수학(mathematics)에서, 주어진 필드(field) K에 걸쳐 다항식 P(X)는 만약 그 근이 K의 대수적 클로저(algebraic closure)에서 구별되면, 즉, 구별되는 근(roots)의 개수가 다항식의 차수(degree)와 같으면 분리-가능(separable)입니다.
이 개념은 제곱-없는 다항식(square-free polynomial)과 밀접한 관련이 있습니다. 만약 K가 완전 필드(perfect field)이면 두 개념은 일치합니다. 일반적으로, P(X)가 분리-가능인 것과 그것이 K를 포함하는 임의의 필드에 걸쳐 제곱-없는 것은 필요충분 조건이며, 이가 유지되는 것과 P(X)가 그것의 형식적 도함수(formal derivative) D P(X)와 서로소(coprime)인 것은 필요충분 조건입니다.
Older definition
이전 정의에서, P(X)는 만약 K[X]의 각 기약(irreducible) 인수가 현대 정의에서 분리-가능이면 분리-가능으로 고려되었습니다. 이 정의에서, 분리-가능성은 필드 K에 따라 달라집니다; 예를 들어, 완전 필드(perfect field)에 걸쳐 임의의 다항식은 분리-가능으로 고려되어 왔을 것입니다. 이 정의는, 비록 그것이 갈루아 이론(Galois theory)에 편리할 수 있지만, 더 이상 사용되지 않습니다.
Separable field extensions
분리-가능 다항식은 분리-가능 확장(separable extensions)을 정의하기 위해 사용됩니다: 필드 확장(field extension) K ⊂ L이 분리-가능 확장인 것과 K에 걸쳐 대수적인 L에서 모든 각 α에 대해, K에 걸쳐 α의 최소 다항식(minimal polynomial)이 분리-가능 다항식인 것은 필요충분 조건입니다.
비-분리가능 확장(Inseparable extensions, 즉, 분리-가능이 아닌 확장)은 양수 특성(characteristic)에서만 발생할 수 있습니다.
위의 기준은 P가 기약이고 분리-가능이 아니면, D P(X) = 0이라는 빠른 결론에 도달합니다. 따라서, 우리는 K에 걸쳐 일부 다항식 Q에 대해 다음을 가져야 합니다:
여기서 소수(prime number) p는 특성입니다.
이 단서와 함께, 다음 예제를 구성할 수 있습니다:
여기서 K는 p 원소를 갖는 유한 필드(finite field)에 걸쳐 불확정 T의 유리 함수(rational functions)의 필드입니다. 여기서 우리는 P(X)가 기약이고 분리-가능이 아니라는 것을 직접적으로 입증할 수 있습니다. 이것은 실제로 비-불리가능성이 중요한 이유에 대한 전형적인 예제입니다; 기하학적 용어에서 P는 유한 필드에 걸쳐 투영 직선(projective line) 위에 매핑을 나타내며, 좌표를 p-번째 거듭제곱으로 가져옵니다. 그러한 매핑은 유한 필드의 대수적 기하학(algebraic geometry)에 토대적입니다. 다른 말로 하면, 갈루아 이론에 의해 '볼' 수 없는 해당 설정에서 덮는 것이 있습니다. (더 높은 수준의 논의에 대해 근본적 사상(Radical morphism)을 참조하십시오.)
만약 L이 다음과 같은 필드 확장이면
다시 말해서 P의 분할 필드(splitting field)이면, L/K는 순수하게 비-분리가능 필드 확장(purely inseparable field extension)의 예제입니다. 그것은 차수 p이지만,
이 예제에 대해 K에 걸쳐 L의 필드의 텐서 곱이 비-영인 거듭제곱영(nilpotent) 원소를 가짐을 보여줄 수 있습니다. 이것은 비-분리가능성의 또 다른 표현입니다: 즉, 필드 위에 텐서 곱 연산은 필드의 곱인 링(ring)을 생성할 필요는 없습니다 (따라서, 교환 반단순 링이 아닙니다).
만약 P(x)가 분리가능이고, 그것의 근이 그룹(group, 필드 K의 부분그룹(subgroup))이면, P(x)는 덧셈 다항식(additive polynomial)입니다.
Applications in Galois theory
분리-가능 다항식은 갈루아 이론(Galois theory)에서 자주 발생합니다.
예를 들어, P를 정수 계수를 갖는 기약 다항식으로 놓고 p를 P의 선행 계수를 나누지 않는 소수라고 놓습니다. Q를 P의 계수를 모듈로(modulo) p로 줄임으로써 얻어지는 p 원소를 갖는 유한 필드에 걸쳐 다항식이라고 놓습니다. 그런 다음, 만약 Q가 분리-가능이면 (이는 유한 숫자를 제외한 모든 각 p에 대한 경우입니다), Q의 기약 인수의 차수는 P의 갈루아 그룹(Galois group)의 일부 순열(permutation)의 순환(cycles)의 길이입니다.
또 다른 예제: P는 위와 같고, 그룹 G에 대한 분해(resolvent) R은 그의 계수가 P의 계수에서 다항식인 다항식이며, 이는 P의 갈루아 그룹 위에 일부 정보를 제공합니다. 더 정확하게, R이 분리-가능이고 유리(rational) 근을 가지면, P의 갈루아 그룹은 G에 포함됩니다. 예를 들어, D가 P의 판별식(discriminant)이면
References
- Pages 240-241 of Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
- N. Jacobson, Basic Algebra I, p. 233
- Pages 240-241 of Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001