대수학에서, 다항식 나머지 정리(polynomial remainder theorem) 또는 (에티엔 베주(Étienne Bézout)의 이름을 따서 명명된) 작은 베주의 정리(little Bézout's theorem)는 다항식의 유클리드 나눗셈의 응용입니다. 그것은 선형 다항식 \(\displaystyle x-r\)에 의한 [[polynomial|다항식]] \(\displaystyle f(x)\)의 나눗셈의 나머지는 \(\displaystyle f(r)\)과 같음을 말합니다. 특히, \(\displaystyle x-r\)은 \(\displaystyle f(x)\)의 약수인 것과 인수 정리(factor theorem)의 속성으로 알려진 \(\displaystyle f(r)=0\)인 것과는 필요충분(if and only if, iff) 조건입니다.
Examples
Example 1
\(\displaystyle f(x) = x^3 - 12x^2 - 42\)라고 놓습니다. \(\displaystyle f(x)\)를 \(\displaystyle (x-3)\)으로 나눈 다항식의 나눗셈은 몫 \(\displaystyle x^2 - 9x - 27\)과 나머지 \(\displaystyle -123\)를 제공합니다. 따라서, \(\displaystyle f(3)=-123\)입니다.
Example 2
다항식 나머지 정리는, 다음의 대수적 조작을 사용함으로써, 임의의 이차 다항식 \(\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c\)에 대해 성립하는 것을 보입니다:
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
\frac{f(x)}{{x - r}} &= \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x - r}} \\
&= \frac{{a{x^2} - arx + arx + bx + c}}{{x - r}} \\
&= \frac{{ax(x - r) + (b + ar)x + c}}{{x - r}} \\
&= ax + \frac{{(b + ar)(x - r) + c + r(b + ar)}}{{x - r}} \\
&= ax + b + ar + \frac{{c + r(b + ar)}}{{x - r}} \\
&= ax + b + ar + \frac{{a{r^2} + br + c}}{{x - r}}
\end{align}\)
양쪽 변에 (x − r)를 곱함으로써 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c = (ax + b + ar)(x - r) + {a{r^2} + br + c}\).
\(\displaystyle R = ar^2 + br + c\)는 나머지이기 때문에, 우리는 실제로 \(\displaystyle f(r) = R\)임을 보였습니다.
Proof
다항식 나머지 정리는 유클리드 나눗셈(Euclidean division)의 정리를 따르는데, 유클리드 나눗셈은 주어진 두 다항식 f(x) (나누어지는 식) 그리고 g(x) (나누는 식)은 다음을 만족하는 몫 Q(x)와 나머지 R(x)가 존재 (그리고 유일성)함을 주장합니다.
\(\quad\displaystyle f(x)=Q(x)g(x) + R(x)\quad \text{and}\quad R(x) = 0 \ \text{ or } \deg(R)<\deg(g).\)
만약 나누는 식이 \(\displaystyle g(x) = x-r\)이면, R(x) = 0 또는 그의 차수는 영입니다; 두 경우 모두에서, R(x)는 상수이고 x에 독립적입니다; 즉,
\(\quad\displaystyle f(x)=Q(x)(x-r) + R.\)
이 공식에서 \(\displaystyle x=r\)을 대입하면,
\(\quad\displaystyle f(r)=R.\)
어떤 사람들에게 보다 기초적으로 보일 수 있는, 약간 다른 증명은 \(\displaystyle f(x)-f(r)\)이 형태 \(\displaystyle x^k-r^k\)의 항들의 선형 조합(linear combination)인 것의 관찰로 시작하며, 그것의 각각은 \(\displaystyle x-r\)에 의해 나누어질 수 있는데, 왜냐하면 다음을 만족합니다:
\(\quad\displaystyle x^k-r^k=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots+xr^{k-2}+r^{k-1}).\)
Applications
다항식 나머지 정리는 나머지, \(\displaystyle R\)을 계산하여 \(\displaystyle f(r)\)을 평가하는 데 사용될 수 있습니다. 비록 다항식 긴 나눗셈(polynomial long division)이 함수(function) 자체를 평가하는 것보다 어려울지라도, 조립 제법(synthetic division)은 계산이 더 쉽습니다. 따라서, 함수는 조립 제법과 다항식 나머지 정리를 사용하여 보다 "저렴하게" 평가될 수 있습니다.
인수 정리(factor theorem)는 나머지 정리의 또 다른 응용입니다: 만약 나머지가 영이면, 선형의 나누는 식은 인수입니다. 인수 정리의 반복된 적용은 다항식을 인수분해하기 위해 사용될 수 있습니다.
References
- Piotr Rudnicki (2004). "Little Bézout Theorem (Factor Theorem)" (PDF). Formalized Mathematics. 12 (1): 49–58.
- Larson, Ron (2014), College Algebra, Cengage Learning
- Larson, Ron (2011), Precalculus with Limits, Cengage Learning
