 만약 \(A \in \mbox{Mat}_n\)이면,
\(\quad\displaystyle A = \frac{1}{2}\left(A - A^\mathsf{T}\right) + \frac{1}{2}\left(A + A^\mathsf{T}\right).\)
\(\frac{1}{2}\left(A - A^\textsf{T}\right) \in \mbox{Skew}_n\) 및 \(\frac{1}{2}\left(A + A^\textsf{T}\right) \in \mbox{Sym}_n\)를 주목하십시오. 이것은 그 특성(characteristic)이 2와 다른 임의의 필드(field)로부터 엔트리를 갖는 모든 각 정사각 행렬에 대해 참입니다. 그런-다음, \(\mbox{Mat}_n = \mbox{Skew}_n + \mbox{Sym}_n\) 및 \(\mbox{Skew}_n \cap \mbox{Sym}_n = \{0\}\)이기 때문에,
\(\quad \mbox{Mat}_n = \mbox{Skew}_n \oplus \mbox{Sym}_n,\)
여기서 \(\oplus\)는 직접 합(direct sum)을 나타냅니다.
\(\mathbb{R}^n\) 위에 표준 안의 곱(inner product)을 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\)에 의해 나타냅니다. 실수 \(n \times n\) 행렬 \(A\)가 반-대칭인 것과 다음인 것은 필요충분 조건입니다:
\(\quad \langle Ax,y \rangle = - \langle x, Ay\rangle \quad \text{ for all } x, y \in \mathbb{R}^n.\)
이것은 역시 모든 \(x \in \mathbb{R}^n\)에 대해 \(\langle x, Ax \rangle = 0\)와 동등합니다 (한 가지 의미는 명백하고, 다른 하나는 모든 \(x\)와 \(y\)에 대해 \(\langle x + y, A(x + y)\rangle = 0\)의 평범한 결과입니다).
이 정의는 기저(basis)의 선택과 무관하므로, 반-대칭은 선형 연산자(linear operator) \(A\)와 안의 곱(inner product)의 선택에만 의존하는 속성입니다.
\(3 \times 3\) 반-대칭 행렬은 교차 곱(cross products)을 행렬 곱셈으로 나타내기 위해 사용될 수 있습니다.
게다가, 만약 \(A\)가 반-대칭 (또는 반-에르미트) 행렬이면, 몯 \(x \in \mathbb{C}^n\)에 대해 \(x^T A x = 0\)입니다.
Determinant
\(A\)를 \(n \times n\) 반-대칭 행렬이라고 놓습니다. \(A\)의 행렬식(determinant)은 다음을 만족시킵니다:
\(\quad \det\left(A^\textsf{T}\right) = \det(-A) = (-1)^n \det(A).\)
특히, \(n\)이 홀수이고, 놓여있는 필드가 특성 2의 것이 아니므로, 행렬식은 사라집니다. 따라서, 모든 홀수 차원 반-대칭 행렬은 그 행렬식이 항상 영이기 때문에 특이 행렬입니다. 이 결과는 카를 구스타프 야코비(Carl Gustav Jacobi) (Eves, 1980)의 이름을 따서 야코비의 정리(Jacobi’s theorem)라고 불립니다.
짝수-차원의 경우가 더 흥미 롭습니다. 그것은 짝수 \(n\)에 대한 \(A\)의 행렬식은 케일리에 의해 처음 입증된 \(A\)의 엔트리에서 다항식(polynomial)의 제곱으로 쓸 수 있음이 밝혀졌습니다:
\(\quad\det(A) = \operatorname{Pf}(A)^2.\)
이 다항식은 \(A\)의 파피안(Pfaffian)이라고 불리고 \(\operatorname{Pf}(A)\)로 표시됩니다. 따라서, 실수 반-대칭 행렬의 행렬식은 항상 비-음수입니다. 어쨌든, 이 마지막 사실은 다음과 같은 기본 방법으로 입증될 수 있습니다: 실수 반-대칭 행렬의 고윳값은 순수한 허수이고 (아래 참조) 같은 중복도를 갖는 켤레 고윳값은 모든 각 고윳값에 해당합니다; 따라서, 행렬식은 고윳값의 곱이므로, 각 고윳값은 그것의 중복에 따라 반복되며, 행렬식은 0이 아니면 그것은 양의 실수임이 따라옵니다.
차수 \(n\)의 반-대칭 행렬의 행렬식의 확장에서 구별되는 항 \(s(n)\)의 개수는 케일리, 실베스터, 및 파프에 의해 이미 고려되어 왔습니다. 취소로 인해, 이 숫자는 \(n!\)인 차수 \(n\)의 일반 행렬의 항 개수와 비교할 때 매우 작습니다. 수열 \(s(n)\) (OEIS에서 수열 A002370)은 다음과 같습니다:
\(\quad 1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0, ...\)
그리고 그것은 지수 생성 함수(exponential generating function)로 인코딩됩니다:
\(\quad\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{s(n)}{n!}x^n = \left(1 - x^2\right)^{-\frac{1}{4}}\exp\left(\frac{x^2}{4}\right).\)
후자는 (짝수 \(n\)에 대해) 점근선으로 산출합니다:
\(\quad\displaystyle s(n) = \pi^{-\frac{1}{2}} 2^\frac{3}{4} \Gamma\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{n}{e}\right)^{n - \frac{1}{4}} \left(1 + O\left(\frac{1}{n}\right)\right).\)
양수 항과 음수 항의 개수는 전체의 대략적으로 절반이지만, \(n\)이 증가함에 따라 그 차이는 점점 더 커집니다 (OEIS에서 수열 A167029).
Cross product
3×3 반-대칭 행렬은 교차 곱을 행렬 곱셈으로 나타내기 위해 사용될 수 있습니다. 벡터 \(\mathbf{a} = \left(a_1\ a_2\ a_3\right)^\textsf{T}\)와 \(\mathbf{b} = \left(b_1\ b_2\ b_3\right)^\textsf{T}\)를 생각해 보십시오. 그런-다음 다음 행렬을 정의하여
\(\quad [\mathbf{a}]_{\times} = \begin{bmatrix}
\,\,0 & \!-a_3 & \,\,\,a_2 \\
\,\,\,a_3 & 0 & \!-a_1 \\
\!-a_2 & \,\,a_1 & \,\,0
\end{bmatrix},\)
교차 곱은 다음으로 쓸 수 있습니다:
\(\quad \mathbf{a}\times\mathbf{b} = [\mathbf{a}]_{\times}\mathbf{b}.\)
이것은 이전 방정식의 양쪽 변을 계산하고 결과의 각 해당 원소를 비교함으로써 즉시 확인할 수 있습니다.
실제로 다음을 가집니다:
\(\quad [\mathbf{a \times b}]_{\times} =
[\mathbf{a}]_{\times}[\mathbf{b}]_{\times} - [\mathbf{b}]_{\times}[\mathbf{a}]_{\times};
\)
즉, 반-대칭 3×3 행렬의 교환자는 3-벡터의 교차-곱으로 식별될 수 있습니다. 반-대칭 3×3 행렬은 회전 그룹 \(SO(3)\)의 리 대수(Lie algebra)이기 때문에, 이것은 3-공간 \(\mathbb{R}^3\), 교차 곱 및 3-차원 회전 사이의 관계를 설명합니다. 무한소 회전에 대한 자세한 내용은 아래에서 찾을 수 있습니다.
Spectral theory
행렬은 자신의 전치와 닮은(similar) 것이므로, 그것들은 같은 고윳값을 가져야 합니다. 반-대칭 행렬의 고윳값(eigenvalues)은 항상 ±λ 쌍으로 나타난다 (추가적인 짝-없는 0 고윳값이 있는 홀수-차원의 경우를 제외)는 것이 따라옵니다. 스펙트럼 정리(spectral theorem)에서, 실수 반-대칭 대칭 행렬에 대해, 비-영 고윳값은 모두 순수한 허수이고 따라서 \(\lambda_1 i, -\lambda_1 i, \lambda_2 i, -\lambda_2 i, \ldots\) 형식이며, 여기서 각 \(\lambda_k\)는 실수입니다.
실수 반-대칭 행렬은 정규 행렬(normal matrices, 인접과 교환함)이고 따라서 임의의 실수 반-대칭 행렬은 유니태리 행렬(unitary matrix)에 의해 대각화될 수 있다고 말하는 스펙트럼 정리의 적용을 받습니다. 실수 반-대칭 행렬의 고윳값은 허수이므로, 실수 행렬에 의해 대각화될 수 없습니다. 어쨌든, 특수 직교 변환(special orthogonal transformation)을 통해 모든 각 반-대칭 행렬을 블록 대각(block diagonal) 형식으로 가져올 수 있습니다. 구체적으로 특히, 모든 각 \(2n \times 2n\) 실수 반-대칭 행렬은 \(A = Q\Sigma Q^\textsf{T}\)형식으로 쓸 수 있으며, 여기서 \(Q\)는 직교이고 실수 양수-한정 \(\lambda_k\)에 대해 다음과 같습니다:
\(\quad \Sigma = \begin{bmatrix}
\begin{matrix}0 & \lambda_1 \\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2 \\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_r\\ -\lambda_r & 0\end{matrix} \\
& & & & \begin{matrix}0 \\ & \ddots \\ & & 0 \end{matrix}
\end{bmatrix}\)
이 행렬의 비-영 고윳값은 \(\pm \lambda_k i\)입니다. 홀수-차원의 경우에서, \(\Sigma\)는 항상 영의 적어도 하나의 행과 열을 가집니다.
더 일반적으로, 모든 각 복소수 반-대칭 행렬은 \(A = U \Sigma U^{\mathrm T}\) 형식으로 쓸 수 있으며, 여기서 \(U\)는 유니태리이고 \(\Sigma\)는 위에 주어진 블록-대각 형식을 가지며 \(\lambda_k\)는 여전히 실수 양수-한정입니다. 이것은 복소 정사각 행렬의 율라(Youla) 분해의 예입니다.
Skew-symmetric and alternating forms
임의적인 특성의 필드(field) \(K\)에 걸쳐 벡터 공간(vector space) \(V\) 위에 반-대칭 형식(skew-symmetric form) \(\varphi\)는 \(V\)에서 모든 \(v, w\)에 대해 다음임을 만족하는
\(\quad\varphi(v, w) = -\varphi(w, v)\)
다음과 같은 쌍선형 형식(bilinear form)으로 정의됩니다:
\(\quad \varphi: V \times V \mapsto K.\)
이것은 2와 같지 않은 특성의 필드에 걸쳐 벡터 공간에 대한 바람직한 속성을 갖는 형식을 정의하지만, 특성 2의 필드에 걸쳐 벡터 공간에서, 그 정의가 대칭 형식의 정의와 동일한데, 왜냐하면 모든 각 원소는 자체의 덧셈 역이기 때문입니다.
벡터 공간(vector space) \(V\)가 특성 2를 포함하는 임의적인 특성(characteristic)의 필드에 걸쳐 있는 곳에서, \(V\)에서 모든 벡터 \(v\)에 대해 다음임을 만족하는 쌍선형 형식 \(\varphi\)로 교대하는 형식(alternating form)을 정의할 수 있습니다:
\(\quad \varphi(v, v) = 0.\)
이것은 필드가 특성 2가 아닐 때 반-대칭 형태와 동등하며, 다음에서 볼 수 있습니다:
\(\quad 0 = \varphi(v + w, v + w) = \varphi(v, v) + \varphi(v, w) + \varphi(w, v) + \varphi(w, w) = \varphi(v, w) + \varphi(w, v),\)
이때,
\(\quad \varphi(v, w) = -\varphi(w, v).\)
쌍선형 형식 \(\varphi\)는 일단 \(V\)의 기저(basis)가 선택되면 \(\varphi(v,w) = v^\textsf{T}Aw\)임을 만족하는 행렬 \(A\)로 표시될 것이고, 반대로 \(K^n\) 위의 \(n \times n\) 행렬 \(A\)는 \((v, w)\)를 \(v^\textsf{T}Aw.\)에 보내는 형식을 생성합니다. 대칭 형식, 반-대칭 형식, 및 교대 형식 각각에 대해, 나타내는 행렬은 각각 대칭 형식, 반-대칭 형식, 및 교대 형식입니다.
Infinitesimal rotations
실수의 필드에 걸쳐 반-대칭 행렬은 항등 행렬에서 실수 직교 그룹(orthogonal group) \(O(n)\); 형식적으로, 특수 직교 리 대수에 대한 접 공간(tangent space)을 형성합니다. 이런 의미에서, 반-대칭 행렬은 무한소 회전으로 생각될 수 있습니다.
이것을 말하는 또 다른 방법은 반-대칭 행렬의 공간이 리 그룹(Lie group) \(O(n)\)의 리 대수(Lie algebra) \(o(n)\)을 형성한다는 것입니다. 이 공간의 리 괄호는 교환자(commutator)에 의해 제공됩니다:
\(\quad [A, B] = AB - BA.\,\)
두 개의 반-대칭 행렬의 교환자가 다시 반-대칭인지 쉽게 확인할 수 있습니다:
\(\quad \begin{align}
{[}A, B{]}^\textsf{T} &= B^\textsf{T} A^\textsf{T} - A^\textsf{T} B^\textsf{T} \\
&= (-B)(-A) - (-A)(-B) = BA - AB = -[A, B] \, .
\end{align}\)
반-대칭 행렬 \(A\)의 행렬 지수(matrix exponential)는 그런-다음 직교 행렬(orthogonal matrix) \(R\)입니다:
\(\quad\displaystyle R = \exp(A) = \sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!}.\)
리 대수의 지수 맵(exponential map)의 이미지는 항상 항등 원소를 포함하는 리 그룹의 연결된 구성 요소(connected component)에 놓입니다. 리 그룹 \(O(n)\)의 경우에서, 이 연결된 구성 요소는 행렬식 1을 갖는 모든 직교 행렬로 구성된 특수 직교 그룹 \(SO(n)\)입니다. 따라서 \(R = \exp(A)\)는 행렬식 +1을 가질 것입니다. 더욱이, 연결된 컴팩트 리 그룹의 지수 맵은 항상 전사적이기 때문에, 단위 행렬식을 갖는 모든 각 직교 행렬은 일부 반-대칭 행렬의 지수로 쓸 수 있음이 밝혀졌습니다. 차원 \(n=2\)의 특히 중요한 경우에서, 직교 행렬에 대한 지수 표현은 단위 모듈러스의 복소수의 잘-알려진 극 형식(polar form)으로 축소됩니다. 실제로, 만약 \(n=2\)이면, 특수 직교 행렬은 다음과 같은 형식을 가집니다:
\(\quad \begin{bmatrix}
a & -b \\
b & \,a
\end{bmatrix},\)
이때 \(a^2 + b^2 = 1\). 그러므로, \(a = \cos\theta\)와 \(b = \sin\theta\)를 대입하여, 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\(\quad \begin{bmatrix}
\cos\,\theta & -\sin\,\theta \\
\sin\,\theta & \,\cos\,\theta
\end{bmatrix} = \exp\left(\theta\begin{bmatrix}
0 & -1 \\
1 & \,0
\end{bmatrix}\right),
\)
이는 단위 모듈러스의 복소수의 극 형식 \(\cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}\)와 정확하게 일치합니다.
차수 \(n\)의 직교 행렬의 지수 표현은 차원 \(n\)에서 임의의 특수 직교 행렬 \(R\)이 \(R = QSQ^\textsf{T}\)로 쓸 수 있다는 사실에서 시작하여 얻을 수도 있으며, 여기서 \(Q\)는 직교이고 \(S\)는 차수 2의 \(\lfloor n/2\rfloor\) 블록과 \(n\)이 홀수이면 차수 1 중 하나를 더한 블록 대각 행렬(block diagonal matrix)입니다; 차수 2의 각 단일 블록도 직교 행렬이기 때문에, 그것은 지수 형식을 허용합니다. 이에 따라, 행렬 \(S\)는 \(R = Q\exp(\Sigma)Q^\textsf{T} = \exp(Q\Sigma Q^\textsf{T}),\) 반-대칭 행렬 \(Q\Sigma Q^\textsf{T}\)의 지수가 되도록 위의 형식, \(S = \exp(\Sigma)\)의 반-대칭 블록 행렬 \(\Sigma\)의 지수로 씁니다. 반대로, 지수 맵의 전사성은, 위에서-언급된 반-대칭 행렬에 대한 블록-대각화와 함께, 직교 행렬에 대한 블록-대각화를 의미합니다.
Coordinate-free
보다 본질적으로 (즉, 좌표를 사용 없이), 안의 곱(inner product)을 갖는 벡터 공간 \(V\) 위에 반-대칭 선형 변환은 단순한 이중-벡터 (2-블레이드) \(v \wedge w\)의 합인 공간 위에 이중벡터(bivectors)로 정의될 수 있습니다. 대응 관계는 맵 \(v \wedge w \mapsto v^* \otimes w - w^* \otimes v\)에 의해 제공되며, 여기서 \(v^*\)는 벡터 \(v\)에 대한 코벡터 이중입니다; 직교정규 좌표에서 이것들은 정확히 기본 반-대칭 행렬입니다. 이 특성화는 벡터 필드 (당연히 2-벡터)의 컬(curl)을 무한소 회전 또는 "컬(curl)"로 해석하는 데 사용되며, 따라서 그 이름입니다.
Skew-symmetrizable matrix
\(n \times n\) 행렬 \(A\)는 \(DA\)가 반-대칭임을 만족하는 역가능 대각 행렬(diagonal matrix) \(D\)가 존재하면 반-대칭가능(skew-symmetrizable)이라고 말합니다. 실수 \(n \times n\) 행렬에 대해, 때때로 \(D\)에 대해 양수 엔트리를 갖기 위한 조건이 추가됩니다.
See also
Further reading
- Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8.
- Suprunenko, D. A. (2001) [1994], "Skew-symmetric matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- Aitken, A. C. (1944). "On the number of distinct terms in the expansion of symmetric and skew determinants". Edinburgh Math. Notes. 34: 1–5. doi:10.1017/S0950184300000070.
External links
- "Antisymmetric matrix". Wolfram Mathworld.
- Benner, Peter; Kressner, Daniel. "HAPACK – Software for (Skew-)Hamiltonian Eigenvalue Problems".
- Ward, R. C.; Gray, L. J. (1978). "Algorithm 530: An Algorithm for Computing the Eigensystem of Skew-Symmetric Matrices and a Class of Symmetric Matrices [F2]". ACM Transactions on Mathematical Software. 4 (3): 286. doi:10.1145/355791.355799. S2CID 8575785. Fortran Fortran90
