(번역) Complex conjugate

수학(mathematics)에서, 복소수(complex number)의 복소수 켤레(complex conjugate)는 같은 실수(real) 부분과 크기는 같지만 부호(sign)는 반대인 허수(imaginary) 부분을 갖는 숫자입니다. 예를 들어, (만약 a와 b가 실수이면,) $a+bi$의 복소수 켤레는 $a-bi$입니다.

극 형식(polar form)에서, $r{e}^{i\phi }$의 켤레는 $r{e}^{-i\phi }$입니다. 이것은 오일러의 공식(Euler's formula)을 사용하여 보여질 수 있습니다.

복소수와 그의 켤레의 곱은 실수: $a^2+b^2$, 또는 극 좌표에서 $r^2$입니다.

복소수 켤레는 다항식(polynomials)의 근을 찾는 것에 대해 중요합니다. 복소 켤레 근 정리(complex conjugate root theorem)에 따르면, 만약 복소수가 실수 계수를 가진 하나의 변수에서 다항식 (예를 들어, 이차 방정식(quadratic equation) 또는 삼차 방정식(cubic equation))에 대한 근이면, 그의 켤레도 근입니다.

Notation

복소수 $z$의 복소수 켤레는 $\bar{z}$ 또는 $z^{\ast }$로 쓰입니다. 첫 번째 표기법, 괄선(vinculum)은 복소수 켤레의 일반화로 생각할 수 있는 행렬(matrix)의 켤레 전치(conjugate transpose)에 대해 표기법과 혼동을 피합니다. 두 번째는 물리학(physics)에서 선호되며, 여기서 칼표(dagger) (†)가 켤레 전치에 사용되지만, 막대-표기법은 순수 수학(pure mathematics)에서 보다 공통적입니다. 만약 복소수가 2×2 행렬로 표시되면, 표기법은 동일합니다. 일부 문헌에서, 이전에 알려진 숫자의 복소수 켤레는 "c.c."로 약칭됩니다. 예를 들어 $e^{i\phi }+\text{c.c.}$로 쓰인 것은 $e^{i\phi }+e^{-i\phi }$를 의미합니다.

Properties

다음 속성은, 달리 명시하지 않는 한, 모든 복소수 z와 w에 적용되고, z와 w를 형식 a + bi로 씀으로써 증명될 수 있습니다.

임의의 두 복소수 z, w에 대해:

켤레화는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈에 걸쳐 분배적(distributive)입니다.

$$$\begin{array}{rl}\overline{z+w}& =\bar{z}+\bar{w}\\ \overline{z-w}& =\bar{z}-\bar{w}\\ \overline{zw}& =\bar{z}\bar{w}\\ \overline{\left(\frac{z}{w}\right)}& =\frac{\bar{z}}{\bar{w}},\text{if }w\ne 0\end{array}$

실수는 켤레화의 유일한 고정된 점(fixed point)입니다. 복소수는 만약 그의 허수 부분이 영이면 복소수 켤레와 같습니다.

$$$\begin{array}{rl}\bar{z}& =z\iff z\in \mathbb{R}\end{array}$

모듈러스를 갖는 켤레화의 합성은 모듈러스 단독과 동등합니다.

$$$\begin{array}{rl}\left|\bar{z}\right|& =\left|z\right|\end{array}$

켤레화는 인볼루션(involution)입니다; 즉, 복소수 z의 켤레의 켤레는 z입니다.

$$$\begin{array}{rl}\overline{\stackrel{―}{z}}& =z\end{array}$

복소수와 그의 켤레의 곱은 숫자의 모듈러스의 제곱과 같습니다. 이것은 직교 좌표에서 주어진 복소수의 역수의 쉬운 계산을 허용합니다.

$$$\begin{array}{rl}z\bar{z}& ={\left|z\right|}^2\\ z^{-1}& =\frac{\bar{z}}{{\left|z\right|}^2},\mathrm{\forall }z\ne 0\end{array}$

켤레화는 정수 거듭-제곱에 대한 지수화, 지수 함수, 및 비-영 인수에 대해 자연 로그와 함께 합성 아래에서 교환적(commutative)입니다.

$$$\begin{array}{rl}\overline{z^n}& ={\left(\bar{z}\right)}^n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}\end{array}$

$$$\exp \left(\bar{z}\right)=\overline{\exp (z)}$

$$만약 $z$가 비-영이면 $\log \left(\bar{z}\right)=\overline{\log (z)}$

만약 $p$가 실수(real) 계수를 가진 다항식(polynomial)이고, $p(z)=0$이면, 마찬가지로 $p\left(\bar{z}\right)=0$입니다. 따라서, 실수 다항식의 비-실수 근은 복소수 켤레 쌍으로 발생합니다 (복소 켤레 근 정리(Complex conjugate root theorem)를 참조하십시오).

일반적으로, 만약 $\phi$가 실수에 대한 그의 억제가 실수-값인 정칙 함수(holomorphic function)이고, $\phi (z)$가 정의되면,

$$$\phi \left(\bar{z}\right)=\overline{\phi (z)}.$

$\mathbb{C}$에서 $\mathbb{C}$로의 맵 $\sigma (z)=\bar{z}$은, 만약 우리가 $\mathbb{C}$를 그 자체에 걸친 복소 벡터 공간(vector space)으로 고려하면, 위상동형 사상(homeomorphism)이고 (여기서 $\mathbb{C}$에 대한 위상은 표준 위상으로 취해집니다) 반-선형(antilinear)입니다. 비록 그것이 잘-행동된(well-behaved) 함수라고 보일지라도, 그것은 정칙(holomorphic)이 아닙니다; 그것은 방향을 뒤집는 반면에 정칙 함수는 방향을 지역적으로 유지합니다. 그것은 전단사(bijective)이고 산술 연산과 호환되고, 따라서 필드(field) 자기-동형(automorphism)입니다. 그것은 실수를 고정된 상태로 유지하기 때문에, 필드 확장(field extension) $\mathbb{C}/\mathbb{R}$의 갈루아 그룹(Galois group)의 원소입니다. 이 갈루아 그룹은 오직 두 원소: $\sigma$와 $\mathbb{C}$에 대한 항등원을 가집니다. 따라서 실수를 고정된 상태로 남기는 $\mathbb{C}$의 오직 두 필드 자기-동형은 항등 맵과 복소수 켤레입니다.

Use as a variable

한번 복소수 $z=x+yi$ 또는 $z=r{e}^{i\theta }$가 주어지면, 그의 켤레는 z-변수의 부분을 다시-생성하기에 충분합니다:

• 실수 부분: $x=\mathrm{Re}(z)={\displaystyle \frac{z+\bar{z}}{2}}$
• 허수 부분: $y=\mathrm{Im}(z)={\displaystyle \frac{z-\bar{z}}{2i}}$
• 모듈러스(Modulus) (또는 절댓값): $r=\left|z\right|=\sqrt{z\bar{z}}$
• 편각(Argument): $e^{i\theta }=e^{i\arg z}=\sqrt{{\displaystyle \frac{z}{\bar{z}}}}$, 따라서 $\theta =\arg z={\displaystyle \frac{1}{i}}\ln \sqrt{\frac{z}{\bar{z}}}={\displaystyle \frac{\ln z-\ln \bar{z}}{2i}}$

게다가, $\bar{z}$는 평면에서 직선을 지정하기 위해 사용될 수 있습니다: 집합

$$$\{z\mid z\bar{r}+\bar{z}r=0\}$

은 원점을 통과하고 $\bar{r}$에 수직인 직선인데 왜냐하면 $z\cdot \bar{r}$의 실수 부분은, $z$와 $\bar{r}$ 사이의 각도의 코사인이 영일 때, 오직 영입니다. 비슷하게, 고정된 복소수 단위 u = exp(b i)에 대해, 방정식

$$${\displaystyle \frac{z-z_0}{\bar{z}-\overline{z_0}}=u^2}$

은 $z_0$을 통과하고 0과 u를 통과하는 직선에 평행한 직선을 결정합니다.

변수로 z의 켤레의 이들 사용은 프랭크 몰리(Frank Morley)와 그의 아들 프랭크 비거 몰리와 함께 쓴 책 Inversive Geometry (1933)에서 묘사됩니다.

Generalizations

다른 실수 대수, 이중 숫자(dual numbers), 및 분할-복소수(split-complex number)는 복소 켤레를 사용하여 역시 분석됩니다.

복소수의 행렬에 대해 $\overline{\mathbf{AB}}=\left(\bar{\mathbf{A}}\right)\left(\bar{\mathbf{B}}\right)$이며, 여기서 $\bar{\mathbf{A}}$는 $\mathbf{A}$의 원소별 켤레화를 나타냅니다. 이것을 속성 ${\left(\mathbf{AB}\right)}^{\ast }={\mathbf{B}}^{\ast }{\mathbf{A}}^{\ast }$과 대조되며, 여기서 ${\mathbf{A}}^{\ast }$는 $\mathbf{A}$의 켤레 전치(conjugate transpose)를 나타냅니다.

복소수 행렬(matrices)의 켤레 전치(conjugate transpose) (또는 인접)를 취하는 것은 복소수 켤레를 일반화합니다. 훨씬 더 일반적인 것은 (무한-차원이 가능한) 복소 힐베르트 공간(Hilbert space) 위에 연산자에 대해 인접 연산자(adjoint operator)의 개념입니다. 이것 모두는 C*-대수(C*-algebra)의 *-연산에 의해 포함됩니다.

우리는 쿼터니언(quaternion) 및 분할-쿼터니언(split-quaternion)에 대해 켤레화를 역시 정의할 수 있습니다: $a+bi+cj+dk$의 켤레는 $a-bi-cj-dk$입니다.

모든 이들 일반화는 만약 인수가 반전되면 오직 곱셈적입니다:

$$${\left(zw\right)}^{\ast }=w^{\ast }{z}^{\ast }.$

평면 실수 대수의 곱셈은 교환적(commutative)이므로, 이 반전은 그곳에서 필요하지 않습니다.

복소수(complex number)에 걸쳐 벡터 공간(vector spaces) $V$에 대해 켤레화의 추상 개념이 역시 있습니다. 이 문맥에서, 다음을 만족시키는

1. ${\phi }^2={\mathrm{id}}_V$, 여기서 ${\phi }^2=\phi \circ \phi$와 ${\mathrm{id}}_V$는 $V$ 위의 항등 맵(identity map)입니다,
2. 모든 $v\in V$, $z\in \mathbb{C}$에 대해, $\phi (zv)=\bar{z}\phi (v)$, 및
3. 모든 $v_1\in V$, $v_2\in V$에 대해, $\phi (v_1+v_2)=\phi \left(v_1\right)+\phi \left(v_2\right)$,

임의의 반-선형 맵(antilinear map) $\phi :V\to V$은 복소 켤레화, 또는 실수 구조(real structure)라고 불립니다. 인볼루션 $\phi$은 반-선형(antilinear)이며, 그것은 절대 $V$ 위의 항등 맵일 수 없습니다.

물론, $\phi$는, 만약 우리가 모든 각 복소 공간 V가 같은 벡터(vector)를 원래 공간에서 취하고 스칼라를 실수로 제한함으로써 얻어진 실수 형식을 가짐을 주목하면, $V$의 $\mathbb{R}$-선형 변환입니다. 위의 속성은 복소 벡터 공간 $V$ 위의 실수 구조(real structure)를 실제로 정의합니다.

이 개념의 한 예제는 위에 정의된 복소 행렬의 켤레 전치 연산입니다. 그것은 일반적인 복소 벡터 공간 위에 복소 켤레화의 정식의(canonical) 개념이 없음을 주목해야 합니다.