선형 대수(linear algebra)에서, 복소수 엔트리를 갖는 정사각 행렬(square matrix)은 만약 그것의 켤레 전치(conjugate transpose)가 원래 행렬의 부정이면 반-에르미트(skew-Hermitian 또는 anti-Hermitian)라고 말합니다. 즉, 행렬 \(A\)는 만약 그것이 다음 관계를 만족시키면 반-에르미트입니다:
\(\quad A \text{ skew-Hermitian} \quad \iff \quad A^\mathsf{H} = -A\)
여기서 \(A^\textsf{H}\)는 행렬 \(A\)의 켤레 전치를 나타냅니다. 성분 형식에서, 이것은 모든 인덱스 \(i\)와 \(j\)에 대해, 다음임을 의미합니다:
\(\quad A \text{ skew-Hermitian} \quad \iff \quad a_{ij} = -\overline{a_{ji}}\)
여기서 \(a_{ij}\)는 \(A\)의 \(i\)-번째 행과 \(j\)-번째 열에 있는 원소이고, 윗줄은 복소수 켤레(complex conjugation)를 나타냅니다.
반-에르미트 행렬은 실수 반-대칭 행렬(skew-symmetric matrices)의 복소수 버전, 또는 순수하게 허수의 행렬 아날로그로 이해될 수 있습니다. 모든 반-에르미트 \(n \times n\) 행렬의 집합은 리 그룹 U(n)에 해당하는 \(u(n)\) 리 대수(Lie algebra)를 형성합니다. 이 개념은 반쌍선형(sesquilinear) 노름(norm)을 갖는 임의의 복소 벡터 공간의 선형 변환을 포함하도록 일반화될 수 있습니다.
연산자의 인접(adjoint)은 \(n\) 차원 복소수 또는 실수 공간 \(K^n\) 위에 고려되는 스칼라 곱에 따라 달라집니다. 만약 \((\cdot\mid\cdot) \)가 \( K^n\) 위에 스칼라 곱을 나타내면, \( A\)가 반-인접이라고 말하는 것은 모든 \(\mathbf u, \mathbf v \in K^n\)에 대해 \( (A \mathbf u \mid \mathbf v) = - (\mathbf u \mid A \mathbf v)\)를 가짐을 의미합니다.
허수는 (그것들이 \(1 \times 1\) 행렬과 같기 때문에) 반-인접으로 생각될 수 있고, 반면에 실수는 자기-인접(self-adjoint) 연산자에 해당합니다.
Example
예를 들어, 다음 행렬은 반-에르미트입니다:
\(\quad A = \begin{bmatrix} -i & +2 + i \\ -2 + i & 0 \end{bmatrix}\)
왜냐하면
\(\quad
-A =
\begin{bmatrix} i & -2 - i \\ 2 - i & 0 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\overline{-i} & \overline{-2 + i} \\
\overline{2 + i} & \overline{0}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\overline{-i} & \overline{2 + i} \\
\overline{-2 + i} & \overline{0}
\end{bmatrix}^\mathsf{T} =
A^\mathsf{H}
\)
Properties
- 반-에르미트 행렬의 고윳값은 모두 순수한 허수입니다 (영일 수도 있습니다). 더욱이, 반-에르미트 행렬은 정규(normal)입니다. 따라서 그것들은 대각화-가능이고 구별되는 고윳값에 대한 고유벡터는 직교해야 합니다.
- 비-에르미트 행렬의 주요 대각선(main diagonal)에 있는 모든 엔트리는 순수하게 허수여야 합니다; 즉, 허수 축 위에 있어야 합니다 (숫자 영도 순수한 허수로 고려됩니다).
- 만약 \(A\)와 \(B\)가 반-에르미트이면, \(aA + bB\)는 모든 실수 스칼라 \(a\)와 \(b\)에 대해 반-에르미트입니다.
- \(A\)가 반-에르미트인 것과 \(i A\) (또는 동등하게, \(-i A\))가 에르미트(Hermitian)인 것은 필요충분 조건입니다.
- \(A\)가 반-에르미트인 것과 실수 부분 \(\Re{(A)}\)가 반-대칭(skew-symmetric)이고 허수 부분 \(\Im{(A)}\)이 대칭(symmetric)인 것은 필요충분 조건입니다.
- 만약 \(A\)가 반-에르미트이면, \(A^k\)는 \(k\)가 짝수 정수이면 에르미트이고 \(k\)가 홀수 정수이면 반-에르미트입니다.
- \(A\)가 반-에르미트인 것과 모든 벡터 \(\mathbf x, \mathbf y\)에 대해 \(\mathbf{x}^\mathsf{H} A \mathbf{y} = -\mathbf{y}^\mathsf{H} A \mathbf{x}\)인 것은 필요충분 조건입니다.
- 만약 \(A\)가 반-에르미트이면, 행렬(matrix exponential) \(e^A\)는 유니태리(unitary)입니다.
- 반-에르미트 행렬의 공간은 리 그룹(Lie group) \(U(n)\)의 리 대수(Lie algebra) \(u(n)\)을 형성합니다.
Decomposition into Hermitian and skew-Hermitian
- 정사각 행렬과 그것의 켤레 전치의 합 \(\left(A + A^\mathsf{H}\right)\)은 에르미트입니다.
- 정사각 행렬과 그것의 켤레 전치의 차이 \(\left(A - A^\mathsf{H}\right)\)는 반-에르미트입니다. 이것은 두 에르미트 행렬의 교환자(commutator)가 반-에르미트임을 의미합니다.
- 임의적인 정사각 행렬 \(C\)는 에르미트 행렬 \(A\)와 반-에르미트 행렬 \(B\)의 합으로 쓸 수 있습니다: \(C = A + B \quad\mbox{with}\quad A = \frac{1}{2}\left(C + C^\mathsf{H}\right) \quad\mbox{and}\quad B = \frac{1}{2}\left(C - C^\mathsf{H}\right)\)
See also
References
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.
- Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-454-8.
