수학(mathematics)에서, 복소수(complex number)의 복소수 켤레(complex conjugate)는 같은 실수(real) 부분과 크기는 같지만 부호(sign)는 반대인 허수(imaginary) 부분을 갖는 숫자입니다. 예를 들어, (만약 a와 b가 실수이면,) \(a + bi\)의 복소수 켤레는 \(a - bi\)입니다.
극 형식(polar form)에서, \(r e^{i \varphi}\)의 켤레는 \(r e^{-i \varphi}\)입니다. 이것은 오일러의 공식(Euler's formula)을 사용하여 보여질 수 있습니다.
복소수와 그의 켤레의 곱은 실수: \(a^2 + b^2\), 또는 극 좌표에서 \(r^2\)입니다.
복소수 켤레는 다항식(polynomials)의 근을 찾는 것에 대해 중요합니다. 복소 켤레 근 정리(complex conjugate root theorem)에 따르면, 만약 복소수가 실수 계수를 가진 하나의 변수에서 다항식 (예를 들어, 이차 방정식(quadratic equation) 또는 삼차 방정식(cubic equation))에 대한 근이면, 그의 켤레도 근입니다.
Notation
복소수 \(z\)의 복소수 켤레는 \(\overline z\) 또는 \(z^*\!\)로 쓰입니다. 첫 번째 표기법, 괄선(vinculum)은 복소수 켤레의 일반화로 생각할 수 있는 행렬(matrix)의 켤레 전치(conjugate transpose)에 대해 표기법과 혼동을 피합니다. 두 번째는 물리학(physics)에서 선호되며, 여기서 칼표(dagger) (†)가 켤레 전치에 사용되지만, 막대-표기법은 순수 수학(pure mathematics)에서 보다 공통적입니다. 만약 복소수가 2×2 행렬로 표시되면, 표기법은 동일합니다. 일부 문헌에서, 이전에 알려진 숫자의 복소수 켤레는 "c.c."로 약칭됩니다. 예를 들어 \(e^{i \varphi}+\text{c.c.}\)로 쓰인 것은 \(e^{i \varphi}+e^{-i \varphi}\)를 의미합니다.
Properties
다음 속성은, 달리 명시하지 않는 한, 모든 복소수 z와 w에 적용되고, z와 w를 형식 a + bi로 씀으로써 증명될 수 있습니다.
임의의 두 복소수 z, w에 대해:
켤레화는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈에 걸쳐 분배적(distributive)입니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
\overline{z + w} &= \overline{z} + \overline{w} \\
\overline{z - w} &= \overline{z} - \overline{w} \\
\overline{zw} &= \overline{z} \; \overline{w} \\
\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} &= \frac{\overline{z}}{\overline{w}},\quad \text{if } w \ne 0 \\
\end{align}\)
실수는 켤레화의 유일한 고정된 점(fixed point)입니다. 복소수는 만약 그의 허수 부분이 영이면 복소수 켤레와 같습니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
\overline{z} &= z ~\Leftrightarrow~ z \in \mathbb{R} \\
\end{align}\)
모듈러스를 갖는 켤레화의 합성은 모듈러스 단독과 동등합니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
\left| \overline{z} \right| &= \left| z \right| \\
\end{align}\)
켤레화는 인볼루션(involution)입니다; 즉, 복소수 z의 켤레의 켤레는 z입니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
\overline{\overline{z}} &= z \\
\end{align}\)
복소수와 그의 켤레의 곱은 숫자의 모듈러스의 제곱과 같습니다. 이것은 직교 좌표에서 주어진 복소수의 역수의 쉬운 계산을 허용합니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
z\overline{z} &= {\left| z \right|}^2\\
z^{-1} &= \frac{\overline{z}}{{\left| z \right|}^2},\quad \forall z \neq 0
\end{align}\)
켤레화는 정수 거듭-제곱에 대한 지수화, 지수 함수, 및 비-영 인수에 대해 자연 로그와 함께 합성 아래에서 교환적(commutative)입니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
\overline{z^n} &= \left(\overline{z}\right)^n,\quad \forall n \in \mathbb{Z} \\
\end{align}\)
\(\quad\)\(\exp\left(\overline{z}\right) = \overline{\exp(z)}\,\!\)
\(\quad\)만약 \(z\)가 비-영이면 \(\log\left(\overline{z}\right) = \overline{\log(z)}\,\!\)
만약 \(p\)가 실수(real) 계수를 가진 다항식(polynomial)이고, \(p(z) = 0\)이면, 마찬가지로 \(p\left(\overline{z}\right) = 0\)입니다. 따라서, 실수 다항식의 비-실수 근은 복소수 켤레 쌍으로 발생합니다 (복소 켤레 근 정리(Complex conjugate root theorem)를 참조하십시오).
일반적으로, 만약 \(\varphi\,\)가 실수에 대한 그의 억제가 실수-값인 정칙 함수(holomorphic function)이고, \(\varphi(z)\,\)가 정의되면,
\(\quad\)\(\varphi\left(\overline{z}\right) = \overline{\varphi(z)}.\,\!\)
\(\mathbb{C}\,\)에서 \(\mathbb{C}\,\)로의 맵 \(\sigma(z) = \overline{z}\,\)은, 만약 우리가 \(\mathbb{C}\,\)를 그 자체에 걸친 복소 벡터 공간(vector space)으로 고려하면, 위상동형 사상(homeomorphism)이고 (여기서 \(\mathbb{C}\,\)에 대한 위상은 표준 위상으로 취해집니다) 반-선형(antilinear)입니다. 비록 그것이 잘-행동된(well-behaved) 함수라고 보일지라도, 그것은 정칙(holomorphic)이 아닙니다; 그것은 방향을 뒤집는 반면에 정칙 함수는 방향을 지역적으로 유지합니다. 그것은 전단사(bijective)이고 산술 연산과 호환되고, 따라서 필드(field) 자기-동형(automorphism)입니다. 그것은 실수를 고정된 상태로 유지하기 때문에, 필드 확장(field extension) \(\mathbb{C} / \mathbb{R}\)의 갈루아 그룹(Galois group)의 원소입니다. 이 갈루아 그룹은 오직 두 원소: \(\sigma\,\)와 \(\mathbb{C}\,\)에 대한 항등원을 가집니다. 따라서 실수를 고정된 상태로 남기는 \(\mathbb{C}\)의 오직 두 필드 자기-동형은 항등 맵과 복소수 켤레입니다.
Use as a variable
한번 복소수 \(z = x + yi\) 또는 \(z = re^{i\theta}\)가 주어지면, 그의 켤레는 z-변수의 부분을 다시-생성하기에 충분합니다:
- 실수 부분: \(x = \operatorname{Re}(z) = \dfrac{z + \overline{z}}{2}\)
- 허수 부분: \(y = \operatorname{Im}(z) = \dfrac{z - \overline{z}}{2i}\)
- 모듈러스(Modulus) (또는 절댓값): \(r= \left| z \right| = \sqrt{z\overline{z}}\)
- 편각(Argument): \(e^{i\theta} = e^{i\arg z} = \sqrt{\dfrac{z}{\overline z}}\), 따라서 \(\theta = \arg z = \dfrac{1}{i} \ln\sqrt{\frac{z}{\overline{z}}} = \dfrac{\ln z - \ln \overline{z}}{2i}\)
게다가, \(\overline{z}\)는 평면에서 직선을 지정하기 위해 사용될 수 있습니다: 집합
\(\quad\)\(\left\{z \mid z \overline{r} + \overline{z} r = 0 \right\}\)
은 원점을 통과하고 \(\overline{r}\)에 수직인 직선인데 왜냐하면 \(z\cdot\overline{r}\)의 실수 부분은, \(z\)와 \(\overline{r}\) 사이의 각도의 코사인이 영일 때, 오직 영입니다. 비슷하게, 고정된 복소수 단위 u = exp(b i)에 대해, 방정식
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{z - z_0}{\overline{z} - \overline{z_0}} = u^2\)
은 \(z_0\)을 통과하고 0과 u를 통과하는 직선에 평행한 직선을 결정합니다.
변수로 z의 켤레의 이들 사용은 프랭크 몰리(Frank Morley)와 그의 아들 프랭크 비거 몰리와 함께 쓴 책 Inversive Geometry (1933)에서 묘사됩니다.
Generalizations
다른 실수 대수, 이중 숫자(dual numbers), 및 분할-복소수(split-complex number)는 복소 켤레를 사용하여 역시 분석됩니다.
복소수의 행렬에 대해 \(\overline{\mathbf{AB}} = \left(\overline{\mathbf{A}}\right) \left(\overline{\mathbf{B}}\right)\)이며, 여기서 \(\overline{\mathbf{A}}\)는 \(\mathbf{A}\)의 원소별 켤레화를 나타냅니다. 이것을 속성 \(\left(\mathbf{AB}\right)^*=\mathbf{B}^* \mathbf{A}^*\)과 대조되며, 여기서 \(\mathbf{A}^*\)는 \(\mathbf{A}\)의 켤레 전치(conjugate transpose)를 나타냅니다.
복소수 행렬(matrices)의 켤레 전치(conjugate transpose) (또는 인접)를 취하는 것은 복소수 켤레를 일반화합니다. 훨씬 더 일반적인 것은 (무한-차원이 가능한) 복소 힐베르트 공간(Hilbert space) 위에 연산자에 대해 인접 연산자(adjoint operator)의 개념입니다. 이것 모두는 C*-대수(C*-algebra)의 *-연산에 의해 포함됩니다.
우리는 쿼터니언(quaternion) 및 분할-쿼터니언(split-quaternion)에 대해 켤레화를 역시 정의할 수 있습니다: \(a + bi + cj + dk\)의 켤레는 \(a - bi - cj - dk\)입니다.
모든 이들 일반화는 만약 인수가 반전되면 오직 곱셈적입니다:
\(\quad\)\({\left(zw\right)}^* = w^* z^*.\)
평면 실수 대수의 곱셈은 교환적(commutative)이므로, 이 반전은 그곳에서 필요하지 않습니다.
복소수(complex number)에 걸쳐 벡터 공간(vector spaces) \(V\)에 대해 켤레화의 추상 개념이 역시 있습니다. 이 문맥에서, 다음을 만족시키는
- \(\varphi^2 = \operatorname{id}_V\,\), 여기서 \(\varphi^2 = \varphi \circ \varphi\)와 \(\operatorname{id}_V\,\)는 \(V\,\) 위의 항등 맵(identity map)입니다,
- 모든 \(v\in V\,\), \(z\in\mathbb{C}\,\)에 대해, \(\varphi(zv) = \overline{z} \varphi(v)\), 및
- 모든 \(v_1 \in V\,\), \(v_2 \in V\,\)에 대해, \(\varphi\left(v_1 + v_2\right) = \varphi\left(v_1\right) + \varphi\left(v_2\right)\,\),
임의의 반-선형 맵(antilinear map) \(\varphi: V \rightarrow V\,\)은 복소 켤레화, 또는 실수 구조(real structure)라고 불립니다. 인볼루션 \(\varphi\)은 반-선형(antilinear)이며, 그것은 절대 \(V\) 위의 항등 맵일 수 없습니다.
물론, \(\varphi\)는, 만약 우리가 모든 각 복소 공간 V가 같은 벡터(vector)를 원래 공간에서 취하고 스칼라를 실수로 제한함으로써 얻어진 실수 형식을 가짐을 주목하면, \(V\)의 \(\mathbb{R}\)-선형 변환입니다. 위의 속성은 복소 벡터 공간 \(V\) 위의 실수 구조(real structure)를 실제로 정의합니다.
이 개념의 한 예제는 위에 정의된 복소 행렬의 켤레 전치 연산입니다. 그것은 일반적인 복소 벡터 공간 위에 복소 켤레화의 정식의(canonical) 개념이 없음을 주목해야 합니다.
