수학(mathematics)에서, 조각별-정의된 함수(piecewise-defined function, 역시 조각별 함수(piecewise function), 하이브리드-함수(hybrid-function), 또는 클래스에 의한 정의(definition by cases)라고 불림)는 여러 부분-함수로 정의되는 함수(function)이며, 여기서 각 부분-함수는 도메인에서 다른에 적용됩니다. 조각별 정의는 실제로 함수 자체의 특성이 아닌 함수를 표현하는 방법입니다.
구별되지만, 관련된 개념은 도메인이 속성이 유지하는 구간으로 나눌 수 있을 때 사용된, 함수에 대해 조각별 보유하는 속성의 개념입니다. 위의 개념과 달리, 이것은 실제로 함수 자체의 속성입니다. 조각별 선형 함수 (역시 연속적임)가 예제로 묘사됩니다.
Notation and interpretation
조각별 함수는 공통 함수형 표기법(functional notation)을 사용하여 정의될 수 있으며, 여기서 함수의 몸체는 함수와 관련된 부분-도메인의 배열입니다. 이들 부분-도메인은 함께 전체 도메인(domain)을 덮어야 합니다; 종종 역시 그것들이 조각별 서로소임, 즉, 도메인의 분할을 형성함이 요구됩니다. 전체 함수에 대해 "조각별"이라고 불리기 위해, 부분-도메인의 보통 구간임이 요구됩니다 (일부는 퇴화된 구간, 즉 단일 점 또는 비-경계진 구간일 수 있습니다). 경계진 구간에 대해, 부분도메인의 숫자가 유한임이 요구되며, 비-경계진 구간에 대해, 그것은 종종 오직 지역적 유한임이 요구됩니다. 예를 들어, 절댓값(absolute value) 함수의 조각별 정의를 생각해 보십시오:
\(\quad\displaystyle |x| = \begin{cases}
-x, & \text{if } x < 0 \\
+x, & \text{if } x \ge 0 .
\end{cases}
\)
영보다 작은 x의 모든 값에 대해, 첫 번째 함수 (−x)가 사용되며, 이것은 입력 값의 부호를 부정하며, 음의 숫자를 양수로 만듭니다. 영보다 크거나 같은 x의 모든 값에 대해, 두 번째 함수 (x)가 사용되며, 이것은 입력 자체를 자명하게 평가됩니다.
다음 테이블은 x의 특정 값에서 절댓값 함수를 상세히 기록합니다:
여기서, 주어진 입력 값에서 조각별 함수를 평가하기 위해, 적절한 부분-도메인이 올바른 함수를 선택하고–올바른 출력 값을 생성하기 위해 선택되어야 함에 주목하십시오.
Continuity and differentiability of piecewise functions
조각별 함수는 만약 다음 조건이 충족되면 그것의 도메인에서 주어진 구간 위에 연속(continuous)입니다:
- 그것의 구성 함수는 해당하는 구간 (부분-도메인) 위에 연속입니다.
- 해당 구간 내에서 부분-도메인의 각 끝점에서 불연속성이 없습니다.
그림에 표시된 함수는, 예를 들어, 그것의 부분-도메인 전체에서 조각별-연속이지만, 전체 도메인 위에 연속이 아닌데, 왜냐하면 그것은 \(\displaystyle x_0\)에 점프 불연속성을 포함하기 때문입니다. 채워진 원은 오른쪽 함수 조각의 값이 이 위치에서 사용됨을 나타냅니다.
조각별 함수에 대해 그것의 도메인에서 주어진 구간 위에 미분-가능이려면, 다음 조건이 위의 연속성에 대한 조건 외에도 충족되어야 합니다:
- 그것의 구성 함수는 해당하는 열린 구간 위에 미분-가능입니다.
- 한-쪽 도함수는 모든 구간 끝점에서 존재합니다.
- 둘의 부분-구간이 닿는 점에서, 둘의 이웃하는 부분-구간의 대응하는 한-쪽 도함수가 일치합니다.
Applications
응용 수학적 해석학에서, 조각별 함수는 많은 인간 시각 시스템의 모델(models of the human visual system)과 일치하는 것으로 발견되어 왔으며, 여기서 이미지는 가장자리에 의해 분리된 매끄러운 영역으로 구성된 첫 번째 단계에서 인식됩니다. 특히, 시얼렛(shearlet)은 2D 및 3D에서 이 모델 클래스의 희소 근사를 제공하기 위한 표현 시스템으로 사용되어 왔습니다.
Common examples
- 조각마다 선형 함수(Piecewise linear function), 선분으로 구성된 조각별 함수
- 부러진 거듭제곱 법칙(Broken power law), 거듭제곱 법칙으로 구성된 조각별 함수
- 스플라인(Spline), 다항 함수로 구성된 조각별 함수, 다항식 조각이 연결되는 위치에서 높은 차수의 매끄러움을 보유합니다.
- PDIFF
- \(\displaystyle f(x)= \begin{cases}
\exp\left( -\frac{1}{1 - x^2}\right), & x \in (-1,1) \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}\) 일부 다른 공통 혹 함수(Bump function). 이것들은 무한하게 미분-가능이지만, 해석성은 오직 조각별로 유지됩니다. - 실수에서 연속 함수는 경계지거나 균등하게 연속일 필요는 없지만, 항상 조각별 경계지고 조각별 균등하게 연속입니다.
References
- "Piecewise Functions". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-24.
- Weisstein, Eric W. "Piecewise Function". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-24.
- "Piecewise functions". brilliant.org. Retrieved 2020-09-29.
- "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault. 2020-03-01. Retrieved 2020-08-24.
- A feasible weaker requirement is that all definitions agree on intersecting subdomains.
- Kutyniok, Gitta; Labate, Demetrio (2012). "Introduction to shearlets" (PDF). Shearlets. Birkhäuser: 1–38.
