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(번역) Short division

by 다움위키 2024. 4. 2.
Original article: w:Short division

 

산술(arithmetic)에서, 짧은 나눗셈(short division)은 나눗셈(division) 문제를 일련의 쉬운 단계로 분리하는 나눗셈 알고리듬(division algorithm)입니다. 그것은 긴 나눗셈(long division)의 축약된 형식입니다 — 그것에 의하여 곱이 생략되고 나머지는 위첨자(superscripts)로 표기됩니다.

산술(arithmetic)에서, 짧은 나눗셈(short division)은 나눗셈(division) 문제를 일련의 쉬운 단계로 분리하는 나눗셈 알고리듬(division algorithm)입니다. 그것은 긴 나눗셈(long division)의 축약된 형식입니다 — 그것에 의하여 곱이 생략되고 나머지는 위첨자(superscripts)로 표기됩니다.

대부분의 사람들에게, 최대 12까지 작은 정수 제수는 암기된 곱셈 테이블(multiplication tables)을 사용하여 처리되지만, 그 절차는 마찬가지로 더 큰 제수에 역시 적응될 수 있습니다.

모든 나눗셈 문제에서 처럼, 피제수(dividend)라고 불리는 숫자는 제수(divisor)라고 불리는 또 다른 숫자에 의해 나뉩니다. 문제에 대한 답은 몫(quotient)이 될 것이고, 유클리드 나눗셈(Euclidean division)의 경우에서 처럼, 나머지(remainder)는 마찬가지로 포함될 것입니다.

짧은 나눗셈을 사용하여, 우리는 일련의 쉬운 단계를 따름으로써 매우 큰 피제수를 갖는 나눗셈 문제를 해결할 수 있습니다.

Tableau

짧은 나눗셈은 슬러시(slash) (/) 또는 나눗셈 표시(division sign) (÷) 기호를 사용하지 않습니다. 대신에, 그것은 테이블(tableau)에서 (그것이 찾아질 때) 피제수, 제수, 및 몫(quotient)을 표시합니다. 예제는 아래에 보이며, 4에 의한 500의 나눗셈을 나타냅니다. 그 몫은 125입니다.

\(\quad\displaystyle 
\begin{array}{r}
125\\
4\overline{)500}\\
\end{array}
\)

대안적으로, 그 막대가 숫자 아래에 배치될 수 있으며, 이것은 합이 페이지 아래로 진행됨을 의미합니다. 이것은 피제수 아래에 공간이 작업을 위해 요구되는, 긴 나눗셈(long division)과 구별에 있습니다.

\(\quad\displaystyle 
\begin{array}{r}
4\underline{)500}\\
125\\
\end{array}
\)

Example

절차는 여러 단계를 포함합니다. 예제로써, 4로 나누어지는 950을 생각해 보십시오:

  1. 피제수와 제수는 짧은 나눗셈 테이블에서 쓰입니다:
    1. \(\displaystyle 
      4 \overline{)950} \ 
      \)
    2. 단일 단계에서 950을 4로 나누려면 238 × 4까지 곱셈 테이블(multiplication table)을 아는 것이 요구됩니다. 대신에, 나눗셈은 작은 단계로 줄어듭니다. 왼쪽부터 시작하여, 충분한 자릿수가 최소 4x1이지만 4x10보다 더 작은 (부분 피제수라고 불리는) 숫자를 형성하기에 선택됩니다 (4는 이 문제에서 제수입니다). 여기에서, 부분 피제수는 9입니다.
  2. 제수 (4)로 나눌 첫 번째 숫자는 부분 피제수 (9)입니다. 우리는 결과 (2)의 정수(integer) 부분을 피제수의 가장 왼쪽 숫자 위에 나누기 막대 위에 쓰고, 우리는 나머지 (1)를 부분 피제수 (9)의 위와 오른쪽에 작은 자릿수로 씁니다.
    1. \(\displaystyle 
      \begin{matrix}
      2\\
      4\overline{)9^150}
      \end{matrix}
      \)
  3. 다음으로 우리는 새로운 부분 피제수 (15)를 형성하기 위해 피제수의 다음 자릿수와 연결된 작은 자릿수를 사용하여 단계 2를 반복합니다. 새로운 부분 피제수를 제수 (4)로 나누면, 우리는 이전과 같이 – 피제수의 다음 자릿수 위의 몫과 위의 오른쪽 작은 자릿수로 나머지 – 결과를 씁니다. (여기서 15를 4로 나눈 값은 3이고, 3의 나머지를 가집니다.)
    1. \(\displaystyle 
      \begin{matrix}
      \,\,2\ 3\\
      4\overline{)9^15^30}\\
      \end{matrix}
      \)
  4. 우리는 피제수에서 남아있는 자릿수가 없을 때까지 단계 2를 계속 반복합니다. 이 예제에서, 우리는 30을 4로 나눈 값은 7이고 2의 나머지를 가집니다. 막대 위에 쓰인 숫자 (237)는 몫이고, 마지막 작은 자릿수 (2)는 나머지입니다.
    1. \(\displaystyle 
      \begin{matrix}
      \quad 2\ 3\ 7\\
      4\overline{)9^15^30^2}\\
      \end{matrix}
      \)
  5. 이 예제에서 답은 237이고 2의 나머지를 가집니다. 대안적으로, 우리는 십진수 답을 생성하기를 원하면 위의 절차를 계속할 수 있습니다. 우리는 피제수의 오른쪽에 십진 점(decimal point)과 필요에 따라 영을 더하고, 그런-다음 각 영을 피제수의 또 다른 자릿수로 처리함으로써 이것을 행합니다. 따라서, 그러한 계산에서 다음 단계는 다음을 제공합니다:
    1. \(\displaystyle 
      \begin{matrix}
      \quad 2\ 3\ 7.\ 5\\
      4\overline{)9^15^30.^20}\\
      \end{matrix}
      \)

대안적인 레이아웃을 사용하여 최종 작업은 다음일 것입니다:

\(\quad\displaystyle 
\begin{array}{r}
4\underline{)9^{1}5^{3}0.^{2}0}\\
2^{\color{White}1}3^{\color{White}3}7.^{\color{White}2}5\\
\end{array}
\)

평상시와 마찬가지로, 유사한 단계는 십진수 피제수를 갖는 경우 또는 제수가 여러 자릿수를 포함하는 경우를 처리하기 위해 역시 사용될 수 있습니다.

Prime factoring

공통적인 요구 사항은 숫자를 그것의 소수 인수로 줄이는 것입니다. 이것은 특히 일반의 분수(vulgar fractions)와 함께 작용에 있습니다. 피제수는 가능한 곳에서 반복하여 소수로 연속적으로 나뉩니다:

\(\quad\displaystyle 
\begin{array}{r}
2\underline{)950}\\
5\underline{)475}\\
5\underline{){\color{White}0}95}\\
\ \ \ 19\\
\end{array}
\)

따라서 950 = 2 x 5² x 19

Modulo division

우리가 오직 나눗셈의 나머지(remainder)에 관심이 있을 때, 이 절차 (짧은 나눗셈의 변형)는 몫을 무시하고 오직 나머지를 집계합니다. 그것은 수동 모듈로 계산(modulo calculation) 또는 나눔-가능성 테스트(test for even divisibility)로 사용될 수 있습니다. 몫 자릿수는 쓰지 않습니다.

예를 들어, 7에 의해 나누어진 16762109의 나머지는 얼마입니까?

\(\quad\displaystyle 
\begin{matrix}
7)16^27^66^32^41^60^49^0
\end{matrix}
\)

그 나머지는 영이며, 따라서 16762109은 7로 정확히 나누어집니다.

See also

References

 

External links

 

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