수학(mathematics)에서, 변수의 분리(separation of variables, 역시 Fourier method으로 알려져 있음)는 보통의 미분 방정식과 부분 미분 방정식을 풀기 위한 몇 가지 방법 중 하나로, 이것에서 대수학은 두 변수의 각각이 방정식의 다른 변에 나타나도록 방정식을 다시 쓰도록 허용합니다.
Ordinary differential equations (ODE)
미분 방정식이 다음 형식으로 쓸 수 있다고 가정합니다:
\(\quad\displaystyle \frac{d}{dx} f(x) = g(x)h(f(x))\)
이는 \(\displaystyle y = f(x)\)라고 놓음으로써 더 간단히 쓸 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{dy}{dx}=g(x)h(y).\)
h(y) ≠ 0이면, 두 변수 x와 y가 분리되도록 항을 재정렬하여 다음을 얻을 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle {dy \over h(y)} = g(x) \, dx,\)
dx (및 dy)는 간단한 수준에서 조작을 지원하기 위한 편리한 기억법 보조를 제공하는 편리한 표기법으로 볼 수 있습니다. 미분 (무한소)으로 dx의 형식적 정의는 다소 진보된 것입니다.
Alternative notation
라이프니츠의 표기법(Leibniz's notation)을 싫어하는 사람들은 이것을 다음과 같이 쓰는 것을 선호할 것입니다:
\(\quad\displaystyle \frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} = g(x),\)
그러나 그것은 이를 "변수의 분리"라고 불리는 이유를 아주 명백하게 만들지 못합니다. 방정식의 양쪽 변을 \(\displaystyle x\)에 관해 적분하여, 다음을 가집니다:
\(\displaystyle \int \frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} \, dx = \int g(x) \, dx,\cdots\bf{(\rm A1)} \)
또는 동등하게,
\(\quad\displaystyle \int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx \)
이는 적분에 대해 치환 규칙(substitution rule for integrals) 때문입니다.
만약 두 적분을 평가할 수 있으면, 미분 방정식에 대한 해를 찾을 수 있습니다. 이 과정을 통해 도함수(derivative) \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)를 분리할 수 있는 분수로 효과적으로 처리할 수 있습니다. 이것은 아래 예제와 같이 분리-가능한 미분 방정식을 보다 편리하게 푸는 것을 허용합니다.
(방정식 (A1)에서 다음과 같이 두 개의 적분의 상수(constants of integration)를 사용할 필요가 없음에 유의하십시오:
\(\quad\displaystyle \int \frac{1}{h(y)} \, dy + C_1 = \int g(x) \, dx + C_2,\)
왜냐하면 단일 상수 \(\displaystyle C = C_2 - C_1\)는 동등하기 때문입니다.)
Example
인구 증가는 종종 다음과 같은 미분 방정식에 의해 모델링됩니다:
\(\quad\displaystyle \frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right)\)
여기서 \(\displaystyle P\)는 시간 \(\displaystyle t\)에 관한 인구, \(\displaystyle k\)는 증가율이고, \(\displaystyle K\)는 환경의 수용력(carrying capacity)입니다.
이 미분 방정식을 풀기 위해 변수의 분리를 사용할 수 있습니다.
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
& \frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right) \\[5pt]
& \int\frac{dP}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}=\int k\,dt
\end{align}
\)
왼쪽 변의 적분을 평가하기 위해, 분수를 단순화하고
\(\quad\displaystyle \frac{1}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}=\frac{K}{P\left(K-P\right)}\)
그런-다음, 분수를 부분 분수로 분해합니다:
\(\quad\displaystyle \frac{K}{P(K-P)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}\)
따라서 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
& \int\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}\right) dP=\int k\,dt \\[6pt]
& \ln|P|-\ln|K-P|=kt+C \\[6pt]
& \ln|K-P|-\ln|P|=-kt-C \\[6pt]
& \ln\left|\cfrac{K-P}{P}\right|=-kt-C \\[6pt]
& \left|\dfrac{K-P}{P}\right|=e^{-kt-C} \\[6pt]
& \left|\dfrac{K-P}{P}\right|=e^{-C}e^{-kt} \\[6pt]
& \frac{K-P}{P}=\pm e^{-C}e^{-kt}
\end{align}
\)
\(\displaystyle A=\pm e^{-C}\)라고 놓습니다.
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
& \frac{K-P}{P}=Ae^{-kt} \\[6pt]
& \frac{K}{P}-1=Ae^{-kt} \\[6pt]
& \frac{K}{P}=1+Ae^{-kt} \\[6pt]
& \frac{P}{K}=\frac{1}{1+Ae^{-kt}} \\[6pt]
& P=\frac{K}{1+Ae^{-kt}}
\end{align}
\)
그러므로, 기호-논리적 방정식의 해는 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle P(t)=\frac{K}{1+Ae^{-kt}}\)
\(\displaystyle A\)를 찾기 위해, \(\displaystyle t=0\)와 \(\displaystyle P\left(0\right)=P_0\)라고 놓습니다. 그런-다음 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle P_0=\frac{K}{1+Ae^0}\)
\(\displaystyle e^0=1\)을 주목하고, A에 대해 풀면 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle A=\frac{K-P_0}{P_0}.\)
Generalization of separable ODEs to the nth order
분리-가능한 일-차 ODE에 대해 말할 수 있는 것과 마찬가지로, 분리-가능한 이-차, 삼-차, 또는 n-차 ODE에 대해 말할 수 있습니다. 분리-가능한 일-차 ODE를 생각해 보십시오:
\(\quad\displaystyle \frac{dy}{dx}=f(y)g(x)\)
도함수는 알 수 없는 함수 y에 대해 작업하는 연산자임을 강조하기 위해 다음과 같은 방법으로 대신 작성될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(y)\)
따라서, 일-차 방정식에 대한 변수를 분리할 때, 실제로는 연산자의 dx 분모를 x 변수 옆으로 이동하고, d(y)는 y 변수 옆에 남습니다. 이-차 도함수 연산자는, 유사하게, 다음과 같이 나뉩니다:
\(\quad\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}(y)\right)\)
삼-차, 사-차, 및 n-차 도함수 연산자는 같은 방법으로 나뉩니다. 따라서, 일-차 분리-가능한 ODE와 매우 유사하게 다음 형식으로 줄일 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{dy}{dx}=f(y)g(x)\)
분리-가능한 이-차 ODE는 다음 형식으로 줄일 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=f\left(y'\right)g(x)\)
그리고 n-차 분리-가능한 ODE는 다음으로 줄일 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{d^ny}{dx^n}=f\!\left(y^{(n-1)}\right)g(x)\)
Example
간단한 비선형 이-차 미분 방정식을 생각해 보십시오:
\(\quad\displaystyle y''=(y')^2.\)
이 방정식은 y''와 y'만의 방정식입니다. 즉, 위에서 설명한 일반적인 형식으로 줄어들 수 있고, 따라서, 분리할 수 있습니다. 그것이 이-차 분리-가능 방정식이므로, 한 쪽에는 모든 x 변수를 모으고 다른 쪽에는 모든 y' 변수를 모아서 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{d(y')}{(y')^2}=dx.\)
이제, x에 관한 오른쪽 변과 y'에 관한 왼쪽 변을 적분합니다:
\(\quad\displaystyle \int \frac{d(y')}{(y')^2}=\int dx.\)
이것은 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle -\frac{1}{y'}=x+C_1,\)
이는 다음과 같이 단순화됩니다:
\(\quad\displaystyle y'=-\frac{1}{x+C_1}~.\)
이것은 이제 최종 답을 제공하는 간단한 적분 문제입니다:
\(\quad\displaystyle y=C_2-\ln|x+C_1|.\)
Partial differential equations
변수의 분리의 방법은 역시 열 방정식, 파동 방정식, 라플라스 방정식, 헬름홀츠 방정식, 쌍조화 방정식과 같은 경계 조건과 초기 조건을 갖는 광범위한 선형 부분 미분 방정식을 풀기 위해 사용됩니다.
부분 미분 방정식을 풀기 위한 변수의 분리의 해석적 방법은 역시 부분 미분 방정식의 시스템을 풀기 위해 사용될 수 있는 불변 구조에서 분해의 계산 방법으로 일반화되어 왔습니다.
Example: homogeneous case
일-차원 열 방정식을 생각해 보십시오. 그 방정식은 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} - \alpha\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = 0\cdots\bf{(1)}\)
변수 u는 온도를 나타냅니다. 경계 조건은 동차, 즉, 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle u\big|_{x=0}=u\big|_{x=L}=0\cdots\bf{(2)} \)
경계 조건을 만족시키는 동일하게 영은 아니지만 다음 속성을 갖는 해를 찾으려고 시도합니다. u는 x에 대한 u의 종속성에서, t가 분리된 곱입니다, 즉:
\(\quad\displaystyle u(x,t) = X(x) T(t).\cdots\bf{(3)}\)
u를 방정식 (1)에 다시 대입하고 곱 규칙(product rule)을 사용하여,
\(\quad\displaystyle \frac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}.\cdots\bf{(4)}\)
오른쪽 변은 x에만 의존하고 왼쪽 변은 t에만 의존하므로, 양쪽 변은 어떤 상수 값 −λ와 같습니다. 따라서:
\(\quad\displaystyle T'(t) = - \lambda \alpha T(t),\cdots\bf{(5)}\)
그리고
\(\displaystyle X''(x) = - \lambda X(x).\cdots\bf{(6)}\)
여기서 −λ는 두 미분 연산자에 대해 고윳값(eigenvalue)이고, T(t)와 X(x)는 대응하는 고유함수(eigenfunctions)입니다.
우리는 이제 λ ≤ 0 값에 대한 X(x) 해가 발생할 수 없음을 보여줍니다:
λ < 0이라고 가정합니다. 그런-다음 다음임을 만족하는 실수 B, C가 존재합니다:
\(\quad\displaystyle X(x) = B e^{\sqrt{-\lambda} \, x} + C e^{-\sqrt{-\lambda} \, x}.\)
(2)로부터 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle X(0) = 0 = X(L),\cdots\bf{(7)}\)
그리고 따라서 B = 0 = C이며, 이는 u가 동일하게 0임을 의미합니다.
λ = 0임을 가정합니다. 그런-다음 다음임을 만족하는 실수 B, C가 존재합니다:
\(\quad\displaystyle X(x) = Bx + C.\)
(7)로부터 우리는 1에서와 같은 방식으로 u가 동일하게 0이라는 결론을 내립니다.
그러므로, 그것은 λ > 0인 경우여야 합니다. 그런-다음 다음임을 만족하는 실수 A, B, C가 존재합니다:
\(\quad\displaystyle T(t) = A e^{-\lambda \alpha t},\)
그리고
\(\quad\displaystyle X(x) = B \sin(\sqrt{\lambda} \, x) + C \cos(\sqrt{\lambda} \, x).\)
(7)로부터 C = 0를 얻고 일부 양의 정수 n에 대해,
\(\quad\displaystyle \sqrt{\lambda} = n \frac{\pi}{L}.\)
이것은 u의 종속성이 (3)의 특수한 형식을 갖는 특수한 경우의 열 방정식을 풉니다.
일반적으로, 경계 조건 (2)를 만족시키는 (1)에 대한 해의 합은 (1)과 (3)도 만족시킵니다. 따라서, 완전한 해는 다음과 같이 주어질 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle u(x,t) = \sum_{n = 1}^{\infty} D_n \sin \frac{n\pi x}{L} \exp\left(-\frac{n^2 \pi^2 \alpha t}{L^2}\right),\)
여기서 \(D_n\)은 초기 조건에 의해 결정되는 계수입니다.
초기 조건이 주어지면
\(\quad\displaystyle u\big|_{t=0}=f(x),\)
다음을 얻을 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} D_n \sin \frac{n\pi x}{L}.\)
이는 f(x)의 사인 급수(sine series) 전개로 푸리에 분석이 가능한 것입니다. 양쪽 변에 \(\displaystyle \sin \frac{n\pi x}{L}\)를 곱하고 [0, L]에 걸쳐 적분하여 다음을 초래합니다:
\(\quad\displaystyle D_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} \, dx.\)
이 방법은 고유함수 X, 여기서 \(\displaystyle \left\{\sin \frac{n\pi x}{L}\right\}_{n=1}^{\infty}\)가 직교하고 완비(complete)여야 합니다. 일반적으로, 이것은 스튀름-리우빌 이론(Sturm–Liouville theory)에 의해 보장됩니다.
Example: nonhomogeneous case
방정식이 (2)와 같은 경계 조건을 갖는 비-동차라고 가정합니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}-\alpha\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=h(x,t)\cdots\bf{(8)}\)
h(x,t), u(x,t), 및 f(x)을 다음으로 전개하여
\(\quad\displaystyle h(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}h_{n}(t)\sin\frac{n\pi x}{L},\cdots\bf{(9)}\)
\(\quad\displaystyle u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(t)\sin\frac{n\pi x}{L},\cdots\bf{(10)}\)
\(\quad\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin\frac{n\pi x}{L},\cdots\bf{(11)}\)
여기서 \(h_n(t)\)와 \(b_n\)는 \(u_n(t)\)가 결정되는 동안 적분에 의해 계산될 수 있습니다.
(9)와 (10)을 (8)로 다시 대체하고 사인 함수의 직교성을 고려하여 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle u'_{n}(t)+\alpha\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}u_{n}(t)=h_{n}(t),\)
이는 예를 들어 라플라스 변환(Laplace transform), 또는 적분 인수로 쉽게 풀 수 있는 일련의 선형 미분 방정식(linear differential equations)입니다. 마지막으로, 다음을 얻을 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle u_{n}(t)=e^{-\alpha\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}} t} \left (b_{n}+\int_{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}} s} \, ds \right).\)
만약 경계 조건이 비-동차이면, (9)와 (10)의 전개가 더 이상 유효하지 않습니다. 경계 조건만 만족시키는 함수 v를 찾아서 u에서 빼야 합니다. 그런-다음 함수 u-v는 동차 경계 조건을 만족시키고, 위의 방법으로 풀 수 있습니다.
Example: mixed derivatives
혼합된 도함수를 포함하는 일부 방정식에 대해, 방정식은 위의 첫 번째 예제에서 열 방정식처럼 쉽게 분리되지 않지만, 그럼에도 불구하고 변수의 분리는 여전히 적용될 수 있습니다. 이-차원 쌍-조화 방정식(biharmonic equation)을 생각해 보십시오:
\(\quad\displaystyle \frac{\partial^4 u}{\partial x^4} + 2\frac{\partial^4 u}{\partial x^2\partial y^2} + \frac{\partial^4 u}{\partial y^4} = 0.\)
보통의 방식으로 진행하면서, 다음 형식의 해를 찾습니다:
\(\quad\displaystyle u(x,y) = X(x)Y(y)\)
그리고 다음 방정식을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle \frac{X^{(4)}(x)}{X(x)} + 2\frac{X''(x)}{X(x)}\frac{Y''(y)}{Y(y)} + \frac{Y^{(4)}(y)}{Y(y)} = 0.\)
이 방정식을 다음 형식으로 씁니다:
\(\quad\displaystyle E(x) + F(x)G(y) + H(y) = 0,\)
\(\displaystyle x \)에 관한 이 표현의 도함수를 취하는 것은 \(\displaystyle E'(x)+F'(x)G(y)=0 \)를 제공하며 이는 \(\displaystyle G(y)=const. \)를 의미하고 마찬가지로, \(\displaystyle y \)에 관해 도함수를 취하는 것은 \(\displaystyle F(x)G'(y)+H'(y)=0 \)로 이어지고 따라서 \(\displaystyle F(x)=const. \) 그러므로 F(x) 또는 G(y) 중 하나는 상수, 말하자면 −λ여야 합니다. 이것은 나아가서 \(\displaystyle -E(x)=F(x)G(y)+H(y)\) 또는 \(\displaystyle -H(y)=E(x)+F(x)G(y)\) 중 하나가 상수임을 의미합니다. X와 Y에 대한 방정식으로 돌아가면 다음 두 가지 경우가 있습니다:
\(\quad\displaystyle \begin{align}
X''(x) &= -\lambda_1X(x) \\
X^{(4)}(x) &= \mu_1X(x) \\
Y^{(4)}(y) - 2\lambda_1Y''(y) &= -\mu_1Y(y)
\end{align}\)
그리고
\(\quad\displaystyle \begin{align}
Y''(y) &= -\lambda_2Y(y) \\
Y^{(4)}(y) &= \mu_2Y(y) \\
X^{(4)}(x) - 2\lambda_2X''(x) &= -\mu_2X(x)
\end{align}\)
이는 각각 \(\displaystyle \lambda_i<0, \lambda_i=0, \lambda_i>0\)에 대한 별도의 경우를 고려하고 \(\displaystyle \mu_i=\lambda_i^2\)임을 주목함으로써 해결될 수 있습니다.
Curvilinear coordinates
직교 곡선 좌표(orthogonal curvilinear coordinates)에서, 변수의 분리가 여전히 사용될 수 있지만, 일부 세부 사항에서 데카르트 좌표에서 그것과 다릅니다. 예를 들어, 규칙성 또는 주기적 조건이 경계 조건 대신 고윳값을 결정할 수 있습니다. 예를 들어 spherical harmonics를 참조하십시오.
Applicability
Partial differential equations
파동 방정식, 헬름홀츠 방정식, 및 슈뢰딩거 방정식과 같은 많은 PDE에 대해, 변수의 분리의 적용-가능성은 스펙트럼 정리(spectral theorem)의 결과입니다. 일부 경우에서, 변수의 분리가 가능하지 않을 수 있습니다. 변수의 분리는 일부 좌표 시스템에서는 가능하지만 다른 좌표 시스템에서는 가능하지 않을 수 있고, 분리를 허용하는 좌표 시스템은 방정식의 대칭 속성에 따라 다릅니다. 아래는 특정 선형 방정식에 대한 방법의 적용-가능성을 시연하는 논증의 개요이지만, 정확한 방법은 개별 사례 (예를 들어, 위의 쌍조화 방정식)에 따라 다를 수 있습니다.
두 변수에서 \(\displaystyle D = \{(x,t): x \in [0,l], t \geq 0 \}\) 위에 함수 \(\displaystyle u(x,t) \)에 대한 초기 경계 값 문제를 생각해 보십시오:
\(\quad\displaystyle (Tu)(x,t) = (Su)(x,t) \)
여기서 \(\displaystyle T\)는 \(\displaystyle x\)에 관한 미분 연산자이고 \(\displaystyle S\)는 경계 데이터와 함께 \(\displaystyle t\)에 관한 미분 연산자입니다:
\(\quad\displaystyle (Tu)(0,t) = (Tu)(l,t) = 0\) for \(\displaystyle t \geq 0\)
\(\quad\displaystyle (Su)(x,0)=h(x) \) for \(\displaystyle 0 \leq x \leq l\)
여기서 \(\displaystyle h\)는 알려진 함수입니다.
우리는 \(\displaystyle u(x,t) = f(x) g(t)\) 형식의 해를 찾습니다. PDE를 \(\displaystyle f(x)g(t)\)로 나누면 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle \frac{Tf}{f} = \frac{Sg}{g} \)
오른쪽 변은 \(\displaystyle x\)에만 의존하고 왼쪽 변은 \(\displaystyle t\)에만 의존하므로 둘 다는 상수 \(\displaystyle K \)와 같아야 하며, 이는 두 개의 보통의 미분 방정식을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle Tf = Kf, Sg = Kg\)
이는 \(\displaystyle T\)와 \(\displaystyle S\)에 대해 연산자에 대한 고윳값 문제로 인식될 수 있습니다. 만약 \(\displaystyle T\)가 관련 경계 조건과 함께 공간 \(\displaystyle L^2[0,l]\) 위에 컴팩트, 자체-인접 연산자이면, 스펙트럼 정리에 의해 \(\displaystyle T\)에 대해 고유함수로 구성되는 \(\displaystyle L^2[0,l]\)에 대해 기저가 존재합니다. \(\displaystyle T\)의 스펙트럼을 \(\displaystyle E\)라고 놓고 \(\displaystyle f_{\lambda}\)를 고윳값 \(\displaystyle \lambda \in E\)를 갖는 고유함수라고 놓습니다. 그런-다음 각 시간 \(\displaystyle t\)에서 \(\displaystyle x\)에 관해 제곱-적분가능인 임의의 함수에 대해, 우리는 이 함수를 \(\displaystyle f_{\lambda}\)의 선형 조합으로 쓸 수 있습니다. 특히, 우리는 해 \(\displaystyle u\)는 다음과 같이 쓸 수 있음을 알고 있습니다:
\(\quad\displaystyle u(x,t) = \sum_{\lambda \in E} c_{\lambda}(t)f_{\lambda}(x)\)
일부 함수 \(\displaystyle c_{\lambda}(t)\)에 대해, 변수의 분리에서, 이들 함수는 \(\displaystyle Sg = Kg \)에 대한 해에 의해 제공됩니다.
따라서, 스펙트럼 정리는 변수의 분리가 (가능할 때) 모든 해를 찾을 수 있도록 보장합니다.
\(\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\)와 같은 많은 미분 연산자에 대해, 우리는 부분에 의한 적분을 통해 자기-인접 연산자임을 보여줄 수 있습니다. 이들 연산자는 컴팩트하지 않을 수 있지만, 파동 방정식의 경우와 같이 그것들의 역 (존재할 때)이 될 수 있고, 이들 역은 원래 연산자와 같은 고유함수와 고윳값을 가집니다 (0을 제외하는 가능성과 함께).
Matrices
변수 분리의 행렬 형식은 크로네커 합(Kronecker sum)입니다.
하나의 예제로, 우리는 정규 격자(regular grid)에서 2D 이산 라플라스(discrete Laplacian)를 고려합니다:
\(\quad\displaystyle L = \mathbf{D_{xx}}\oplus\mathbf{D_{yy}}=\mathbf{D_{xx}}\otimes\mathbf{I}+\mathbf{I}\otimes\mathbf{D_{yy}}, \,\)
여기서 \(\displaystyle \mathbf{D_{xx}} \)와 \(\displaystyle \mathbf{D_{yy}} \)는 상응하게 x-방향과 y-방향에서 1D 이산 라플라스이고, \(\displaystyle \mathbf{I} \)는 적절한 크기의 항등식입니다. 자세한 내용에 대해 주요 기사 Kronecker sum of discrete Laplacians을 참조하십시오.
Software
일부 수학 프로그램은 변수의 분리를 수행할 수 있습니다: 다른 것 중에서 Xcas.
References
- Polyanin, Andrei D. (2001-11-28). Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-299-9.
- Myint-U, Tyn; Debnath, Lokenath (2007). Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. Boston, MA: Birkhäuser Boston. doi:10.1007/978-0-8176-4560-1. ISBN 978-0-8176-4393-5.
- Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 140. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
External links
- "Fourier method", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- John Renze, Eric W. Weisstein, Separation of variables (Differential Equation) at MathWorld.
- Methods of Generalized and Functional Separation of Variables at EqWorld: The World of Mathematical Equations
- Examples of separating variables to solve PDEs
- "A Short Justification of Separation of Variables"
