수학에서, 합에 대한 곱의 전개(expansion)는 곱셈이 덧셈에 대해 분배된다(distributes)는 사실을 사용함으로써 곱들의 합으로써 그것을 표현합니다. 다항식 표현의 확장(전개)은 두 개의 다른 하위 표현식을 곱하는 하위 표현식을 반복적으로 대체함으로써 얻어질 수 있습니다; 적어도 이 표현식 중에 하나는 덧셈이며, 곱의 등가 합에 의해, 표현식이 (반복된) 곱의 합이 될 때까지 계속됩니다. 확장(전개)하는 동안에, 동류항의 그룹화 또는 항의 제거와 같은 단순화가 적용될 수도 있습니다. 곱셈 대신에, 확장 단계는 이항 공식(binomial formula)으로부터 얻어진 동등한 표현식에 의해 항의 합계의 거듭제곱을 대체하는 것을 역시 포함할 수 있습니다; 이것은 만약 지수가 반복된 곱셈으로써 취급되고, 반복적으로 확장되면, 정리가 끝난 단축된 형태입니다. 항이 같은 기호의 곱을 포함했을 때 최종 결과에 지수를 다시 계산하는 것이 일반적입니다.
잘 알려진 다항식 확장의 간단한 예제는 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle (x+y)^2=x^2+2xy+y^2\)
\(\quad\displaystyle (x+y)(x-y)=x^2-y^2\)
여기서는 왼쪽 변을 확장해서 우변의 결과를 얻습니다. 보다 일반적인 단일-단계 확장은 합계 중 하나의 항에 다른 항의 항을 곱하는 모든 곱을 우변에 적습니다:
\(\quad\displaystyle (a+b+c+d)(x+y+z)=ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz+dx+dy+dz\)
다중 중첩 재-작성 단계를 포함하는 확장은, 그것이 정의한 (확장된) 다항식에 의해 호너 스키마(Horner scheme)로 작업할 수 있습니다, 예를 들어
\(\quad\displaystyle 1+x(-3+x(4+x(0+x(-12+x\cdot 2))))=1-3x+4x^2-12x^4+2x^5\).
확장된 다항식을 곱으로써 쓰려고 시도하는 반대 과정은 다항식 인수 분해라고 불립니다.
Expansion of a polynomial written in factored form
두 인수를 곱하기 위해, 첫 번째 인수의 각 항은 나머지 다른 인수의 각 항에 곱해져야 합니다. 만약 인수 둘 다가 이항식(binomial)이면, "First Outer Inner Last"를 의미하는 FOIL 규칙(FOIL rule)이 사용되며, 함께 곱해지는 항들을 참조합니다. 예를 들어, 다음을 전개하면
\(\quad\displaystyle (x+2)(2x-5)\,\)
다음을 산출합니다:
\(\quad\displaystyle 2x^2-5x+4x-10 = 2x^2-x-10.\)
Expansion of \((x+y)^n\)
\(\displaystyle (x+y)^n\)를 전개할 때, 특수한 관계가 x의 내림차순 거듭제곱과 y의 오름차순 거듭제곱의 순서에서 쓰일 때 항의 계수 사이에 존재합니다. 그 계수는 파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)의 (n + 1)번째 행에서 숫자일 것입니다.
예를 들어, \(\displaystyle (x+y)^6\)를 전개할 때, 다음이 얻습니다:
\(\quad\displaystyle {\color{red}1}x^6+{\color{red}6}x^5y+{\color{red}{15}}x^4y^2+{\color{red}{20}}x^3y^3+{\color{red}{15}}x^2y^4+{\color{red}{6}}xy^5+{\color{red}1}y^6 \,\)
See also
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