수학(mathematics)에서, 카테고리(category)의 뼈대(skeleton)는, 대략적으로 말해서, 임의의 불필요한 동형(isomorphism)을 포함하지 않는 부분카테고리(subcategory)입니다. 특정 의미에서, 카테고리의 뼈대는 원래의 모든 "카테고리적 속성"을 포획하는 "가장 작은" 동치(equivalent) 카테고리입니다. 사실, 두 카테고리가 동치인 것과 그것들이 동형적(isomorphic) 뼈대를 가지는 것은 필요충분(iff) 조건입니다. 만약 동형적 대상이 반드시 동일하면 카테고리는 스켈레탈(skeletal)이라고 불립니다.
Definition
카테고리 C의 뼈대는 둘의 구별되는 대상이 동형적이 아닌 동치 카테고리(equivalent category) D입니다. 그것은 일반적으로 부분카테고리로 고려됩니다. 구체적으로, C의 뼈대는 다음을 만족하는 카테고리 D입니다:
- D는 C의 부분카테고리(subcategory)입니다: D의 모든 각 대상은 D의 모든 각 대상의 쌍 \(d_1\)과 \(d_2\)에 대해 C의 대상입니다:
- \(\displaystyle \mathrm{Ob}(D)\subseteq \mathrm{Ob}(C)\)
- D에서 사상(morphism)은 C에서 사상이며, 즉,
- \(\displaystyle \mathrm{Hom}_D(d_1, d_2) \subseteq \mathrm{Hom}_C(d_1, d_2)\)
- 그리고 D에서 항등과 합성은 C에서 그것들의 제한입니다.
- C에서 D의 포함은 가득한(full) 것이며, D의 모든 각 대상의 쌍 \(d_1\)과 \(d_2\)에 대해 우리는 상등에 대한 위의 부분집합 관계를 강화함을 의미합니다:
- \(\displaystyle \mathrm{Hom}_D(d_1, d_2) =\mathrm{Hom}_C(d_1, d_2)\)
- C에서 D의 포함은 본질적으로 전사(essentially surjective)입니다: 모든 각 C-대상은 일부 D-대상에 동형적입니다.
- D는 스켈레탈입니다: 둘의 구별되는 D-대상은 동형적이 아닙니다.
Existence and uniqueness
모든 각 작은 카테고리가 뼈대를 가진다는 것은 기본적인 사실입니다; 보다 일반적으로, 모든 각 접근-가능 카테고리는 뼈대를 가집니다. (이것은 선택의 공리(axiom of choice)와 동등합니다.) 역시, 비록 카테고리가 많은 구별되는 뼈대를 가질 수 있을지라도, 임의의 두 뼈대는 카테고리로 동형적(isomorphic as categories)이므로, 카테고리의 동형까지(up to), 카테고리의 뼈대는 고유한(unique) 것입니다.
뼈대의 중요성은 그것들이 (카테고리의 동형까지) 카테고리의 동치(equivalence of categories)의 동치 관계(equivalence relation) 아래에서 카테고리의 동치 클래스의 정식의 대표라는 사실에서 비롯됩니다. 이것은 카테고리 C의 임의의 뼈대가 C와 동등하고, 두 카테고리가 동등한 것과 그것들이 동형적 뼈대를 가지는 것은 필요충분 조건이라는 사실에서 비롯됩니다.
Examples
- 모든 집합(sets)의 카테고리 집합(Set)은 뼈대로 모든 세는-숫자(cardinal number)의 부분카테고리를 가집니다.
- 고정된 필드(field) \(\displaystyle K\)에 걸쳐 모든 벡터 공간(vector space)의 카테고리 K-벡트(K-Vect)는 뼈대로 모든 거듭제곱 \(\displaystyle K^{(\alpha)}\)로 구성되는 부분카테고리를 가지며, 여기서 α는 임의의 세는-숫자입니다; 임의의 유한 m과 n에 대해, 맵 \(\displaystyle K^m \to K^n\)은 K에서 엔트리를 갖는 정확히 n × m 행렬(matrices)입니다.
- FinSet, 모든 유한 집합의 카테고리는 뼈대로 FinOrd, 모든 유한 순서-숫자(ordinal numbers)의 카테고리를 가집니다.
- 모든 바른-순서화된 집합(well-ordered sets)의 카테고리는 뼈대로 모든 순서-숫자(ordinal numbers)의 부분카테고리를 가집니다.
- 준순서(preorder), 즉, 대상의 모든 각 쌍 \(\displaystyle A,B \)에 대해, 집합 \(\displaystyle \mbox{Hom}(A,B)\)이 하나의 원소를 가지거나 빈 것임을 만족하는 작은 카테고리는 뼈대로 부분적으로 순서화된 집합(partially ordered set)을 가집니다.
References
- Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories. Originally published by John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition)
- Robert Goldblatt (1984). Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Studies in logic and the foundations of mathematics, 98). North-Holland. Reprinted 2006 by Dover Publications.