작은-각도 근사(small-angle approximations)는 주요 삼각 함수(trigonometric functions)의 값을 근사하기 위해 사용될 수 있으며, 문제에서 각도가 작고 라디안(radian)에서 측정된 것이라는 조건 아래에서 제공됩니다.
\(\quad
\begin{align}
\sin \theta &\approx \theta \\
\cos \theta &\approx 1 - \frac{\theta^2}{2} \approx 1\\
\tan \theta &\approx \theta
\end{align}
\)
이들 근사는 역학(mechanics), 전자기학(electromagnetism), 광학(optics), 지도학(cartography), 천문학(astronomy) 및 컴퓨터 과학(computer science)을 포함하는 물리학(physics)과 공학(engineering)의 가지에서 광범위한 사용의 범위를 가집니다. 그 이유 중 하나는 절대 정밀도로 답해야 할 필요가 없는 미분 방정식(differential equation)을 크게 단순화할 수 있기 때문입니다.
작은-각도 근사의 타당성을 시연하기 위한 많은 방법이 있습니다. 가장 직접적인 방법은 삼각 함수의 각각에 대해 매클로린 급수(Maclaurin series)를 자르는 것입니다. 근사의 정도(order of the approximation)에 따라, \(\textstyle \cos \theta\)는 \(1\) 또는 \(\textstyle 1-\frac{\theta^2}{2}\)로 근사됩니다.
Justifications
Graphic
근사치의 정확도는 아래 그림에서 볼 수 있습니다. 영에 접근하는 각도의 측정으로, 근사와 원래 함수 사이의 차이가 역시 0에 가까워집니다.
Geometric
오른쪽에 빨간 부분, d는 빗변의 길이, H와 인접변의 길이, A 사이의 차이입니다. 보이는 것처럼, H와 A는 거의 같은 길이이며, cos θ가 1에 접근하고 \(\tfrac{\theta^2}{2}\)가 빨간 부분을 깎아 없애는 데 도움이 됨을 의미합니다.
\(\quad\displaystyle \cos{\theta} \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}\)
반대편 다리, O는 근사적으로 파란색 호의 길이, s와 같습니다. 기하학으로부터, s = Aθ, 삼각법으로부터, \(\sin \theta = \tfrac{O}{H}\)와 \(\tan\theta = \tfrac{O}{A}\), 및 그림으로부터, O ≈ s와 H ≈ A 사실을 모우면 다음으로 이어집니다:
\(\quad\displaystyle \sin \theta = \frac{O}{H}\approx\frac{O}{A} = \tan \theta = \frac{O}{A} \approx \frac{s}{A} = \frac{A\theta}{A} = \theta.\)
단순화하면 다음을 남깁니다:
\(\quad \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta.\)
Calculus
조임 정리(squeeze theorem)를 사용하여, 우리는 다음임을 입증할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{\theta\to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1,\)
이것은 θ의 작은 값에 대해 근사 \(\sin(\theta) \approx \theta\)의 공식적인 다시-말한 것입니다.
조임 정리의 보다 꼼꼼한 응용은 다음임을 입증합니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{\theta\to 0} \frac{\tan(\theta)}{\theta} = 1,\)
이것으로부터 우리는 θ의 작은 값에 대해 \(\tan(\theta) \approx \theta\)임을 결론짓습니다.
마지막으로, 로피탈의 규칙(L'Hôpital's rule)은 다음임을 말합니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{\theta\to 0} \frac{\cos(\theta)-1}{\theta^2} = \lim_{\theta\to 0} \frac{-\sin(\theta)}{2\theta} = -\frac{1}{2},\)
이것은 θ의 작은 값에 대해 \(\cos(\theta) \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}\)의 다시-정렬한 것입니다. 대안적으로, 우리는 두배 각도 정리(double angle formula) \(\cos 2A \equiv 1-2\sin^2 A\)를 사용할 수 있습니다. \(\theta = 2A\)를 놓음으로써, 우리는 \(\cos\theta=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\approx1-\frac{\theta^2}{2}\)임을 얻습니다.
Algebraic
관련 삼각 함수의 맥클로인 전개 (0에 대한 테일러 전개)는 다음입니다:
\(\quad\displaystyle \begin{align} \sin \theta &= \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \theta^{2n+1} \\
&= \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \end{align}\)
여기서 θ는 라이안에서 각도입니다. 더 명확한 항으로,
\(\quad\displaystyle \sin \theta = \theta - \frac{\theta^3}{6} + \frac{\theta^5}{120} - \frac{\theta^7}{5040} + \cdots \)
두 번째 유효숫자 (삼-차) 항이 첫 번째 항의 세제곱으로 떨어지는 것을 쉽게 알 수 있습니다; 따라서, 심지어 0.01과 같은 그다지-작지-않은 인수에 대해, 두 번째 유효숫자 항의 값은 첫 번째 항의 0.000001, 또는 \(\tfrac{1}{10000}\)입니다. 우리는 따라서 안전하게 근사화할 수 있습니다:
\(\quad\sin \theta \approx \theta\)
전개에 의해, 작은 각도의 코사인은 거의 1에 매우 가깝기 때문이고, 탄젠트는 코사인에 의해 나누어진 사인에 의해 주어집니다:
\(\quad\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta\),
Error of the approximations
그림은 작은 각도 근사의 상대 오차를 보여줍니다. 상대 오차가 1%를 초과하는 각도는 다음과 같습니다:
- 약 0.176 라디안 (10°)에서 tan θ ≈ θ.
- 약 0.244 라디안 (14°)에서 sin θ ≈ θ.
- 약 0.664 라디안 (38°)에서 \(\cos \theta \approx 1- \tfrac{\theta^2}{2}.\)
Angle sum and difference
각도 덧셈과 뺄셈 정리(angle addition and subtraction theorems)는 각도 중 하나가 작을 때 (β ≈ 0) 다음으로 줄어듭니다:
Specific uses
Astronomy
천문학(astronomy)에서, 먼 물체의 이미지에 의해 끼워진 각의 크기(angular size) 또는 각도는 종종 몇 호초(arcsecond)에 불과하므로, 그것은 작은 각도 근사에 매우 적합합니다. 선형 크기 (D)는 간단한 공식에 의해 각의 크기 (X)와 관찰자로부터의 거리 (d)와 관련됩니다:
\(\quad\displaystyle D = X \frac{d}{206\,265}\)
여기서 X는 호초에서 측정됩니다.
숫자 206265는, 2π에 의해 나누어진, 근사적으로 원(circle)에서 호초의 숫자 (1296000)와 같습니다.
정확한 공식은 다음입니다:
\(\quad\displaystyle D = d \tan \left( X \frac{2\pi}{1\,296\,000} \right)\)
그리고 위의 근사는 tan X가 X로 대체될 때 따릅니다.
Motion of a pendulum
이-차 코사인 근사는 특히 진자(pendulum)의 위치 에너지(potential energy)를 계산하는 것에서 유용하며, 이것은 그런-다음 간접 (에너지) 운동 방정식을 찾기 위해 라그랑주(Lagrangian)와 함께 적용될 수 있습니다.
단순 진자의 주기(period)를 계산할 때, 사인에 대해 작은-각도 근사는 단순 조화 운동(simple harmonic motion)을 설명하는 미분 방정식과 비교함으로써 결과 미분 방정식을 쉽게 풀리는 것을 허용합니다.
Optics
광학에서, 작은-각도 근사는 평행축 근사(paraxial approximation)의 기초를 형성합니다.
Wave Interference
사인과 탄젠트 작은-각도 근사는 이중-슬릿 실험(double-slit experiment) 또는 회절 격자(diffraction grating)와 관련하여 방정식, 예를 들어, '프린지 간격' = '파장' × '슬릿에서 화면까지의 거리' ÷ '슬릿 분리'를 단순화하기 위해 사용됩니다.
Structural mechanics
작은-각도 근사는 구조 역학, 특히 안정성 및 분기 해석 (주로 좌굴(buckling)을 겪기 위해 준비된 축-방향-하중 기둥)에서 나타납니다. 이것은 실제 동작에 대한 정확성과 통찰력이 희생되지만 상당한 단순화로 이어집니다.
Piloting
항공 항법(air navigation)에 사용되는 60 중에 1 규칙(1 in 60 rule)은 작은-각도 근사, 더하기 일 라디안이 근사적으로 60 도라는 사실에 근거합니다.
Interpolation
작은 각도를 포함하는 덧셈과 뺄셈에 대해 공식은 삼각 테이블(trigonometric table) 값 사이의 보간(interpolating)에 사용될 수 있습니다:
예제: sin(0.755)
References
- Holbrow, Charles H.; et al. (2010), Modern Introductory Physics (2nd ed.), Springer Science & Business Media, pp. 30–32, ISBN 0387790799.
- Plesha, Michael; et al. (2012), Engineering Mechanics: Statics and Dynamics (2nd ed.), McGraw-Hill Higher Education, p. 12, ISBN 0077570618.
- "Small-Angle Approximation | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2020-07-22.
- Larson, Ron; et al. (2006), Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (4th ed.), Cengage Learning, p. 85, ISBN 0618606254.
- Boas, Mary L. (2006). Mathematical Methods in the Physical Sciences. Wiley. p. 26. ISBN 978-0-471-19826-0.
- Green, Robin M. (1985), Spherical Astronomy, Cambridge University Press, p. 19, ISBN 0521317797.
- http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/slits.html
