(번역) Real number

수학(mathematics)에서, 실수(real number 또는 real)는 직선(line)을 따라 거리를 나타낼 수 있는 연속적인 양(continuous quantity) (또는 대안적으로, 무한 십진 전개(decimal expansion)로 표현될 수 있는 양)의 값입니다. 이 문맥에서 형용사 real은 다항식(polynomial)의 실수 근과 허수(imaginary) 근(roots) 사이를 구별했던, 르네 데카르트(René Descartes)에 의해 17세기에 도입되었습니다. 실수는 정수(integer) −5와 분수(fraction) 4/3과 같은 모든 유리수(rational number)와 $\sqrt{2}$ (1.41421356..., 2의 제곱근(square root of 2), 무리 대수적 숫자(algebraic number))와 같은 모든 무리수를 포함합니다. 무리수 내에 포함된 숫자는 π (3.14159265...)와 같은 초월적인 숫자(transcendental number)가 포함됩니다. 거리를 측정 것 외에도, 실수는 시간(time), 질량(mass), 에너지(energy), 속도(velocity), 및 더 많은 것과 같은 양을 측정하기 위해 사용될 수 있습니다. 실수의 집합은 기호 R 또는 $\mathbb{R}$를 사용하여 표시되고 때때로 "the reals"라고 불립니다.

실수는, 정수(integer)에 해당하는 점들이 동일 간격으로 배치되는, 숫자 직선(number line) 또는 실수 직선(real line)이라고 불리우는, 무한하게 긴 직선(line) 위의 점으로 생각될 수 있습니다. 임의의 실수는, 8.632와 같은, 가능한 무한 십진수 표현(decimal representation)으로 결정될 수 있으며, 여기서 각 연속 자릿수는 이전 크기의 10분의 1 크기 단위에서 측정됩니다. 실수 직선(real line)은 복소 평면(complex plane)의 부분으로 생각될 수 있고, 실수는 복소수(complex number)의 일부로 생각될 수 있습니다.

실수의 이들 설명은 순수 수학의 현대 표준에 의해 충분히 엄격하지 않습니다. 실수의 적절하게 엄격한 정의의 발견–실제로, 더 나은 정의가 필요하다는 인식–은 19세기 수학의 가장 중요한 발전 중에 하나였습니다. 현재 표준 공리적 정의는 실수는, 동형(isomorphism)까지(up to) 고유한 데데킨트-완비(Dedekind-complete) 순서화된 필드(ordered field) (R ; + ; · ; <)를 형성하지만, 실수의 대중적인 건설적인 정의는, 산술 연산과 순서 관계에 대한 정확한 해석과 함께, (유리수의) 코시 수열(Cauchy sequence), 데데킨트 자름(Dedekind cut), 또는 무한한 십진 표현(decimal representation)의 동치 클래스(equivalence class)로써 그것들을 선언하는 것을 포함합니다. 모든 이들 정의는 공리적 정의를 만족시키고 따라서 동등합니다.

실수의 집합은, 모든 자연수(natural number)의 집합과 모든 실수(real number)의 집합은 둘 다 무한 집합(infinite set)이지만, 실수에서 자연수로의 일-대-일 함수(one-to-one function)가 없다는 의미에서, 셀 수 없습니다(uncountable). 사실, $\mathfrak{c}$로 표시되고 연속체의 카디널리티(cardinality of the continuum)라고 불리우는, 모든 실수의 집합의 카디널리티(cardinality)는 모든 자연수 집합의 카디널리티 (${\mathrm{\aleph }}_0$로 표시되는 '알레프-영'('aleph-naught'))보다 엄격하게 더 큽니다.

${\mathrm{\aleph }}_0$보다 엄격하게 크고 $\mathfrak{c}$보다 엄격하게 작은 카디널리티를 갖는 실수의 부분집합이 없다라는 명제는 연속체 가설(continuum hypothesis) (CH)이라고 알려져 있습니다. 선택의 공리(axiom of choice) (ZFC)–현대 수학의 기본 토대를 포함하는 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)의 공리를 사용하여 증명할 수도 없고 반박할 수도 없는 것으로 알려져 있습니다. 사실, ZFC의 일부 모델은 CH를 만족시키지만, 다른 모델은 그것을 위반합니다.

History

단순 분수(simple fractions)는 기원전 1000년경 이집트인(Egyptians)에 의해 사용되었습니다; 기원전 약 600년, 베다(Vedic) "Shulba Sutras" ("화음의 규칙")은 무리수(irrational number)의 최초 "사용"일 수 있는 것을 포함합니다. 무리성의 개념은 마나바(Manava) (기원전 약 750–690년)와 같은 초기 인도 수학자(Indian mathematicians)에 의해 암묵적으로 받아들여졌으며, 그는 2와 61과 같은 특정 숫자의 제곱근(square root)이 정확히 결정될 수 없다는 것을 알고 있었습니다. 기원전 약 500년에, 피타고라스(Pythagoras)에 의해 선도된 그리스 수학자들(Greek mathematicians)은 무리수, 특히 2의 제곱근(square root of 2)의 무리성에 대해 필요성을 깨달았습니다.

중세 시대(Middle Ages)는 처음에는 인도(Indian)와 중국의 수학자(Chinese mathematicians), 및 그 다음에 역시 무리수를 대수적 대상으로 처음으로 취급한 아랍 수학자들(Arabic mathematicians)에 의해 영(zero), 음수(negative numbers), 정수(integers), 및 분수적(fractional) 숫자의 수용이 이루어졌습니다 (후자는 대수의 발전에 의해 가능하게 되었습니다). 아랍 수학자들은 역시 "숫자(number)"와 "크기(magnitude)"의 개념을 보다 일반적인 실수(real number)의 아이디어로 병합했습니다. 이집트(Egypt)의 수학자 아부 카밀 쇼하 이븐 아슬람(Abū Kāmil Shujā ibn Aslam) (약 850–930년)은 처음으로 무리수를 이차 방정식(quadratic equation)의 해로 또는 방정식(equation)에서 (종종 제곱 근, 세제곱 근 및 네제곱 근(fourth roots)의 형식에서) 계수(coefficient)로 받아들였습니다.

16세기에서, 시몬 스테빈(Simon Stevin)은 현대 십진(decimal) 표기법에 대해 기초를 만들었고, 이와 관련하여 유리수와 무리수 사이에 차이가 없다고 주장했습니다.

17세기에서, 데카르트(Descartes)는 다항식의 근을 설명하기 위해 용어 "실수(real)"를 도입했으며, 그것을 용어 "허수(imaginary)"와 구별했습니다.

18세기와 19세기에서, 무리수와 초월적 숫자(transcendental number)에 대한 많은 연구가 있었습니다. 요한 하인리히 램버트(Johann Heinrich Lambert) (1761)는 π가 유리수일 수 없다는 첫 번째 결함이 있는 증명을 제공했습니다; 아드리앵-마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre) (1794)는 증명을 완성했고, π가 유리수의 제곱근이 아님을 보였습니다. 파올로 루피니(Paolo Ruffini) (1799)와 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel) (1842) 둘 다는 아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)의 증명을 구성했습니다: 그것은 일반적인 오차(quintic) 또는 그 높은 차수의 방정식이 오직 산술 연산과 근을 포함하여 일반 공식에 의해 풀릴 수 없다는 것입니다.

에바리스트 갈루아(Évariste Galois) (1832)는 주어진 방정식이 제곱근에 의해 풀려질 수 있는지 여부를 결정하는 기법을 개발했으며, 갈루아 이론(Galois theory)의 분야를 일으켰습니다. 조제프 리우빌(Joseph Liouville) (1840)은 $e$도 $e^2$도 정수 이차 방정식(quadratic equation)의 근이 될 수 없음을 보였고, 그런-다음 초월적 숫자의 존재를 확립했습니다; 게오르크 칸토어(Georg Cantor) (1873)는 이 증명을 확장하고 크게 단순화했습니다. 샤를 에르미트(Charles Hermite) (1873)는 e가 초월적임을 처음으로 입증했고, 페르디난트 폰 린데만(Ferdinand von Lindemann) (1882)은 π가 초월적임을 보였습니다. 린데만의 증명은 바이어슈트라스 (1885)에 의해, 더 나아가 다비트 힐베르트(David Hilbert) (1893)에 의해 훨씬 단순화되었고, 마침내 아돌프 후르비츠(Adolf Hurwitz)와 파울 고르단(Paul Gordan)에 의해 기본이 되었습니다.

18세기에서 미적분학(calculus)의 발달은 엄격하게 실수를 정의하는 것 없이 전체 실수의 집합을 사용했습니다. 첫 번째 엄격한 정의는 1871년에 게오르크 칸토어(Georg Cantor)에 의해 발표되었습니다. 1874년에, 그는 모든 실수의 집합이 셀 수 없는 무한(uncountably infinite)하지만, 모든 대수적 숫자의 집합은 셀 수 있는 무한(countably infinite)임을 보였습니다. 널리 알려진 믿음과는 달리, 그의 첫 번째 방법은 1891년에 발표한 유명한 대각선 논증(diagonal argument)이 아니었습니다. 자세한 것에 대해, 칸토어의 첫 번째 비가산성 증명을 참조하십시오.

Definition

실수 시스템 ($(\mathbb{R};+;\cdot ;<$)은 이후에 설명되는 동형-사상(isomorphism)까지 공리적으로(axiomatically) 정의될 수 있습니다. 역시 "그" 실수 시스템을 구성하는 많은 방법이 있고, 인기있는 접근 방식은 자연수에서 시작하고, 그다음에 유리수를 대수적으로 정의하고, 마지막으로 실수를 그것들의 코시 수열(Cauchy sequence)의 동치 클래스 또는 유리수의 특정 부분집합인 데데킨트 자름(Dedekind cut)으로 정의하는 것입니다. 또 다른 접근 방식은 (말하자면 힐베르트의 또는 타르스키의) 일부 유클리드 기하학의 엄격한 공리화에서 시작하는 것이고, 그런-다음 실수 시스템을 기하학적으로 정의하는 것입니다. 실수의 모든 이들 구성은 결과적인 숫자 시스템이 동형(isomorphic)이라는 의미에서 동등하게 됨을 보여 왔습니다.

Axiomatic approach

$\mathbb{R}$이 모든 실수의 집합(set)을 나타내는 것으로 놓습니다. 그런-다음:

• 집합 $\mathbb{R}$은 필드(field)이며, 덧셈(addition)과 곱셈(multiplication)이 정의되고 보통 속성을 가진다는 의미입니다.
• 필드 $\mathbb{R}$이 순서화된(ordered) 것이며, 모든 실수 x, y 및 z에 대해 다음을 만족하는 전체 순서(total order) ≥이 있음을 의미합니다:
  • 만약 x ≥ y이면, x + z ≥ y + z입니다;
  • 만약 x ≥ 0 및 y ≥ 0이면, xy ≥ 0입니다.
• 순서는 데데킨트-완비(Dedekind-complete)이며, $\mathbb{R}$에서 위쪽 경계(upper bound)를 갖는 $\mathbb{R}$의 모든 각 비-빈(non-empty) 부분집합 S는 $\mathbb{R}$에서 최소 위쪽 경계(least upper bound) (일명, 상한)를 가집니다.

마지막 속성은 유리수(rationals)로부터 (및 다른 보다 이국적인 순서화된 필드로부터) 실수를 구별하는 것입니다. 예를 들어, $\{x\in \mathbb{Q}:x^2<2\}$는 유리수 위쪽 경계 (예를 들어, 1.42)를 가지지만, 최소 유리수 위쪽 경계를 가지지 않는데, 왜냐하면 $\sqrt{2}$은 유리수가 아니기 때문입니다.

이들 속성은 아르키메데스(Archimedean property) 속성을 암시하며 (이것은 완비의 다른 정의에 의해 암시되지 않습니다), 이것은 정수(integer)의 집합이 실수에서 위쪽 경계를 가지지 않음을 말합니다. 사실, 만약 이것이 거짓이면, 정수는 최소 위쪽 경계 N을 가질 것입니다; 그런-다음 N – 1은 위쪽 경계가 아니고, n> N – 1, 따라서 n > N – 1을 만족하는 정수 n이 있을 것이고, 따라서 n + 1 > N이며, 이것은 N의 위쪽-경계 속성과 모순입니다.

실수는 위의 속성에 의해 고유하게 지정됩니다. 보다 정확하게, 데데킨트-완비 순서화된 필드 ${\mathbb{R}}_1$과 ${\mathbb{R}}_2$가 주어지면, ${\mathbb{R}}_1$에서 ${\mathbb{R}}_{\mathbb{2}}$로의 고유한 필드 동형(isomorphism)이 존재합니다. 이 독특함은 우리에게 그것들을 본질적으로 같은 수학적 대상으로 생각하는 것을 허용합니다.

$\mathbb{R}$의 또 다른 공리화에 대해, 실수의 타르스키의 공리화(Tarski's axiomatization of the reals)를 참조하십시오.

Construction from the rational numbers

실수는 (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415; ...)와 같은 십진 또는 이진 전개에 의해 정의된 수열이 고유한 실수—이 경우에서 π로 수렴(converges)하는 그러한 방법으로 유리수의 완비(completion)로 구성될 수 있습니다. 자세하고 실수의 다른 구성에 대해, 실수의 구성(construction of the real numbers)을 참조하십시오.

Properties

Basic properties

• 임의의 비-영(zero) 실수는 음수(negative) 또는 양수(positive) 중 하나입니다.
• 두 비-음의 실수의 합과 곱은 다시 비-음의 실수입니다. 즉, 그것들은 이들 연산 아래에 닫혀있고, 양의 원뿔(positive cone)을 형성하고, 그것에 의하여 숫자 직선(number line)을 따라 실수의 선형 순서(linear order)를 생성합니다.
• 실수는 자연수(natural number)의 무한 집합에 단사식으로(injectively) 매핑할 수 없는 숫자의 무한 집합(infinite set)을 구성합니다. 즉, 셀-수-없는(uncountably) 무한하게 많은 실수가 있지만, 자연수는 셀-수-있는 무한(countably infinite)이라고 불립니다. 이것은 어떤 의미에서, 임의의 셀-수-있는 집합에서 원소가 있는 것보다 더 많은 실수가 있음을 확증합니다.
• 실수의 셀-수-있는 무한 부분집합의 계층, 예를 들어, 정수(integer), 유리수(rationals), 대수적 숫자(algebraic number) 및 계산-가능 숫자(computable number)가 있으며, 각 집합은 수열에서 다음 것의 적절한 부분집합이 있습니다. 실수에서 이들 집합 (무리수(irrational), 초월적(transcendental), 및 비-계산가능 실수)의 여집합(complements)은 모두 셀-수-없이 무한 집합입니다.
• 실수는 연속적인(continuous) 양의 측정(measurement)을 표현하기 위해 사용될 수 있습니다. 그것들은 십진 표현(decimal representation)에 의해 표현될 수 있으며, 그것들 중 대부분은 십진 점(decimal point)의 오른쪽에 자릿수의 무한 수열을 가집니다; 이것들은 종종 324.823122147...와 같이 표시되며, 여기서 생략부호(ellipsis) (점 3개)는 여전히 더 많은 자릿수가 있음을 가리킵니다. 이것은 유한하게 많은 기호를 갖는 오지 몇 개의, 선택된 실수를 정확하게 나타낼 수 있다는 사실을 시사합니다.

보다 공식적으로, 실수는 순서화된 필드(ordered field)인 것과 최소 위쪽 경계(least upper bound) 속성을 갖는 두 가지 기본 속성을 가집니다. 첫 번째는 실수가 덧셈과 곱셈뿐만 아니라 비-영 숫자에 의한 나눗셈을 갖는 필드(field)를 이룬다고 말하며, 이것은 덧셈과 곱셈과 호환되는 방법에서 숫자 직선 위에 전체적으로 순서화(totally ordered)될 수 있습니다. 두 번째는, 만약 실수의 비-빈 집합이 위쪽 경계(upper bound)를 가지면, 그것은 실수 최소 위쪽 경계(least upper bound)를 가지고 있다고 말합니다. 두 번째 조건은 유리수로부터 실수를 구별합니다: 예를 들어, 그것의 제곱이 2보다 작은 유리수의 집합은 위쪽 경계 (예를 들어, 1.5)를 가지지만 (유리수) 최소 위쪽 경계를 가지지는 않는 집합입니다: 따라서 유리수는 최소 위쪽 경계 속성을 만족시키지 않습니다.

Completeness

실수를 사용하는 주된 이유는 많은 수열이 극한(limits)을 가지도록 하는 것이기 때문입니다. 보다 공식적으로, 실수는 완비(complete)입니다 (메트릭 공간(metric space) 또는 균등 공간(uniform space)의 의미에서, 이것은 이전 섹션에서 순서의 데데킨트 완비와 다른 의미입니다).

실수의 수열(sequence) $(x_n)$은 만약 임의의 ε > 0에 대해, 거리(distance) $|x_n-x_m|$가 N보다 둘 다 더 큰 것인 모든 n과 m에 대해 ε보다 작은 것을 만족하는 (아마도 ε에 의존하는) 정수 N이 존재하면 코시 수열(Cauchy sequence)이라고 불립니다. 이 정의는, 원래 코시(Cauchy)에 의해 제공되었으며, $x_n$이 결국 서로 임의적으로 가까이 오고 남게 되는 사실을 공식화합니다.

수열 $(x_n)$은 만약 그것의 원소가 결국 x에 임의적으로 가까이 오고 남게 되면, 즉, 만약 임의의 ε > 0에 대해 거리 $|x_n-x|$가 N보다 더 큰 n에 대해 ε보다 작음을 만족하는 (아마도 ε에 의존하는) 정수 N이 존재하면, 극한에 수렴합니다.

모든 각 수렴하는 수열은 코시 수열이고, 수렴은 실수에 대해 참이고, 이것은 실수의 토폴로지적 공간(topological space)이 완비임을 의미합니다.

유리수의 집합은 완비가 아닙니다. 예를 들어, 수열 (1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; 1.41421; ...)은, 여기서 각 항은 2의 양의 제곱근(square root)의 십진 전개의 자릿수를 더하며, 코시지만 그것은 유리수에 수렴하지 않습니다 (실수에서, 대조적으로, 그것은 2의 양의 제곱근(square root)에 수렴합니다).

실수의 완비 속성은 미적분학(calculus), 및, 보다 일반적으로 수학적 해석학(mathematical analysis)이 구축되는 기초입니다. 특히, 수열이 코시인지의 테스트는 수열이 극한을 가지는 것을, 그것의 계산 없이, 및 심지어 그것을 아는 것 없이, 입증하는 것을 허용합니다.

예를 들어, 다음 지수 함수(exponential function)의 표준 급수는:

$$${\displaystyle e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}}$

모든 각 x에 대해 실수로 수렴하는데, 왜냐하면 다음 그 합이:

$$${\displaystyle \sum _{n=N}^M\frac{x^n}{n!}}$

충분하게 큰 N을 선택함으로써 (M에 독립적으로) 임의적으로 작게 만들 수 있기 때문입니다. 이것은 수열이 코시이고, 따라서 수렴함을 입증하며, $e^x$가 모든 각 x에 대해 잘 정의된 것임을 보여줍니다.

"The complete ordered field"

실수는 종종, 여러 가지 방법으로 해석될 수 있는 문구, "완비 순서화된 필드"로 설명됩니다.

첫째, 순서는 격자-완비(lattice-complete)일 수 있습니다. 순서화된 필드가 격자-완비가 될 수 없다는 것을 쉽게 알 수 있는데, 왜냐하면 그것은 가장 큰 요소를 가질 수 없으므로 (임의의 원소 z가 주어지면, z + 1이 더 큽니다), 이것은 의미되는 의미가 아니기 때문입니다.

추가적으로, 순서는 섹션, 공리적 접근(Axiomatic approach)에서 정의된 것처럼, 데데킨트-완비(Dedekind-complete)일 수 있습니다. 해당 섹션의 끝에 있는 고유성 결과는, 이것이 의미되는 "완비"의 의미일 때, "완비 순서화된 필드"라는 구문에서 단어 "그(the)"를 사용하는 것을 정당화합니다. 이 완비성의 의미는 데데킨트 자름으로부터 실수의 구성과 가장 밀접하게 관련되는데, 왜냐하면 해당 구성은 순서화된 필드 (유리수)로부터 시작하고 그런-다음 표준 방법에서 데데킨트-완비를 형성하기 때문입니다.

완비성의 이들 두 개념은 필드 구조를 무시합니다. 어쨌든, 순서화된 그룹(ordered group) (이 경우에서, 필드의 덧셈의 그룹)은 균등(uniform) 구조를 정의하고, 균등 구조는 완비성(completeness)의 개념을 가집니다; § Completeness에서 설명은 특별한 경우입니다. (우리가 메트릭 공간(metric space)에 대해 관련된 및 더 나은 알려진 개념보다는 균등 공간에서 완비성의 개념을 참조하는데, 왜냐하면 메트릭 공간의 정의는 이미 실수의 특성화를 가짐에 의존하기 때문입니다.) $\mathbb{R}$이 오직 균등하게 완비 순서화된 필드라는 것은 참이 아니지만, 그것이 오직 균등하게 완비 아르키메데스 필드(Archimedean field)이고, 실제로 우리는 종종 "완비 순서화된 필드" 대신에 "완비 아르키메데스 필드"라는 문구를 듣습니다. 모든 각 균등하게 완비 아르키메데스 필드는 역시, 문구 "완비 아르키메데스 필드"에서 "그(the)"를 사용하는 것을 정당화하는 데데킨트-완비 (또는 그 반대)이어야 합니다. 이 완비성의 의미는 코시 수열 (이 기사에서 전체적으로 수행된 구성)로부터 실수의 구성과 가장 밀접하게 관련되어 있는데, 왜냐하면 그것은 아르키메데트 필드 (유리수)로 시작하고 표준 방법에서 그것의 균등 완비를 형성합니다.

그러나 문구 "완비 아르키메데스 필드"의 원래 사용은 다비트 힐베르트(David Hilbert)에 의한 것이며, 그는 여전히 그것에 의한 다른 것을 의미했습니다. 그는 모든 각 다른 아르키메데스 필드가 $\mathbb{R}$의 부분필드라는 의미에서 실수가 가장 큰 아르키메데스 필드를 형성한다는 것을 의미했습니다. 따라서 $\mathbb{R}$은 그것을 더 이상 아르키메데스 필드로 만드는 것 없이 어떤 것도 더 이상 그것에 추가될 수 없다는 의미에서 "완비"입니다. 이 완비성의 의미는 초현실수(surreal number)에서 실수를 구성하는 것과 가장 밀접한 관련이 있는데, 왜냐하면 해당 구성은 모든 각 순서화된 필드 (초현실수)를 포함하는 적절한 클래스로 시작하고 그런-다음 그것으로부터 가장 큰 아르키메데스 부분필드를 선택하기 때문입니다.

Advanced properties

See also: Real line

실수는 셀-수-없는(uncountable) 것입니다; 즉, 심지어 실수와 자연수 둘 다는 무한(infinite)일지라도, 자연수(natural number)보다 엄격하게 더 많은 실수가 있습니다. 사실, 실수의 카디널리티(cardinality of the reals)는 자연수의 부분집합의 집합 (즉, 거듭제곱 집합)의 카디널리티와 같고, 칸토어의 대각선 논증(Cantor's diagonal argument)은 후자의 집합의 카디널리티가 $\mathbb{N}$의 카디널리티보다 엄격하게 큼을 말합니다. 대수적 숫자(algebraic number)의 집합은 셀-수-있는 것이므로, 거의 모든(almost all) 실수는 초월적(transcendental)입니다. 정수와 실수의 카디널리티 사이의 엄격하게 카디널리티를 갖는 실수의 부분집합의 비-존재는 연속체 가설(continuum hypothesis)로 알려져 있습니다. 연속체 가설은 입증될 수도 없고 입증되지 않을 수도 없습니다; 그것은 집합 이론의 공리(axioms of set theory)와 독립(independent)입니다.

토폴로지적 공간으로서, 실수는 분리-가능(separable)입니다. 이것은 셀-수-있는 것인 유리수의 집합이 실수에서 조밀한 것이기 때문입니다. 무리수는 역시 실수에서 조밀한 것이며, 어쨌든 그것들은 셀-수-없는 것이고 실수와 같은 카디널리티를 가집니다.

실수는 메트릭 공간(metric space)을 형성합니다: x와 y 사이의 거리는 절댓값(absolute value) |x − y|로 정의됩니다. 전체적으로 순서화된(totally ordered) 집합인 것의 힘으로, 그것들은 역시 순서 토폴로지(order topology)를 지닙니다; 메트릭에서 발생하는 토폴로지(topology)와 순서에서 발생하는 토폴로지는 동일하지만, 토폴로지에 대해 다른 표시를 산출합니다–순서 토폴로지에서 순서화된 구간으로, 메트릭 토폴로지에서 엡실론-볼로 표시됩니다. 데데킨트 자름 구성은 순서 토폴로지 표시를 사용하지만, 코시 수열 구성은 메트릭 토폴로지 표시를 사용합니다. 실수는 하우스도르프 차원(Hausdorff dimension) 1의 축약-가능(contractible) (따라서 연결된(connected) 및 단순 연결된(simply connected)), 분리-가능(separable) 및 완비(complete) 메트릭 공간을 형성합니다. 실수는 지역적으로 컴팩트(locally compact)이지만 컴팩트(compact)는 아닙니다. 그것들을 고유하게 지정하는 다양한 속성이 있습니다; 예를 들어, 모든 경계진, 연결된, 및 분리-가능 순서 토폴로지(order topologies)는 필연적으로 실수에 위상-동형(homeomorphic)입니다.

모든 각 비-음의 실수는, 비록 음의 숫자가 제곱근을 가지지 않을지라도, $\mathbb{R}$에서 제곱근(square root)을 가집니다. 이것은 $\mathbb{R}$ 위에 순서가 그것의 대수적 구조에 의해 결정됨을 보입니다. 역시, 홀수 차수의 모든 각 다항식은 적어도 하나의 실수 근을 허용합니다: 이들 두 속성은 $\mathbb{R}$을 실수 닫힌 필드(real closed field)의 가장 좋은 예제를 만듭니다. 이것을 입증하는 것은 대수의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)의 하나의 증명의 전반부 절반입니다.

실수는 정식의 측정(measure), 르베그 측정(Lebesgue measure)을 지니며, 이것은 단위 구간(unit interval) [0;1]이 측정 1을 가짐을 만족하는 정규화된 토폴로지적 그룹(topological group)으로 그들의 구조에 대한 하르 측정(Haar measure)입니다. 르베그 측정-가능이 아닌 실수의 집합, 예를 들어, 비탈리 집합(Vitali set)이 존재합니다.

실수의 상한 공리는 실수의 부분집합을 참조하고 따라서 이-차 논리적 명제입니다. 단독으로 일-차 논리(first-order logic)를 갖는 실수를 특성화하는 것은 가능하지 않습니다: 뢰벤하임–스콜렘 정리(Löwenheim–Skolem theorem)는 실수 자체로 일-차 논리에서 정확히 같은 문장을 만족시키는 실수의 셀-수-있는 조밀한 부분집합이 존재한다는 것을 의미합니다. 초실수(hyperreal number)의 집합은 R

과 같은 일-차 문장을 만족시킵니다. $\mathbb{R}$과 같은 일-차 문장을 만족시키는 순서화된 필드는 $\mathbb{R}$의 비표준 모델(nonstandard model)이라고 불립니다. 이것이 비표준 해석학(nonstandard analysis)을 작동시키는 것입니다; 일부 비표준 모델에서 일-차 명제를 입증함으로써 (이것은 $\mathbb{R}$에서 그것을 입증하는 것보다 더 쉬울 수 있습니다), 우리는 같은 명제가 역시 $\mathbb{R}$에서도 참이어야 한다는 것을 압니다.

실수의 필드(field) $\mathbb{R}$은 유리수의 필드 $\mathbb{Q}$의 확장 필드(extension field)이고, $\mathbb{R}$은 따라서 $\mathbb{Q}$에 걸쳐 벡터 공간으로 보일 수 있습니다. 선택의 공리(axiom of choice)를 갖는 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)은 이 벡터 공간의 기저(basis)의 존재를 보장합니다: 모든 각 실수가 이 집합의 원소들의 유한 선형 조합(linear combination)으로 고유하게 쓰일 수 있음을 만족하고, 오직 유리 계수를 사용하여, B의 어떤 원소도 다른 원소의 유리 선형 조합임을 만족하는 실수의 집합 B가 존재합니다. 어쨌든, 이 존재 정리는 그러한 기저가 명시적으로 설명된 적이 없기 때문에 순전히 이론적입니다.

바른-순서화 정리(well-ordering theorem)는 실수가 만약 선택의 공리가 가정하면 바른-순서화(well-order)될 수 있음을 의미합니다: $\mathbb{R}$의 모든 각 비-빈(non-empty) 부분집합(subset)이 이 순서화에서 최소 원소(least element)를 가진다는 속성을 갖는 $\mathbb{R}$에 대한 전체 순서(total order)가 존재합니다. (실수의 표준 순서화 ≤는 바른-순서화가 아닌데 왜냐하면 예를 들어 열린 구간(open interval)은 이 순서화에서 최소 원소를 포함하지 않기 때문입니다.) 다시 한번, 그러한 바른-순서화의 존재는 순전히 이론적인데, 왜냐하면 그것은 명시적으로 설명된 적이 없기 때문입니다. 만약 V=L이 ZF의 공리 외에도 가정되면, 실수의 바른 순서화는 공식에 의해 명시적으로 정의-가능이 됨을 보여줄 수 있습니다.

실수는 계산-가능(computable) 또는 비-계산-가능 중 하나; 알고리듬적으로 무작위(algorithmically random) 또는 아니던 중 하나; 및 산술적으로 무작위(arithmetically random) 또는 아니던 중 하나일 수 있습니다.

Applications and connections to other areas

Real numbers and logic

실수는 집합 이론의 체르멜로–프렝켈(Zermelo–Fraenkel) 공리화를 사용하여 가장 자주 형식화되지만, 일부 수학자는 수학의 다른 논리적 토대와 함께 실수를 연구합니다. 특히, 실수는 역시 역 수학(reverse mathematics)과 구성적 수학(constructive mathematics)에서 연구됩니다.

에드윈 휴잇(Edwin Hewitt), 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)과 다른 사람들에 의해 개발된 초실수(hyperreal number)는 무한소(infinitesimal)와 무한 숫자를 도입함으로써 실수의 집합을 확장하였으며, 라이프니츠(Leibniz), 오일러(Euler), 코시(Cauchy)와 다른 사람들의 원래 직관에 더 가까운 방법으로 무한소 미적분(infinitesimal calculus)을 구축하는 것을 허용합니다.

에드워드 넬슨(Edward Nelson)의 내부 집합 이론(internal set theory)은 단항 술어 "표준"을 도입함으로써 구문적으로 체르멜로–프렝켈(Zermelo–Fraenkel) 집합 이론을 풍부하게 합니다. 이 접근법에서, 무한소는 실수의 집합의 (비-"표준") 원소입니다 (로빈슨의 이론에서와 같이, 그것으로부터 확장의 원소가 아님).

연속체 가설(continuum hypothesis)은 실수 집합의 카디널리티가 ${\mathrm{\aleph }}_1$이라고 가정합니다; 즉, ${\mathrm{\aleph }}_0$, 정수의 카디널리티 다음의 가장 작은 무한 세는-숫자(cardinal number)입니다. 폴 코언(Paul Cohen)은 1963년에 그것이 집합 이론의 다른 공리와는 독립적인 공리임을 입증했습니다; 즉: 우리는 모순 없이 집합 이론의 공리로 연속체 가설 또는 그것의 부정 중 하나를 선택할 수 있습니다.

In physics

물리적 과학에서, 우주 중력 상수와 같은 대부분의 물리적 상수, 및 위치, 질량, 속력과 전하와 같은 물리적 변수는 실수를 사용하여 모델링 됩니다. 실제로, 고전 역학(classical mechanics), 전자기학(electromagnetism), 양자 역학(quantum mechanics), 일반 상대성(general relativity) 및 표준 모델(standard model)과 같은 기본 물리 이론은, 비록 물리적 양의 실제 측정이 유한 정확성과 정밀도(accuracy and precision)의 것일지라도, 실수를 기반으로 하는 수학적 구조, 전형적으로 매끄러운 매니폴드(smooth manifolds) 또는 힐베르트 공간(Hilbert spaces)을 사용하여 설명됩니다.

물리학자들은 때때로 보다 기본적인 이론이 실수를 연속체를 형성하지 않는 양으로 대체할 것이라고 제안해 왔지만, 그러한 제안은 여전히 추측에 불과합니다.

In computation

일부 예외(exceptions)와 함께, 대부분의 계산기는 실수에서 작동하지 않습니다. 대신에, 그것들은 부동-점 숫자(floating-point number)라고 불리는 유한-정밀도 근사에서 동작합니다. 사실, 대부분의 과학적 계산(scientific computation)은 부동-점 산술을 사용합니다. 실수는 보통의 산술 규칙(usual rules of arithmetic)을 만족시키지만, 부동-점 숫자는 그렇지 않습니다.

컴퓨터는 무한하게 많은 자릿수를 갖는 임의의 실수를 직접 저장할 수 없습니다. 달성-가능한 정밀도는 부동-점 숫자(floating-point number)든 임의-정밀도 숫자(arbitrary-precision numbers)든, 숫자를 저장하기 위해 할당된 비트의 숫자에 의해 제한됩니다. 어쨌든, 컴퓨터 대수 시스템(computer algebra system)은 공식을 그것들의 유리 또는 십진 근사가 아니라 ( ($\sqrt{2},$ $\arcsin (2/23),$ 또는 ${\int }_0^1{x}^{x}dx$와 같은) 그것들에 대해 조작함으로써 정확하게 무리수 양(irrational quantities)에 연산할 수 있습니다. 일반적으로 두 그러한 표현이 같은 것인지 여부를 결정하는 것이 가능하지 않습니다 (상수 문제(constant problem)를 참조하십시오).

실수는 만약 그것의 자릿수를 산출하는 알고리듬이 존재하면 계산-가능(computable)이라고 불립니다. 단지 셀-수-있게(countably) 많은 알고리듬은 있지만, 셀-수-없게 많은 실수가 있기 때문에, 거의 모든(almost all) 실수는 계산-가능에 실패합니다. 더욱이, 두 계산-가능 숫자의 상등은 비-결정가능 문제(undecidable problem)입니다. 일부 구성주의자들(constructivists)은 계산-가능인 그들 실수의 존재를 받아들입니다. 정의-가능 숫자(definable number)의 집합은 더 광범위하지만, 여전히 단지 셀-수-있는 것입니다.

"Reals" in set theory

집합 이론(set theory), 특히 설명적 집합 이론(descriptive set theory)에서, 베르 공간(Baire space)은 실수에 대한 대리물로 사용되는데, 왜냐하면 후자는 기술적 불편한 것인 일부 토폴로지적 속성 (연결성)을 갖기 때문입니다. 베르 공간의 원소는 "실수(reals)"로 참조됩니다.

Vocabulary and notation

수학자들은 모든 실수의 집합(set)을 나타내기 위해 기호 R, 또는, 대안적으로, $\mathbb{R}$, (유니코드(Unicode)에서 U+211D ℝ DOUBLE-STRUCK CAPITAL R (&reals;, &Ropf;)로 인코딩된) 칠판 굵은-글씨(blackboard bold)에서 문자 "R"을 사용합니다. 이 집합이 자연스럽게 필드(field)의 구조를 부여받기 때문에, 표현 실수의 필드(field of real numbers)는 그것의 대수적 속성이 고려-사항 아래에 있을 때 자주 사용합니다.

양의 실수와 음의 실수의 집합이 종종 ${\mathbb{R}}^{+}$와 ${\mathbb{R}}^{-}$로 각각 표시됩니다; ${\mathbb{R}}_{+}$와 ${\mathbb{R}}_{-}$가 역시 사용됩니다. 비-음의 실수는 ${\mathbb{R}}_{\ge 0}$로 표시될 수 있지만 우리는 종종 이 집합이 ${\mathbb{R}}^{+}\cup \{0\}$으로 표시된 것을 봅니다. 프랑스 수학자들에서, 양의 실수와 음의 실수는 공통적으로 영(zero)을 포함하고, 이들 집합은 각각 ${\mathbb{R}}_{\mathbb{+}}$와 ${\mathbb{R}}_{\mathbb{-}}$로 표시됩니다. 이 이해에서, 영 없이 각 집합은 엄격하게 양의 실수와 엄격하게 음의 실수라고 불리고, ${\mathbb{R}}_{+}\ast$와 ${\mathbb{R}}_{-}\ast$로 표시됩니다.

표기법 ${\mathbb{R}}^n$은 실수 필드에 걸쳐 n-차원(dimension)적 벡터 공간(vector space)인 $\mathbb{R}$의 n 복사본의 데카르트 곱(Cartesian product)을 참조합니다; 이 벡터 공간은 좌표 시스템(coordinate system)이 후자에서 선택되자마자 유클리드 기하학(Euclidean geometry)의 n-차원(dimension)적 공간으로 식별될 수 있습니다. 예를 들어, ${\mathbb{R}}^3$로부터 값은 세 실수로 튜플(tuple)로 구성되고 3-차원 공간에서 점(point)의 좌표(coordinates)를 지정합니다.

수학에서, 실수(real)가 형용사로 사용되며, 놓여-있는 필드가 실수의 필드임을 의미합니다. 예를 들어, 실수 행렬(matrix), 실수 다항식(polynomial) 및 실수 리 대수(Lie algebra)가 있습니다. 그 단어는 역시 명사로 사용되며, (모든 실수의 집합"에서 처럼) 실수를 의미합니다.

Generalizations and extensions

실수는 여러 다른 방향에서 일반화되고 확장될 수 있습니다:

• 복소수(complex number)는 모든 다항(polynomial) 방정식에 대한 해를 포함하고 따라서 실수와 달리 대수적으로 닫힌 필드(algebraically closed field)입니다. 어쨌든, 복소수는 순서화된 필드(ordered field)가 아닙니다.
• 아핀적으로 확장된 실수 시스템(affinely extended real number system)은 두 원소 +∞ 및 −∞를 더합니다. 그것은 하나의 컴팩트 공간(compact space)입니다. 그것은 더 이상 필드, 또는 심지어 덧셈의 그룹이 아니지만, 여전히 전체 순서(total order)를 가집니다; 게다가, 그것은 하나의 완비 격자(complete lattice)입니다.
• 실수 투영 직선(real projective line)은 오직 하나의 값 ∞을 더합니다. 그것은 역시 컴팩트 공간입니다. 다시 한번, 그것은 더 이상 필드 또는 심지어 덧셈의 그룹도 아닙니다. 어쨌든, 그것은 영에 의한 비-영 원소의 나눗셈을 허용합니다. 그것은 분리 관계(separation relation)에 의해 설명되는 순환 순서(cyclic order)를 가집니다.
• 긴 실수 직선(long real line)은 "지역적으로" 실수와 동일하지만, 약간 더 긴 것인 순서화된 필드를 생성하기 위해 실수 직선의 ${\mathrm{\aleph }}_1^{\ast }+{\mathrm{\aleph }}_1$ 복사본 더하기 단일 점을 함께 붙여 넣습니다 (여기서 ${\mathrm{\aleph }}_1^{\ast }$는 ${\mathrm{\aleph }}_1$의 역전된 순서화를 나타냅니다); 예를 들어, 긴 실수 직선에는 있지만 실수에는 없는 ${\mathrm{\aleph }}_1$의 순서-보존하는 삽입이 있습니다. 긴 실수 직선은 완비이고 지역적으로 아르키메데스인 가장 큰 순서화된 집합입니다. 앞의 두 예제와 마찬가지로, 이 집합은 더 이상 필드 또는 덧셈의 그룹도 아닙니다.
• 실수를 확장하는 순서화된 필드는 초실수(hyperreal number)와 초현실수(surreal number)입니다; 그것들의 둘 다는 무한소(infinitesimal)와 무한하게 큰 숫자를 포함하고 따라서 비-아르키메데스 순서화된 필드(non-Archimedean ordered field)입니다.
• 힐베르트 공간(Hilbert space) 위에 자기-인접 연산자(Self-adjoint operator) (예를 들어, 자기-인접 정사각 복소 행렬(matrices))은 여러 측면에서 실수를 일반화합니다: 그것들은 (비록 전체적으로 순서화는 아닐지라도) 순서화될 수 있으며, 그것들은 완비이고, 모든 그것들의 고윳값(eigenvalues)은 실수이고 그것들은 실수 결합 대수(associative algebra)를 형성합니다. 양의-한정(Positive-definite) 연산자는 양의 실수에 해당하고 정규 연산자(normal operator)는 복소수에 해당합니다.

External links

• "Real number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• The real numbers: Pythagoras to Stevin
• The real numbers: Stevin to Hilbert
• The real numbers: Attempts to understand
• What are the "real numbers," really?