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(번역) Pi

by 다움위키 2024. 3. 17.
Original article: w:Pi

 

숫자 π (/paɪ/, "pi"로 씀)는 수학적 상수(mathematical constant)이며, 3.14159와 근사적으로 같습니다. 그것은 원의 지름(diameter)에 대한 원(circle)의 둘레(circumference)의 비율(ratio)로 유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서 정의되었고, 역시 다양한 등등한 정의를 가집니다. 그것은 수학(mathematics)과 물리학(physics)의 모든 영역에서 많은 공식에 나타납니다. 원의 둘레와 그것의 지름의 비율을 나타내기 위한 그리스 문자 π의 가장 이른 알려진 사용은 1706년에 웨일스의 수학자 윌리엄 존스(William Jones)에 의한 것이었습니다. 그것은 역시 아르키메데스의 상수(Archimedes’ constant)로 참조됩니다.

무리수(irrational number)로서, π는 비록 \(\tfrac{22}{7}\)와 같은 분수가 그것을 근사(approximate)하기 위해 공통적으로 사용될지라도 공통 분수(common fraction)로 표현될 수 없습니다. 동등하게, 그것의 십진 표현(decimal representation)은 결코 끝나지 않고 결코 영구적인 반복 패턴으로 정착되지 않습니다. 그것의 십진 (또는 다른 밑수(other base)) 자릿수가 무작위로 분포(randomly distributed)되어 나타나고, 통계적인 무작위성의 특정 종류(specific kind of statistical randomness)를 만족하기 위해 추측(conjecture)됩니다.

π는 초월적 숫자(transcendental number)라고 알려져 있습니다: 그것은 유리수(rational) 계수(coefficient)를 갖는 임의의 다항식(polynomial)의 근(root)이 아닙니다. π의 초월성은 컴퍼스와 직선자(compass and straightedge)로 원을 정사각형화(squaring the circle)의 고대의 도전을 풀기란 불가능하다는 것을 의미합니다.

이집트인(Egyptians)과 바빌로니안(Babylonians)을 포함하는 고대 문명(Ancient civilizations)은 실용적인 계산에 대해 π의 꽤 정확한 근사를 요구했습니다. 기원전 250년경, 그리스 수학자(Greek mathematician) 아르키메데스(Archimedes)는 임의적인 정확도를 갖는 π를 근사하기 위한 알고리듬을 만들었습니다. 기원후 5세기에, 중국 수학(Chinese mathematics)은 π를 일곱 자릿수로 근사화했었고, 반면에 인도 수학(Indian mathematics)은 다섯-자릿수 근사를 만들었으며, 둘 다는 기하학적 기법을 사용합니다. 무한 급수(infinite series)를 기반을 둔, π에 대해 첫 번째 계산 공식은 마드하바–라이프니츠 급수(Madhava–Leibniz series)가 1530년경 쓰인 Yuktibhāṣā에서 문서화된 천문과 수학의 케랄라 학교(Kerala School of Astronomy and Mathematics)에 의해 발견되었을 때 천년 후에 발견되었습니다.

미적분(calculus)의 발명은 곧 모든 실용적인 과학 계산에 충분한 π의 수백 자릿수의 계산으로 이어졌습니다. 그럼에도 불구하고, 20세기와 21세기에서, 수학자와 컴퓨터 과학자들(computer scientists)은 증가하는 계산 능력과 결합될 때 π의 십진 표현을 수조 자릿수로 확장하는 새로운 접근 방식을 추구해 왔습니다. 이들 계산에 대해 주된 동기는 수치적 급수를 계산하기 위한 효율적인 알고리듬을 개발하는 테스트 경우와, 마찬가지로 기록을 깨기 위한 탐구입니다. 관련된 광범위한 계산은 역시 슈퍼컴퓨터(supercomputer)와 고-정밀 곱셈 알고리듬(algorithms)을 테스트하기 위해 사용되어 왔습니다.

그것의 가장 기본 정의가 원과 관련되기 때문에, π는 삼각법(trigonometry)과 기하학(geometry), 특히 원, 타원, 및 구에 관한 그것들에서 많은 공식에서 발견됩니다. 보다 현대적인 수학적 해석학(mathematical analysis)에서, 그것은 기하학에 대한 임의의 참조없이 고윳값(eigenvalue) 또는 주기(period)로써, 실수(real number) 시스템의 스펙트럼 속성(spectral property)을 사용하여 대신 정의됩니다. 그것은 따라서 물리학(physics)의 거의 모든 영역뿐만 아니라, 숫자 이론(number theory)과 통계(statistics)와 같은 원의 기하학과 관련이 거의 없는 수학과 과학의 분야에서 나타납니다. π의 편재성(ubiquity)은 과학 공동체의 내외부 모두에서 가장 널리 알려진 수학 상수 중 하나로 만듭니다. π에 집중된 여러 책이 출판되어 왔고, π의 자릿수의 기록-설정 계산은 종종 뉴스 헤드라인을 초래합니다.

Fundamentals

Name

원의 둘레와 그것의 지름의 비율을 나타내기 위해 수학자들에 의해 사용된 기호는 소문자 그리스 문자 π이며, 때때로 파이(pi)로 표기되고, 둘레를 의미하는 그리스 단어 perimetros의 첫 글자에서 파생됩니다. 영어에서, π는 "pie" (/paɪ/ PY)로 발음됩니다. 수학적 사용에서, 소문자 π는 Σ가 합계(summation)를 나타내는 것과 유사하게 수열의 곱(product of a sequence)을 나타내는 대문자이자 확대된 짝 Π와 구별됩니다.

기호 π의 선택은 기호 π의 채택 섹션에서 논의됩니다.

Definition

π는 공통적으로 그것의 지름(diameter) d에 대한 원(circle)의 둘레(circumference) C의 비율(ratio)로 정의됩니다:

\(\quad\displaystyle  \pi = \frac{C}{d}.\)

비율 C/d는 원의 크기에 상관없이 상수입니다. 예를 들어, 만약 원이 또 다른 원의 두 배 지름을 가지면, 그것이 두 배의 둘레를 가질 것이며, 비율 C/d을 보존합니다. π의 이러한 정의는 암시적으로 평면 (유클리드) 기하학을 사용합니다; 비록 원의 개념이 임의의 곡선 (비-유클리드) 기하학으로 확장될 수 있을지라도, 이들 새로운 원은 더 이상 공식 π = C/d를 만족시키지 않습니다.

여기서, 원의 원주는 원 둘레(perimeter)의 호 길이(arc length), 미적분학(calculus)에서 개념–극한(limits)을 사용하여 기하학과 독립적으로 공식적으로 정의할 수 있는 양입니다. 예를 들어, 우리는 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)에서 방정식 \(x^2+y^2=1\)으로 주어진, 단위 원의 위쪽 절반의 호 길이를 적분(integral)으로 직접 계산될 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle \pi = \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.\)

이와 같은 적분은 1841년에 그것을 직접 적분으로 정의했던 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)에 의해 π의 정의로 채택되었습니다.

Remmert 2012가 설명하는 것처럼, 전형적으로 미분 미적분(differential calculus)은 대학 커리큘럼에서 적분 미적분에 선행하므로, 적분에 의존하지 않는 π의 정의를 갖는 것이 바람직하기 때문에 적분은 더 이상 첫 번째 해석적 정의에서 공통적으로 사용되지 않습니다. 리처드 발처(Richard Baltzer)에 기인하고 에드문트 란다우(Edmund Landau)에 의해 대중화된 그러한 정의 중 하나는 다음과 같습니다: π는 코사인(cosine) 함수가 영과 같은 곳에서 가장 작은 양수의 두 배입니다. 코사인은 기하학과 독립적으로 거듭제곱 급수(power series), 또는 미분 방정식(differential equation)의 해로 정의될 수 있습니다.

비슷한 정신으로, π는 복소(complex) 변수 z의, 복소 지수(complex exponential) exp z의 속성을 사용하여 정의될 수 있습니다. 코사인과 마찬가지로, 복소 지수는 여러 가지 방법 중 하나로 정의될 수 있습니다. exp z가 일과 같은 복소수의 집합은 그때에 다음 형식의 (허수) 산술 진행입니다:

\(\quad\displaystyle \{\dots,-2\pi i, 0, 2\pi i, 4\pi i,\dots\} = \{2\pi ki\mid k\in\mathbb Z\}\)

그리고 이 속성을 갖는 고유한 양의 실수 π가 있습니다.

토폴로지(topology)와 대수학(algebra)의 정교한 수학적 개념을 사용하는 같은 아이디어의 변형은 다음 정리입니다: 덧셈 모듈로(modulo) 정수 (원 그룹(circle group)) 아래에서 실수의 group R/Z에서 절댓값(absolute value) 일의 복소수(complex numbers)의 곱셈 그룹 위로의 고유한 (자기-동형(automorphism)까지(up to)) 연속(continuous) 동형(isomorphism)이 있습니다. 숫자 π는 그때에 이 자기-동형의 도함수 크기의 절반으로 정의됩니다.

Irrationality and normality

π는 π는 무리수(irrational number)이며, 그것은 두 정수의 비율로 쓰일 수 없음을 의미합니다. \(\tfrac{22}{7}\)와 \(\tfrac{355}{113}\)와 같은 분수는 공통적으로 π를 근사하기 위해 사용되지만, 공통 분수(common fraction) (정수의 비율)은 정확한 값이 될 수 없습니다. π는 무리수이기 때문에, 그것은 십진 표현(decimal representation)에서 자릿수의 무한 숫자를 가지고, 무한하게 자릿수의 반복하는 패턴으로 정착되지 않습니다. π가 무리수라는 여러 증명이 있습니다; 그것들은 일반적으로 미적분을 요구하고 귀류법(reductio ad absurdum) 기법에 의존합니다. π가 유리수(rational number)에 의해 근사화될 수 있는 정도 (무리성 측정(irrationality measure)이라고 불림)는 정확하게 알려져 있지는 않습니다; 추정은 무리성 측정이 e 또는 ln 2의 측정보다는 크지만 리우빌 숫자(Liouville number)의 측정보다 작다고 수립되어 왔습니다.

π의 자릿수는 명백한 패턴을 가지지 않고 정규성(normality)에 대해 테스트를 포함하여 통계적 무작위성(statistical randomness)에 대한 테스트를 통과해 왔습니다; 무한 길이의 숫자는 (임의의 주어진 길이의) 모든 가능한 숫자 수열이 같게 자주 나타날 때 정규라고 불립니다. π가 정규(normal)라는 추측은 증명되거나 반증되지 않았습니다.

컴퓨터의 출현 이후, π의 자릿수의 큰 숫자는 통계적 분석을 수행하기 위한 것에 사용할 수 있었습니다. 야스마사 카나다(Yasumasa Kanada)는 π의 십진 자릿수에 대한 자세한 통계적 분석을 수행해 왔고, 정규성과 일치함을 발견했습니다; 예를 들어, 열 자릿수 0에서 9까지의 빈도는 통계적 중요성 테스트(statistical significance test)를 받았지만, 패턴의 증거는 발견되지 않았습니다. 임의의 무작위 자릿수의 수열은 무한 원숭이 정리(infinite monkey theorem)에 의해 비-무작위라고 나타나는 임의적인 긴 부분수열을 포함합니다. 따라서, π의 자릿수의 수열은 무작위성에 대해 통계적 테스트를 통과하기 때문에, 그것은 π의 십진 표현의 762번째 십진 자리에서 시작하는 여섯 연속 9의 수열과 같이 비-무작위로 나타날 수 있는 일부 자릿수의 수열을 포함합니다. 이것은 역시, 파인만과의 연관성은 알려져 있지 않을지라도, 리처드 파인만(Richard Feynman)의 이름을 따서 수학적 민속학(mathematical folklore)에서 "파인만 점"이라고 불립니다.

Transcendence

무리수일뿐만 아니라, π는 역시 초월적 숫자(transcendental number)이며, 이것은 \(\frac{x^5}{120}-\frac{x^3}{6}+x=0\)와 같은 유리수(rational) 계수를 갖는 임의의 비-상수 다항 방정식(polynomial equation)의 해(solution)가 아님을 의미합니다.

π의 초월성은 둘의 중요한 결과를 가집니다: 첫째, π는 유리수와 ( \(\sqrt[3]{31}\) 또는 \(\sqrt{10}\)와 같은) 제곱근과 n-번째 근(n-th roots)의 임의의 유한 조합을 사용하여 표현될 수 없습니다. 둘째, 초월적 숫자는 컴퍼스와 직선자(compass and straightedge)로 구성(constructed)될 수 없기 때문에, "원의 정사각형화"가 가능하지 않습니다. 다시 말해, 컴퍼스와 직선자 홀로 사용하여, 그것의 넓이가 주어진 원의 넓이와 정확하게 같은 정사각형을 구성하는 것이 불가능합니다. 원의 정사각형화는 고전적 유물(classical antiquity)의 중요한 기하학 문제 중 하나였습니다. 현대의 아마추어 수학자들은 수학적으로 불가능하다는 사실에도 불구하고 때때로 원을 정사각형화를 시도하고 성공을 주장했다고 주장해 왔습니다.

Continued fractions

모든 무리수와 마찬가지로, π는 무리수(즉, 유리수가 아님)의 바로 그 정의에 의해 공통 분수(common fraction) (역시 단순(simple) 또는 일반 분수(vulgar fraction)로 알려져 있음)로 나타낼 수 없습니다. 그러나 π를 포함한 모든 각 무리수는 연속된 분수(continued fraction)라고 불리는 중첩된 분수의 무한 급수로 표현될 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle 
\pi=3+\textstyle \cfrac{1}{7+\textstyle \cfrac{1}{15+\textstyle \cfrac{1}{1+\textstyle \cfrac{1}{292+\textstyle \cfrac{1}{1+\textstyle \cfrac{1}{1+\textstyle \cfrac{1}{1+\ddots}}}}}}}\)

임의의 지점에서 연속된 분수를 자르면 π에 대해 유리수 근삿값을 산출합니다; 이들 중 처음 넷은 3, 22/7, 333/106, 및 355/113입니다. 이들 숫자는 가장 잘 알려져 있고 상수의 가장 널리 사용되는 역사적 근삿값 중 하나입니다. 이러한 방법으로 생성된 각 근삿값은 최상의 유리수 근삿값입니다; 즉, 각각은 같거나 더 작은 분모를 갖는 임의의 다른 분수보다 π에 더 가깝습니다. π는 초월적인 것으로 알려져 있기 때문에, 그것은 정의에 의해 대수적(algebraic)이지 않고 따라서 이차 무리수(quadratic irrational)가 될 수 없습니다. 그러므로, π는 주기적 연속된 분수(periodic continued fraction)를 가질 수 없습니다. 비록 (위에서 표시된) π에 대해 단순 연속된 분수가 역시 임의의 다른 명백한 패턴을 나타내지 않지만, 수학자들은 다음과 같은 몇 가지 일반화된 연속된 분수(generalized continued fraction)를 발견해 왔습니다:

\(\quad\displaystyle 
\begin{align}
\pi & = \textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \cfrac{1^2}{2+\textstyle \cfrac{3^2}{2+\textstyle \cfrac{5^2}{2+\textstyle \cfrac{7^2}{2+\textstyle \cfrac{9^2}{2+\ddots}}}}}}
=3+\textstyle \cfrac{1^2}{6+\textstyle \cfrac{3^2}{6+\textstyle \cfrac{5^2}{6+\textstyle \cfrac{7^2}{6+\textstyle \cfrac{9^2}{6+\ddots}}}}} \\[8pt]
& =\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \cfrac{1^2}{3+\textstyle \cfrac{2^2}{5+\textstyle \cfrac{3^2}{7+\textstyle \cfrac{4^2}{9+\ddots}}}}}
\end{align}
\)

Approximate value and digits

π의 일부 근삿값은 다음을 포함합니다:

  • 정수: 3
  • 분수: 근사적 분수는 (증가하는 정확도의 순서에서) \(\tfrac{22}{7}, \tfrac{333}{106}, \tfrac{355}{113}, \tfrac{52163}{16604}, \tfrac{103993}{33102}, \tfrac{104348}{33215}\), 및 \(\tfrac{245850922}{78256779}\)을 포함합니다. (목록은 OEIS: A063674와 OEIS: A063673에서 선택된 항입니다.)
  • 자릿수: 처음 50 십진 자릿수는 다음입니다: 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510... (OEIS: A000796를 참조하십시오)

다른 숫자 시스템에서 자릿수

Complex numbers and Euler's identity

임의의 복소수(complex number), 말하자면 z는 한 쌍의 실수(real number)를 사용하여 표현될 수 있습니다. 극 좌표 시스템(polar coordinate system)에서, 하나의 숫자 (반지름(radius) 또는 r)는 복소 평면(complex plane)의 원점(origin)에서 z의 거리를 나타내기 위해 사용되고, 다른 숫자 (각도 또는 φ)는 양의 실수 직선에서 반시계 방향으로 회전(rotation)을 나타내기 위해 사용됩니다:

\(\quad\displaystyle z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi),\)

여기서 i는 \(i^2=-1\)을 만족시키는 허수 단위(imaginary unit)입니다. 복소 해석학(complex analysis)에서 π의 빈번한 등장은 오일러의 공식(Euler's formula)에 의해 설명되는 복소 변수의 지수 함수(exponential function)의 동작과 관련될 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi,\)

여기서 상수 e는 자연 로그(natural logarithm)의 밑수입니다. 이 공식은 복소 평면의 원점에 중심을 둔 단위 원(unit circle) 위의 점과 e의 허수 거듭제곱 사이의 대응 관계를 설립합니다. 오일러 공식에서 φ = π를 설정하면 오일러의 항등식(Euler's identity)을 초래하며, 그것을 가장 중요한 5가지 수학적 상수에 포함하기 때문에 수학에서 유명합니다:

\(\quad\displaystyle e^{i \pi} + 1 = 0.\)

\(z^n=1\)을 만족시키는 n 다른 복소수(complex number) z가 있고, 이것들은 "n-번째 단위의 근(roots of unity)"이라고 불리고 다음 공식에 의해 제공됩니다:

\(\quad\displaystyle e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).\)

History

Antiquity

공통 시대 이전의 시대에 π에 대한 가장 잘 알려진 근삿값은 둘의 십진 자리까지 정확했습니다; 이것은 특히 1000년 중반에 중국 수학(Chinese mathematics)에서 일곱 십진 자리의 정확도로 향상되었습니다. 그 후, 중세 후기까지 더 이상의 진전은 없었습니다.

기자의 큰 피라미드(Great Pyramid of Giza) (c. 2560 BC)의 측정을 기반으로, 일부 이집트학자들은 고대 이집트인들이 일찍이 옛 왕국(Old Kingdom)부터 π의 근사로 \(\tfrac{22}{7}\)을 사용했다고 주장했습니다. 이 주장은 회의론에 직면했습니다. π의 가장 초기에 쓰인 근사는 바빌로니아(Babylon)와 이집트에서 발견되었으며, 둘 다 참 값의 1% 이내입니다. 바빌로니아에서, 기원전 1900–1600년의 점토 태블릿(clay tablet)은, 암시에 의해, π를 \(\tfrac{25}{8}=3.125\)로 취급한다는 기하학적 명제를 가집니다. 이집트에서, 린드 파피루스(Rhind Papyrus)는, 기원전 약 1650년으로 기록되었지만 기원전 1850년으로 거슬러 올라가는 문서에서 복사했으며, π를 \((\tfrac{16}{9})^2 \approx 3.16\)으로 취급하는 원의 넓이에 대해 공식을 가지고 있습니다.

hatapatha Brahmana (기원전 약 4세기)의 천문학적 계산은 (\(9\times 10^{-4}\)의 상대 오차를 갖는) \(\tfrac{339}{108} \approx 3.139\)의 분수적 근사를 사용합니다. 기원전 약 150년의 다른 인도 출처는 π를 \(\sqrt{10} \approx 3.1622\)로 취급합니다.

Polygon approximation era

π의 값을 엄격하게 계산하기 위해 최초의 기록된 알고리듬은 기원전 약 250년 그리스 수학자 아르키메데스(Archimedes)에 의해 고안된 다각형을 사용한 기하학적 접근 방식이었습니다. 이 다각형 알고리듬은 1,000년 이상 동안 지배적이었고, 결과로 π는 때때로 "아르키메데스의 상수"라고 참조됩니다. 아르키메데스는 원의 내부와 외부에 정육각형을 그리고 96-변 정규 다각형에 이를 때까지 변의 숫자를 연속적으로 두 배로 늘림으로써 π의 위쪽 경계와 아래쪽 경계를 계산했습니다. 이들 다각형의 둘레를 계산함으로써, 그는 \(\tfrac{223}{71} < \pi < \tfrac{22}{7}\) (즉, 3.1408 < π < 3.1429)임을 입증했습니다. 아르키메데스의 \(\tfrac{22}{7}\)의 위쪽 경계는 π가 \(\tfrac{22}{7}\)과 같다는 널리 알려진 믿음으로 이어졌을 것입니다. 기원후 약 150년에, 그리스-로마 과학자 프톨레마이오스(Ptolemy)는, 그의 Almagest에서, π에 대해 값을 3.1416이라고 제공했으며, 이것은 아르키메데스로부터 또는 페르가의 아폴로니우스(Apollonius of Perga)로부터 얻었을 것입니다. 다각형 알고리듬을 사용하는 수학자들은 1630년에 π의 39 자릿수에 도달했으며, 무한 급수가 71 자릿수에 도달하기 위해 사용되었던 1699년에야 깨졌던 기록입니다.

고대 중국(ancient China)에서, π에 대해 값은 3.1547 (기원후 약 1년), \(\sqrt{10}\) (기원후 100년, 근사적으로 3.1623), 및 \(\tfrac{142}{45}\) (3세기, 근사적으로 3.1556)를 포함했습니다. 기원후 약 265년, 위 왕조(Wei Kingdom) 수학자 유 휘(Liu Hui)는 다각형-기반 반복 알고리듬을 만들었고 그것을 3,072-변 다각형과 함께 π의 값 3.1416을 얻기 위해 사용했습니다. 유는 나중에 π를 계산하는 더 빠른 방법을 발명했었고 연속 다각형의 넓이에서 차이가 4의 인수로 기하학적 급수를 형성한다는 사실의 이점을 취함으로써 96-변 다각형으로 3.14의 값을 얻었습니다. 기원후 약 480년, 중국의 수학자 조 충지(Zu Chongzhi)는 3.1415926 < π < 3.1415927임을 계산하고 근삿값 \(\pi \approx \tfrac{355}{113} = 3.14159292035...\) 및 \(\pi \approx \tfrac{22}{7} = 3.142857142857...\)를 제안했으며, 이것을 그는 12,288-변 다각형에 적용된 유 휘의 알고리듬을 사용하여 각각 Milü (''닫힌 비율")과 Yuelü ("근사 비율")이라고 이름-지었습니다. 그것의 일곱 처음 십진 자릿수에 대해 정확한 값과 함께, 이 값은 향후 800년 동안 사용할 수 있는 π의 가장 정확한 근삿값으로 남아 있었습니다.

인도의 천문학자 아리아바타(Aryabhata)는 그의 Āryabhaṭīya(기원후 499)에서 3.1416의 값을 사용했습니다. 약 1220년 피보나치(Fibonacci)는 아르키메데스와 독립적인 다각형 방법을 사용하여 3.1418을 계산했습니다. 이탈리아 작가 단테(Dante)는 값 \(3+\frac{\sqrt{2}}{10} \approx 3.14142\)을 사용한 것으로 보입니다.

페르시아의 천문학자 잠쉬드 알-캐시(Jamshīd al-Kāshī)는 1424년에 \(3\times 2^{28}\) 변을 갖는 다각형을 사용하여 대략 16 십진 자릿수와 동등한 9 육십진수(sexagesimal) 자릿수를 생성했으며, 익덧은 약 180년 동안 세계 기록으로 남아 있었습니다. 1579년 프랑스 수학자 프랑수아 비에트(François Viète)는 \(3\times 2^{17}\) 변의 다각형으로 9 자릿수를 달성했습니다. 플랑드르 수학자 아드리안 반 루멘(Adriaan van Roomen)은 1593년에 15 십진 자리에 도달했습니다. 1596년에, 네덜란드 수학자 루돌프 반 세울렌(Ludolph van Ceulen)은 20 자릿수에 이르렀고, 그는 나중에 기록을 35 자릿수로 늘렸습니다 (결과로써, π는 20세기 초까지 독일에서 "세울렌 숫자"라고 불렸습니다). 네덜란드 과학자 빌레브로드 스넬리우스(Willebrord Snellius)는 1621년에 34 자릿수에 이르렀고, 오스트리아 천문학자 크리스토프 그리엔버거(Christoph Grienberger)는 \(10^{40}\) 변을 사용하여 1630년에 38 자릿수에 도달했습니다. 크리스티안 하위헌스(Christiaan Huygens)는 리처드슨 외삽법(Richardson extrapolation)과 약간 다른 방법을 사용하여 1654년에 10 십진 자리에 도달할 수 있었습니다.

Infinite series

π의 계산은 16세기와 17세기에 무한 급수(infinite series) 기법의 발달에 의해 혁명적으로 변화됩니다. 무한 급수는 무한 수열(sequence)의 항의 합입니다. 무한 급수는 수학자들에게 기하학 기법을 사용했던 아르키메데스(Archimedes)와 다른 사람들보다 훨씬 더 정밀도와 함께 π를 계산하는 것을 허용합니다. 비록 무한 급수가 제임스 그레고리(James Gregory)와 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)와 같은 유럽 수학자들에 의해 가장 두드러지게 π에 대해 이용되었지만, 그 접근법은 기원후 1400년에서 1500년 사이 언젠가 인도(India)에서 처음 발견되었습니다. π를 계산하기 위해 사용될 수 있는 무한 급수의 최초의 쓰인 설명은 기원후 약 1500년에 인도의 천문학자 닐라칸타 소마야지(Nilakantha Somayaji)에 의해 쓰인 Tantrasamgraha에서 그의 Tantrasamgraha에서 산스크리트어 구절에 나와 있습니다. 급수는 증명없이 제시되지만, 증명은 기원후 약 1530년에서 나중에 인도 연구, Yuktibhāṣā에서 제시됩니다. 닐라칸타는 그 급수를 약 1350 – 약 1425에 살았던 초기 인도 수학자, 산가마그라마의 마드하바(Madhava of Sangamagrama)에게 기인합니다. 여러 무한 급수는 사인, 탄젠트, 및 코사인에 대해 급수를 포함하여 설명되었으며, 현재 마드하바 급수(Madhava series) 또는 그레고리–라이프니츠 급수(Gregory–Leibniz series)로 참조됩니다. 마드하바는 약 1400년에 π를 11 자릿수까지 추정하기 위해 무한 급수를 사용했지만, 그 값은 약 1430년에 페르시아 수학자 잠쉬드 알-캐시(Jamshīd al-Kāshī)에 의한 다각형 알고리듬을 사용하여 개선되었습니다.

유럽에서 발견된 최초의 무한 수열은 1593년 프랑스 수학자 프랑수아 비에트(François Viète)에 의해 발견된 (전형적으로 π 계산에 더 사용되는, 무한 합(infinite sum)이 아닌) 무한 곱(infinite product)이었습니다:

\(\quad\displaystyle  \frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdots\)

존 월리스(John Wallis)에 의해 1655년에 유럽에서 발견한 두 번째 무한 수열은 역시 무한 곱이었습니다:

\(\quad\displaystyle 
\frac{\pi}{2} = \Big(\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3}\Big) \cdot \Big(\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}\Big) \cdot \Big(\frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7}\Big) \cdot \Big(\frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9}\Big) \cdots
\)

1660년대에 영국 과학자 아이작 뉴턴(Isaac Newton)과 독일 수학자 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)에 의해 미적분학(calculus)의 발견은 π를 근사하기 위한 많은 무한 급수의 개발로 이어졌습니다. 뉴턴 자신은 1665년 또는 1666년에 π의 15 자릿수 근사를 계산하기 위해 아크사인(arcsin) 급수를 사용했으며, 나중에 "나는 그 당시 다른 일이 없었기 때문에 내가 이들 계산을 얼마나 많은 자릿수로 수행했는지 말하기 부끄럽습니다"라고 썼습니다.

유럽에서, 마드하바의 공식은 1671년 스코틀랜드 수학자 제임스 그레고리(James Gregory)와 1674년 라이프니츠에 의해 재발견되었습니다:

\(\quad\displaystyle 
\arctan z = z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots
\)

이 공식, 그레고리–라이프니츠 급수는 z = 1로 평가될 때 π/4와 같습니다. 1699년에, 영구 수학자 에이브래햄 샤프(Abraham Sharp)는 \({1}{\sqrt{3}}\)에 대해 π를 71 자릿수까지 계산하기 위해 그레고리–라이프니츠 급수를 사용했으며, 다각형 알고리듬으로 세웠던 39 자릿수의 이전 기록을 깨뜨렸습니다. \(\displaystyle z=1\)에 대해 그레고리–라이프니츠 급수는 단순하지만 매우 느리게 수렴(converges)하므로 (즉, 답에 서서히 접근하므로), 그것은 현대 π 계산에서 사용되지 않습니다.

1706년에, 존 매친(John Machin)은 훨씬 빠르게 수렴되는 알고리듬을 생성하기 위해 그레고리–라이프니츠 급수를 사용했습니다:

\(\quad\displaystyle  \frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}.\)

매친은 이 공식과 함께 π의 100 자릿수에 도달했습니다. 다른 수학자들은 π의 자릿수를 계산하기 위해 여러 연속적인 기록을 세우기 위해 사용되는 현재 매친-계열 공식(Machin-like formula)으로 알려진 변형을 만들었습니다. 매친-계열 공식은 컴퓨터 시대까지 π를 계산하는 가장-잘 알려진 방법으로 남아 있었고, 250년 동안 기록을 세우기 위해 사용되었으며, 1946년 다니엘 퍼거슨(Daniel Ferguson)에 의해 620-자릿수 근사 – 계산 장치의 도움 없이 얻은 최상의 근사로 절정에 이르렀습니다.

기록은 계산 신동 자카리아스 다즈(Zacharias Dase)에 의해 세워졌으며, 그는 1844년 독일 수학자 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)의 지시에 따라 그의 머리로 π의 200 십진을 계산하기 위해 매친-계열 공식을 사용했습니다. 영국 수학자 윌리엄 생크스(William Shanks)는 1853년에 π를 607 자릿수를 계산했지만, 528번째 자릿수에서 실수를 만들었고, 모든 이후의 자릿수가 잘못되게 계산되었습니다. 비록 그가 1873년에 100 자릿수를 추가로 계산하여, 총 707 자릿수를 계산했지만, 그의 이전 실수로 인해 마찬가지로 모든 새로운 자릿수도 올바르지 않게 되었습니다.

Rate of convergence

π에 대해 일부 무한 급수는 다른 것보다 빠르게 수렴(converge)합니다. π에 대해 둘의 무한 급수의 선택이 주어지면, 수학자들은 일반적으로 더 빠르게 수렴하는 급수를 사용할 것인데 왜냐하면 더 빠른 수렴은 임의의 주어진 정확도로 π를 계산하기 위해 필요되는 계산의 총양을 줄이기 때문입니다. π에 대해 간단한 무한 급수는 그레고리–라이프니츠 급수(Gregory–Leibniz series)입니다:

\(\quad\displaystyle  \pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \cdots\)

이 무한 급수의 개별 항이 합에 더해짐에 따라, 총계는 서서히 π에 가까워지고 – 충분한 항의 숫자와 함께 – 원하는 만큼 π에 가까워질 수 있습니다. 그러나, 그것은 아주 천천히 수렴합니다 – 500,000 항 이후에는, 그것은 오직 π의 다섯 정확한 십진 자릿수를 생성합니다.

그레고리–라이프니츠 급수보다 더 빠르게 수렴하는 π에 대한 무한 급수 (15세기 닐라칸타에 의해 발표됨)는 다음입니다: \((n-1)n(n+1) =n^3-n\)임을 주목하십시오.

\(\quad\displaystyle  \pi = 3 + \frac{4}{2\times3\times4} - \frac{4}{4\times5\times6} + \frac{4}{6\times7\times8} - \frac{4}{8\times9\times10} + \cdots\)

다음 테이블은 이들 두 급수의 수렴 율을 비교합니다:

다섯 항 이후, 그레고리–라이프니츠 급수의 합은 π의 정확한 값의 0.2 이내에 있고, 반면에 닐라칸타 급수의 합은 π의 정확한 값의 0.002 이내에 있습니다. 닐라칸타의 급수는 더 빠르게 수렴하고 π의 자릿수를 계산하는 데 더 유용합니다. 훨씬 더 빨리 수렴하는 급수는 매친의 급수(Machin's series)와 추드노프스키의 급수(Chudnovsky's series)를 포함하며, 후자는 항당 14 정확한 십진 자릿수를 생성합니다.

Irrationality and transcendence

π와 관련하여 모든 수학적 발전이 근사의 정확도를 높이는 것을 목표로 한 것은 아닙니다. 오일러가 1735년에 바젤 문제(Basel problem), 역수 제곱 합의 정확한 값을 찾는 것을 해결했을 때, 그는 π와 소수(prime number) 사이의 연결을 확립하여 나중에 리만 제타 함수(Riemann zeta function)의 개발과 연구에 기여했습니다:

\(\quad\displaystyle  \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots\)

1761년 스위스 과학자 요한 하인리히 램버트(Johann Heinrich Lambert)는 π가 무리수(irrational)임을 입증했으며, 그것은 임의의 두 정수의 몫과 같지 않음을 의미합니다. 램버트의 증명(Lambert's proof)은 접선 함수의 연속된-분수 표현을 이용했습니다. 프랑스 수학자 아드리앵-마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre)는 1794년에 \(\pi^2\)이 역시 무리수임을 입증했습니다. 1882년, 독일 수학자 페르디난트 폰 린데만(Ferdinand von Lindemann)은 π가 초월적(transcendental)임을 입증했고, 르장드르와 오일러 둘 다에 의해 만들어진 추측을 확인했습니다. 하디(Hardy)와 라이트(Wright)는 "그 증명은 이후에 힐베르트(Hilbert), 후르비츠(Hurwitz), 및 다른 저자들에 의해 수정되고 단순화되었습니다"라고 말합니다.

Adoption of the symbol π

가장 최초의 사용에서, 그리스 문자 π는 주위(periphery) (περιφέρεια)에 대해 그리스 단어의 약어였고, (지름(diameter)에 대해) δ 또는 (반지름(radius)에 대해 ρ와 비율로 원 상수를 형성하기 위해 조합되었습니다. (그 이전에, 수학자들은 때때로 대신에 c 또는 p와 같은 문자를 사용했습니다.) 처음으로 기록된 사용은 오트레드의(Oughtred's) "\(\displaystyle \delta . \pi\)"이며, Clavis Mathematicae의 1647년 이후 판에서 주위와 지름의 비율을 나타내기 위한 것입니다. 배로(Barrow)는 상수 3.14...를 나타내기 위해 "\(\displaystyle \frac \pi \delta\)"를 사용했었고, 반면에 그레고리(Gregory)는 대신 6.28...를 나타내기 위해 "\(\displaystyle \frac \pi \rho\)"를 사용했습니다.

원의 지름에 대한 원의 둘레의 비율을 나타내기 위해 단독으로 그리스 문자 π의 가장 최초의 알려진 사용은 웨일스의 수학자 윌리엄 존스(William Jones)에 의한 그의 1706년 연구 Synopsis Palmariorum Matheseos; or, a New Introduction to the Mathematics에서 였습니다. 그리스 문자는 반지름 일을 갖는 원의 토론에서 "1/2 주위 (π)"라는 문구에 처음 나타납니다. 어쨌든, 그는 π에 대해 자신의 방정식이 "진정으로 독창적인 존 매친(John Machin)의 준비된 펜"에서 나온 것이라고 썼으며, 매친이 존보다 먼저 그리스 문자를 사용했을 수 있다는 추측으로 이어집니다. 존의 표기법은 다른 수학자들에 의해 즉시 채택되지 않았으며, 분수 표기법은 1767년 말까지 여전히 사용되었습니다.

오일러(Euler)는 그의 1727년 Essay Explaining the Properties of Air로 시작하여 단일-문자 형식을 사용하기 시작했지만, 그는 이 글과 이후의 글에서 π = 6.28..., 반지름에 대한 주위의 비율을 사용했습니다. 오일러는 그의 1736년 연구 Mechanica에서 처음으로 π = 3.14...를 사용했고, 그의 널리 읽힌 1748년 연구 Introductio in analysin infinitorum에서 계속 사용했습니다 (그는 다음과 같이 썼습니다: "간결함을 위해 우리는 이 숫자를 π로 쓸 것입니다; 따라서 π는 반지름 1의 원의 둘레 절반과 같습니다"). 오일러는 유럽에서 다른 수학자들과 몹시 일치했기 때문에, 그리스 문자의 사용은 빠르게 퍼졌고, 그 관행은 그 후 서구 세계(Western world)에서 보편적으로 채택되었지만, 그 정의는 1761년 말까지 3.14... 및 6.28... 사이에서 여전히 변했습니다.

Modern quest for more digits

Computer era and iterative algorithms

가우스–르장드르 반복 알고리듬:
초기화
\(\quad\displaystyle \textstyle a_0 = 1, \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2}, \quad t_0 = \frac{1}{4}, \quad p_0 = 1.\)
반복
\(\quad\displaystyle \textstyle a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}, \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n},\)
\(\quad\displaystyle \textstyle t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2, \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n.\)
그런-다음 {{pi}}에 대해 추정은 다음에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle \textstyle \pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.\)

 

20세기 중반에서 컴퓨터의 발달은 π의 자릿수에 대해 사냥에 다시 한 번 혁명을 일으켰습니다. 수학자 존 렌치(John Wrench)와 리바이 스미스(Levi Smith)는 탁상용 계산기를 사용하여 1949년에 1,120 자릿수에 도달했습니다. 역 탄젠트(inverse tangent) (아크탄젠트) 무한 급수를 사용하여, 같은 해 조지 라이트위스너(George Reitwiesner)와 존 폰 노이만(John von Neumann)에 의해 주도되는 팀은 에니악(ENIAC) 컴퓨터에서 70시간의 컴퓨터 시간이 소요되는 계산으로 2,037 자릿수에 달성했습니다. 항상 아크탄젠트 급수에 의존하는 기록은 (1957년 7,480 자릿수; 1958년 10,000자릿수; 1961년 100,000자릿수) 1973년에 100만 자릿수에 도달할 때까지 반복적으로 깨졌습니다.

약 1980년 둘의 추가적인 개발이 π를 계산하는 능력을 다시 한 번 가속화했습니다. 첫째, 무한 급수보다 훨씬 빠른 π를 계산하기 위한 새로운 반복 알고리듬(iterative algorithm)의 발견; 그리고 둘째, 큰 숫자를 매우 빠르게 곱할 수 있는 빠른 곱셈 알고리듬의 발명입니다. 그러한 알고리듬은 컴퓨터 시간의 대부분이 곱셈에 사용되기 때문에 현대 π 계산에서 특히 중요합니다. 그것들은 카라츄바 알고리듬(Karatsuba algorithm), 톰–쿡 곱셈(Toom–Cook multiplication), 및 푸리에 변환-기반 방법(Fourier transform-based methods)을 포함합니다.

반복 알고리듬은 물리학자 유진 살라민(Eugene Salamin)과 과학자 리차드 브렌트(Richard Brent)에 의해 1975–1976년에 독립적으로 출판되었습니다. 이것들은 무한 급수에 대한 의존을 피합니다. 반복 알고리듬은 특정 계산을 반복하고, 각 반복은 이전 단계의 출력을 그것의 입력으로 사용하고, 각 단계에서 원하는 값으로 수렴하는 결과를 생성합니다. 그 접근 방식은 실제로 160년 전에 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)에 의해 발명되었으며, 현재 산술–기하 평균 방법 (AGM 방법) 또는 가우스–르장드르 알고리듬(Gauss–Legendre algorithm)이라고 이름-지어졌습니다. 살라민과 브렌트에 의해 수정되었기 때문에, 그것은 역시 브렌트–살라만 알고리듬으로 참조됩니다.

반복 알고리듬은 무한 급수 알고리듬보다 빠르기 때문에 1980년 이후에 널리 사용되었습니다; 무한 급수는 전형적으로 연속적인 항에서 추가적으로 올바른 자릿수를 증가하고, 반면에 반복 알고리듬은 일반적으로 각 단계에서 올바른 자릿수의 숫자를 곱합니다. 예를 들어, 브렌트-살라만 알고리듬은 각 반복에서 자릿수의 숫자를 두 배로 늘립니다. 1984년에, 존(John)과 피터 보와인(Peter Borwein) 형제는 각 단계에서 자릿수의 숫자를 4배로 늘리는 반복 알고리듬을 만들었습니다; 그리고 1987년에, 각 단계에서 자릿수의 숫자를 5배로 늘리는 것을 만들었습니다. 반복 방법은 일본 수학자 야스마사 카나다(Yasumasa Kanada)에 의해 1995년과 2002년 사이에 π 계산에 대한 여러 기록을 세우기 위해 사용되었습니다. 이 빠른 수렴은 대가가 따릅니다; 반복 알고리듬은 무한 급수보다 훨씬 더 많은 메모리를 필요로 합니다.

Motives for computing π

π와 관련하여 대부분의 수치 계산에 대해, 몇 개의 자릿수가 충분한 정밀도를 제공합니다. 요르그 안트(Jörg Arndt)와 크리스토퍼 헤넬(Christoph Haenel)에 따르면, 서른-아홉 자릿수가 대부분의 우주론적(cosmological) 계산을 수행하기에 충분한데, 왜냐하면 그것이 하나의 원자의 정밀도를 갖는 관측-가능 우주(observable universe)의 둘레를 계산하기 위해 필요한 정확도이기 때문입니다. 계산 반올림 오차(round-off error)를 보정에 대해 보정하기 위해 필요된 추가적인 자릿수를 고려하여, 안트는 몇 백 자릿수가 임의의 과학적 응용에 충분하다고 결론지었습니다. 이것에도 불구하고, 사람들은 π를 수천과 수백만 자릿수로 계산하기 위해 열심히 노력했습니다. 이러한 노력은 부분적으로 기록을 깨고자 하는 인간의 강박에 기인한 것일 수 있고, π로 그러한 성과는 종종 전 세계적으로 뉴스 머리글을 장식합니다. 그것들은 역시 슈퍼컴퓨터 테스트, 수치적 분석 알고리듬 테스트 (고정밀 곱셈 알고리듬을 포함)와 같은 실용적인 이점을 가집니다; 순수 수학 자체 내에서, π의 자릿수의 무작위성을 평가하기 위한 데이터를 제공합니다.

Rapidly convergent series

현대 π 계산기는 배타적으로 반복 알고리듬을 사용하지는 않습니다. 새로운 무한 급수가 1980년대와 1990년대에 반복 알고리듬만큼 빠른 것이 발견되었지만, 그것은 더 간단하고 덜 메모리 집약적입니다. 빠른 반복 알고리듬은 1914년, 인도 수학자 스리미바자 라마누젠(Srinivasa Ramanujan)이 우아함, 수학적 깊이, 및 빠른 수렴으로 놀라운 π에 대해 수십 개의 혁신적인 새 공식을 발표했을 때 예상되었습니다. 모듈러 방정식(modular equation)을 기반으로 한 그의 공식 중 하나는 다음과 같습니다:

\(\quad\displaystyle \frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{k!^4\left(396^{4k}\right)}.\)

이 급수는 매친의 공식을 포함하여 대부분의 아크탄젠트 급수보다 훨씬 빠르게 수렴합니다. 빌 가스퍼(Bill Gosper)는 π의 계산에서 진보에 대해 처음으로 그것을 사용했으며, 1985년에 1,700만 자릿수의 기록을 세웠습니다. 라마누젠의 공식은 보와인 형제 (조너선(Jonathan)과 피터(Peter)) 및 추드노프스키 형제(Chudnovsky brothers)에 의해 개발된 현대 알고리듬을 예상했습니다. 1987년에 개발된 추드노프스키 공식(Chudnovsky formula)은 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \frac{1}{\pi} = \frac{12}{640320^{3/2}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!\,k!^3 (-640320)^{3k}}.\)

그것은 항당 π의 약 14 자릿수를 생성하고, 1989년에 추드노프스키 형제에 의해 처음으로 10억 (109) 자릿수를, 2011년에 Alexander Yee와 Shigeru Kondo에 의한 10조 (1013) 자릿수를, 2016년에 Peter Trueb에 의한 22조 자릿수 이상, 및 2020년에 Timothy Mullican에 의한 50조 자릿수를 포함하여 여러 기록적인 π 계산에 사용되어 왔습니다. 유사한 공식에 대해, 역시 라마누젠–사토 급수(Ramanujan–Sato series)를 참조하십시오.

2006년에, 수학자 시몽 플루페(Simon Plouffe)는 PSLQ 정수 관계 알고리듬(integer relation algorithm)을 다음 템플릿에 따라 π에 대해 몇 가지 새로운 공식을 생성하기 위해 사용했습니다:

\(\quad\displaystyle \pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right),\)

여기서 q는 \(e^\pi\) (겔폰트의 상수), k는 홀수(odd number), 및 a, b, c는 플루페가 계산했던 특정 유리수입니다.

Monte Carlo methods

다중 무작위 시행의 결과를 평가하는 몬테 카를로 방법(Monte Carlo methods)은 π의 근사를 생성하기 위해 사용될 수 있습니다. 부폰의 바늘(Buffon's needle)은 그러한 기술 중 하나입니다: 만약 길이 ℓ의 바늘이 평행 직선이 t 단위 떨어져 그려진 표면 위에 n번 떨어뜨리고, 그것 횟수 중 x가 직선을 가로질러 정지하게 되면 (x > 0), 우리는 카운트를 기반으로 π를 근사할 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle \pi \approx \frac{2n\ell}{xt}.\)

π를 계산하는 또 다른 몬테 카를로 방법은 정사각형에 내접된 원을 그리고, 정사각형에 무작위로 점을 배치하는 것입니다. 전체 점 숫자에 대한 원 내부 점의 비율은 근사적으로 π/4와 같습니다.

확률을 사용하여 π를 계산하는 또 다른 방법은 (공정한) 동전 던지기의 수열: 같은 확률을 갖는 \(X_k \in \{-1,1\}\)를 만족하는 독립 확률 변수(random variable) \(X_k\)에 의해 생성된 무작위 걸음(random walk)으로 시작하는 것입니다. 결합된 무작위 걸음은 각 n에 대해 \(W_n\)은 이동되고 스케일된 이항 분포(binomial distribution)에서 추출되도록 다음입니다

\(\quad\displaystyle W_n = \sum_{k=1}^n X_k\).

n이 변화함에 따라, \(W_n\)은 (이산) 확률적 프로세스(stochastic process)를 정의합니다. 그런-다음 π는 다음에 의해 계산될 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle \pi = \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{E[|W_n|]^2}.\)

이 몬테 카를로 방법은 원과의 임의의 관계와 독립적이고, 아래에서 논의되는 중심 극한 정리(central limit theorem)의 결과입니다.

π를 근사하기 위한 이들 몬테 카를로 방법은 다른 방법에 비해 매우 느리고, 얻어진 정확한 자릿수의 숫자에 대한 임의의 정보를 제공하지 않습니다. 따라서 그것들은 속도나 정확도가 희망될 때 π를 근사하기 위해 사용되지 않습니다.

Spigot algorithms

둘의 알고리듬이 1995년에 발견되어 π에 대한 연구의 새로운 길을 열었습니다. 그것들은 마개 알고리듬(spigot algorithm)이라고 불리는데 왜냐하면, 마개에서 떨어지는 물처럼, 그것들은 계산된 후 재사용되지 않는 π의 단일 자릿수를 생성하기 때문입니다. 이것은 최종 결과가 생성될 때까지 모든 중간 자릿수를 유지하고 사용하는 무한 급수 또는 반복 알고리듬과 대조됩니다.

수학자 스탠 왜건(Stan Wagon)과 스탠리 라비노위츠(Stanley Rabinowitz)는 1995년에 간단한 마개 알고리듬을 만들었습니다. 그것의 속력은 아크탄젠트 알고리듬과 필적하지만, 반복 알고리듬만큼 빠르지는 않습니다.

또 다른 마개 알고리듬, BBP 자릿수 추출 알고리듬(digit extraction algorithm)은 1995년 시몽 플루페(Simon Plouffe)에 의해 발견되었습니다:

\(\quad\displaystyle  \pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right).\)

이 공식은, 그것 이전의 다른 공식과 달리, 모든 앞의 자릿수를 계산없이 π의 임의의 개별적인 십육진수(hexadecimal) 자릿수를 생성할 수 있습니다. 개별 이진수 자릿수는 개별적인 십육진수에서 추출될 수 있고, 팔진수 자릿수는 하나 또는 둘의 십육진수 자릿수에서 추출될 수 있습니다. 알고리듬의 변형이 발견되어 왔지만, 자릿수 추출 알고리듬은 십진 자릿수를 빠르게 생성하는 것은 아직 발견되지 않았습니다. 자릿수 추출 알고리듬의 중요한 응용은 π 계산 기록의 새로운 주장을 확인하는 것입니다: 새로운 기록이 주장된 후, 십진수 결과는 십육진수로 변환되고, 그런-다음 자릿수 추출 알고리듬은 끝 근처에 있는 여러 임의의 십육진수 자릿수를 계산하기 위해 사용됩니다; 만약 그것들이 일치하면, 이것은 전체 계산이 정확하다는 확신의 측정을 제공합니다.

1998년과 2000년 사이에, 분산 컴퓨팅(distributed computing) 프로젝트 PiHex는 벨라드의 공식(Bellard's formula) (BBP 알고리듬의 수정)을 π의 천조번째 (\(10^{15}\)번째) 비트를 계산하기 위해 사용했으며, 이것은 영으로 판명되었습니다. 2010년 9월에, 야후 직원은 23일 동안 1000대의 컴퓨터에서 회사의 Hadoop 응용 프로그램을 이천조번째 (\(2\times 10^{15}\)번째) 비트(bit)에서 π의 256 비트를 계산하기 위해 사용했으며, 이 역시 영이었습니다.

Role and characterizations in mathematics

π는 원과 밀접하게 관련되어 있기 때문에, 그것은 기하학과 삼각법 분야의 많은 공식, 특히 원, 구, 또는 타원과 관련하는 많은 공식에서 발견됩니다. 통계, 물리학, 푸리에 해석(Fourier analysis), 및 숫자 이론과 같은 다른 과학의 가지에서 역시 그것들의 중요한 공식 중 일부에 π를 포함합니다.

Geometry and trigonometry

π는 타원(ellipse), 구(sphere), 원뿔(cones), 및 토러스(tori)와 같은 원을 기반으로 하는 기하학적 모양의 넓이와 부피에 대한 공식에 나타납니다. 다음은 π를 포함하는 보다 일반적인 공식 중 일부입니다.

  • 반지름 r을 갖는 원의 둘레는 2πr입니다.
  • 반지름 r을 갖는 원의 넓이는 \(\pi r^2\)입니다.
  • 반-주요 축 a와 반-보조 축 b를 갖는 타원의 넓이는 πab입니다.
  • 반지름 r을 갖는 구의 부피는 \(\tfrac43 \pi r^3\)입니다.
  • 반지름 r을 갖는 구의 표면 넓이는 \(4\pi r^2\)입니다.

위의 공식 중 일부는 아래 주어진 n-차원 공의 부피와 그것의 경계진 표면 넓이, (n-1)-차원 구의 특수한 경우입니다.

원 외에도, 일정한 너비의 다른 곡선이 있습니다. 바르비에의 정리(Barbier's theorem)에 따르면, 상수 너비의 모든 각 곡선은 둘레 π 곱하기 그것의 너비를 가집니다. 를로 삼각형(Reuleaux triangle) (각각 다른 두 원이 교차하는 위치에 중심을 이루는 셋의 원의 교차로 형성됨)은 그것의 너비에 대해 가장 작은 가능한 넓이를 가지고 원에 대개 가장 큰 넓이를 가집니다. 일정한 너비의 비-원형 매끄러운(smooth) 곡선이 역시 존재합니다.

원에 의해 생성된 모양의 둘레, 넓이, 또는 부피를 설명하는 한정 적분(definite integrals)은 전형적으로 π를 포함하는 값을 가집니다. 예를 들어, 반지름 일의 원의 넓이의 절반을 지정하는 적분은 다음에 의해 제공됩니다:

\(\quad\displaystyle \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}.\)

해당 적분에서 함수 \(\sqrt{1-x^2}\)는 원의 위쪽 절반을 나타내고 (제곱근(square root)은 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)의 결과입니다), 적분 \(\int_{-1}^1\)은 원의 해당 절반과 x 축 사이의 넓이를 계산합니다.

Units of angle

삼각 함수(trigonometric function)는 각도에 의존하고, 수학자들은 일반적으로 측정의 단위로 라디안을 사용합니다. π는 완전한 원이 2π 라디안(radian)의 각도에 걸쳐 있도록 정의되는 라디안에서 측정된 각도에서 중요한 역할을 합니다. 180°의 각도 측정은 π 라디안과 같고, 1° = π/180 라디안입니다.

공통적인 삼각 함수는 π의 배수인 구간을 가집니다; 예를 들어 사인과 코사인은 주기 2π를 가지므로, 임의의 각도 θ와 임의의 정수 k에 대해,

\(\quad\displaystyle  \sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right) \text{ and } \cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right).\)

Eigenvalues

수학과 과학의 공식에서 π의 많은 출현은 그것의 기하학과의 밀접한 관계와 관련이 있습니다. 어쨌든, π는 역시 기하학과 분명히 관련이 없는 많은 자연적인 상황에서 나타납니다.

많은 응용에서, 그것은 고윳값(eigenvalue)과 구별되는 역할을 합니다. 예를 들어, 이상화된 진동하는 끈(vibrating string)은 고정된 끝점(fixed ends) f(0) = f(1) = 0을 갖는 단위 구간 [0, 1] 위에 함수 f의 그래프로 모델링될 수 있습니다. 끈의 진동의 모드는 미분 방정식(differential equation) \(\displaystyle f''(x) + \lambda f(x) = 0\), 또는 \(\displaystyle f''(t) = -\lambda f(x)\)의 해입니다. 따라서 λ는 이차 도함수 연산자(operator) \(\displaystyle f \mapsto f''\)의 고윳값이고, 스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville theory)에 의해 오직 어떤 특정 값을 취하도록 제한됩니다. 그것은 양수여야 하는데, 왜냐하면 연산자는 음의 한정(negative definite)이므로, \(\lambda=\nu^2\)로 쓰는 것이 편리하며, 여기서 ν > 0은 파동숫자(wavenumber)라고 불립니다. 그런-다음 f(x) = sin(π x)는 경계 조건과 ν = π를 갖는 미분 방정식을 만족시킵니다.

값 π는, 실제로, 파동숫자의 가장 작은 그러한 값이고, 끈의 진동의 기본 모드(fundamental mode)와 결합됩니다. 이것을 보이기 위한 한 가지 방법은 에너지(energy)를 추정하는 것이며, 비르팅거의 부등식(Wirtinger's inequality)을 만족시킵니다: f(0) = f(1) = 0를 갖는 함수 \(\displaystyle f : [0, 1] \to \Complex\)와 f, f ' 둘 다 제곱 미분-가능(square integrable)에 대해, 우리는 다음을 가집니다:

\(\quad\displaystyle \pi^2\int_0^1|f(x)|^2\,dx\le \int_0^1|f'(x)|^2\,dx,\)

이때 f가 sin(π x)의 배수일 때 정확하게 상등입니다. 여기서 π는 비르팅거의 부등식에서 최적 상수로 나타나고, 그것이 고윳값의 변화 특성화(variational characterization)를 사용하여 가장 작은 파동숫자임을 따릅니다. 결과로써, π는 두 끝점에서 사라지는 [0, 1] 위의 함수의 공간 (소볼레프 공간(Sobolev space) \(\displaystyle H^1_0[0,1]\)) 위에 도함수 연산자의 가장 작은 특이 값(singular value)입니다.

Inequalities

숫자 π는 고-차원 해석학에서 유사한 고윳값 문제에서 나타납니다. 위에서 언급했듯이, 그것은 같은-둘레 부등식(isoperimetric inequality)에서 가장 좋은 상수로서의 그것의 역할을 통해 특성화할 수 있습니다: 둘레 P의 평면 조르당 곡선(Jordan curve)에 의해 둘러싸인 넓이 A는 다음 부등식을 만족시킵니다:

\(\quad\displaystyle 4\pi A\le P^2,\)

그리고 상등은 원에 대해 명확하게 달성되는데, 왜냐하면 해당 경우에서 \(A=\pi r^2\)와 P = 2πr이기 때문입니다.

궁극적으로 같은-둘레 부등식의 결과로써, π는 n 차원에서 임계 소볼레프 부등식(Sobolev inequality)에 대해 최적 상수로 나타나며, 따라서 마찬가지로 많은 물리적 현상, 예를 들어, 고전적 전위 이론(potential theory)의 현상에서 π의 역할을 특성화합니다. 이-차원에서 임계 소볼레프 부등식은 \(\mathbf{R}^2\)에서 컴팩트 지원을 갖는 매끄러운 함수 f에 대해 다음입니다:

\(\quad\displaystyle 2\pi\|f\|_2 \le \|\nabla f\|_1\)

여기서 \(\displaystyle \nabla f\)는 f의 그래디언트(gradient)이고, \(\displaystyle \|f\|_2\)와 \(\displaystyle \|\nabla f\|_1\)는 각각 \(L^2\)와 \(L^1\)-노름을 참조합니다. 소볼레프 부등식은 같은 최상의 상수를 갖는 (임의의 차원에서) 같은-둘레 부등식과 동등합니다.

비르팅거의 부등식은 역시 n-차원 얇은 막의 디리클레 에너지(Dirichlet energy)에 대해 최상의 상수를 제공하는 고-차원 푸앵카레 부등식(Poincaré inequality)으로 일반화합니다. 구체적으로 특별히, π는 지름 1의 \(\mathbf{R}^n\)의 모든 볼록(convex) 부분집합 G와 평균 영의 G 위의 제곱-적분가능 함수 u에 대해 다음을 만족하는 가장 큰 상수입니다:

\(\quad\displaystyle \pi \le \frac{\left (\int_G |\nabla u|^2\right)^{1/2}}{\left (\int_G|u|^2\right)^{1/2}}\). 

비르팅거의 부등식은 일 차원에서 디리클레 고윳값(Dirichlet eigenvalue) 문제의 변화(variational) 형식인 것처럼, 푸앵카레 부등식은 임의의 차원에서 Neumann(노이만) 고윳값 문제의 변화 형식입니다.

Fourier transform and Heisenberg uncertainty principle

상수 π는 역시 푸리에 변환(Fourier transform)에서 임계 스펙트럼 매개변수로 나타납니다. 이것은 실수 직선 위의 복소-값 적분가능 함수 f를 다음과 같이 정의된 함수로 취하는 적분 변환(integral transform)입니다:

\(\quad\displaystyle \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i x\xi}\,dx.\)

비록 푸리에 변환과 그것의 역에 대해 몇 가지 다른 관례가 있지만, 임의의 그러한 관례는 어딘가에 π를 포함해야 합니다. 위의 정의는 \(L^1\)에서 \(L^{\infty}\)까지의 대수 준동형이기도 한 \(L^2\) 위에 고유한 단항 연산자를 제공하는, 어쨌든, 가장 정식의 정의입니다.

하이젠베르크 불확정성 원리(Heisenberg uncertainty principle)는 역시 숫자 π를 포함하고 있습니다. 불확정성 원리는 공간과 주파수 둘 다에서 함수를 지역화할 수 있는 범위 위에 예리한 아래쪽 경계를 제공하며, 푸리에 변환에 대한 관례와 함께,

\(\quad\displaystyle \left(\int_{-\infty}^\infty x^2|f(x)|^2\,dx\right)
\left(\int_{-\infty}^\infty \xi^2|\hat{f}(\xi)|^2\,d\xi\right)
 \ge
\left(\frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\,dx\right)^2.\)

양자 역학(quantum mechanical) 시스템의 동시 위치와 운동량 관찰에서 불확실성에 대한 물리적 결과는 아래에서 논의됩니다. 푸리에 해석의 공식에서 π의 출현은 궁극적으로 하이젠베르크 그룹(Heisenberg group)의 슈뢰딩거 표현(Schrödinger representation)의 고유성을 주장하는 스톤–폰 노이만 정리(Stone–von Neumann theorem)의 결과입니다.

Gaussian integrals

확률(probability)과 통계(statistics) 분야는 복잡한 현상에 대해 단순 모델로 정규 분포(normal distribution)를 자주 사용합니다; 예를 들어, 과학자들은 일반적으로 대부분의 실험에서 관측 오차가 정규 분포를 따른다고 가정합니다. 평균(mead) μ와 표준 편차(standard deviation) σ를 갖는 정규분포의 확률 밀도 함수(probability density function)인, 가우스 함수(Gaussian function)는 자연스럽게 π를 포함합니다:

\(\quad\displaystyle f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}.\)

\(\displaystyle \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\)의 인수는 {{math|''f''}}의 그래프 아래의 넓이를, 확률 분포에 대해 요구된 것처럼, 일과 같게 만듭니다. 이것은 가우스 적분(Gaussian integral)에서 변수의 변경(change of variables)에서 비롯됩니다:

\(\quad\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-u^2} \, du=\sqrt{\pi}\)

이것은 그림에서 기본 종 곡선(bell curve) 아래에서 넓이가 π의 제곱근과 같음을 말합니다.

중심 극한 정리(central limit theorem)는 확률과 통계에서 정규 분포의 중심 역할이고, 따라서 π의 중심 역할을 설명합니다. 이 정리는 궁극적으로 하이젠베르크 불확정성 원리와 결합된 고윳값으로 π의 스펙트럼 특성화(spectral characterization)와 상등이 오직 가우스 함수에 대해 불확정성 원리에서 유지된다는 사실과 연결됩니다. 동등하게, π는 가우스 정규 분포 \(e^{-\pi r^2}\)를 자체 푸리에 변환과 같게 만드는 고유한 상수입니다. 실제로, Howe (1980)에 따르면, 푸리에 해석의 기본 정리를 설정하는 "전체 직무(whole business)"는 가우스 적분으로 줄어듭니다.

Projective geometry

V를 보통의 미분 방정식(ordinary differential equation) \(\displaystyle f''(x)+f(x)=0\)을 만족시키는 모든 두 번 미분-가능 실수 함수 \(\displaystyle f:\mathbb R\to\mathbb R\)의 집합으로 놓습니다. 그런-다음 V는 미분 방정식에 대해 한 쌍의 초기 조건(initial conditions)에 해당하는 둘의 매개변수를 갖는 이-차원 실수 벡터 공간(vector space)입니다. 임의의 \(\displaystyle t\in\mathbb R\)에 대해, \(\displaystyle e_t:V\to\mathbb R\)를 실수 점 t에서 함수 f의 각 \(\displaystyle f\in V\)를 값 \(\displaystyle e_t(f)=f(t)\)에 결합하는 평가 함수형으로 놓습니다. 그런-다음, 각 t에 대해, \(\displaystyle e_t\)의 커널(kernel)은 V의 일-차원 선형 부분공간입니다. 따라서 \(\displaystyle t\mapsto\ker e_t\)는 실수 직선에서 실수 투영 직선(real projective line)으로의 \(\displaystyle \mathbb R\to\mathbb P(V)\)에서 함수를 정의합니다. 이 함수는 주기적이고, 수량 π는 이 맵의 주기로 특성화될 수 있습니다.

Topology

상수 π는 표면의 미분 기하학(differential geometry of surfaces)을 그것들의 토폴로지(topology)와 관련시키는 가우스–보네 공식(Gauss–Bonnet formula)에서 나타납니다. 구체적으로 특별히, 만약 컴팩트(compact) 표면 Σ가 가우스 곡률(Gauss curvature) K를 가지면, 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \int_\Sigma K\,dA = 2\pi \chi(\Sigma)\)

여기서 \(_\chi(\sum)\)는 정수인 오일러 특성(Euler characteristic)입니다. 하나의 예제는 (그것의 곡률의 반지름(radius of curvature)이, 그것의 반지름과 일치하는, 역시 1이 되도록) 곡률 1의 구 S의 표면 넓이입니다. 구의 오일러 특성은 그것의 호몰로지 그룹(homology group)에서 계산될 수 있고 이와 같은 것으로 발견되었습니다. 따라서 우리는 다음을 가집니다:

\(\quad\displaystyle A(S) = \int_S 1\,dA = 2\pi\cdot 2 = 4\pi\)

반지름 1의 구의 표면 넓이에 대해 공식을 재현합니다.

상수는 토폴로지에서 많은 다른 적분 공식, 특히 천–베유 준동형(Chern–Weil homomorphism)을 통한 특성 클래스(characteristic class)를 포함하는 공식에서 나타납니다.

Vector calculus

벡터 미적분학(vector calculus)은 벡터 필드(vector field)의 속성을 다루는 미적분학의 한 가지이고, 전기와 자기(electricity and magnetism)에서와 같은 많은 물리적 응용을 가집니다. 삼-차원 데카르트 좌표 시스템의 원점에 위치된 점 소스 Q에 대해 뉴턴 퍼텐셜(Newtonian potential)은 다음입니다:

\(\quad\displaystyle V(\mathbf{x}) = -\frac{k Q}{|\mathbf{x}|}\)

이것은 소스에서 거리 |x|에 위치된 단위 질량 (또는 전하)의 위치 에너지(potential energy)를 나타내고, k는 차원 상수입니다. (뉴턴) 중력 필드(gravitational field) 또는 (쿨롱) 전기 필드(electric field)일 수 있는 E에 의해 여기서 표시된 필드는 퍼텐셜의 음의 그래디언트(gradient)입니다:

\(\quad\displaystyle \mathbf{E} = -\nabla V.\)

특별한 경우는 쿨롱의 법칙(Coulomb's law)과 뉴턴의 만유인력 법칙(Newton's law of universal gravitation)을 포함합니다. 가우스의 법칙은 원점을 포함하는 매끄럽고, 단순, 닫힌, 방향가능 표면 S를 통한 팔드의 바깥쪽 플럭스(flux)는 4πkQ와 같다고 말합니다:

\(\quad\displaystyle 4\pi k Q = \)|intsubscpt=\(\displaystyle {\scriptstyle S}\)|integrand=\(\displaystyle \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}.\)

4π의 이 인자를 상수 k에 흡수하는 것이 표준이지만, 이 인수는 그것이 어딘가에 나타나야 하는 이유를 보여줍니다. 게다가, 4π는 단위 구의 표면 넓이이지만, 우리는 S가 구라고 가정하지 않았습니다. 어쨌든, 발산 정리(divergence theorem)의 결과로, 원점에서 멀리 떨어진 영역이 진공 (소스-없음)이기 때문에,그것은 적분을 계산하는 것에서 문제가 되는 \(\mathbf{R}^3 \backslash \{0\}\)에서 표면 S의 오직 호몰로지 클래스(homology class)이므로, 그것은 구형 좌표가 적분을 계산하기 위해 사용될 수 있는 같은 호몰로지 클래스, 특히 구에서 임의의 편리한 표면에 의해 대체될 수 있습니다.

가우스 법칙의 결과는 퍼텐셜 V의 음의 라플라스(Laplacian)가 4πkQ 곱하기 디랙 델타 함수(Dirac delta function)와 같다는 것입니다:

\(\quad\displaystyle \Delta V(\mathbf x) = -4\pi k Q\delta(\mathbf x).\)

보다 일반적인 물질 (또는 전하)의 분포는 이로부터 합성곱(convolution)에 의해 얻어지며, 푸아송 방정식(Poisson equation)을 제공합니다:

\(\quad\displaystyle \Delta V(\mathbf x) = -4\pi k \rho(\mathbf x)\)

여기서 ρ는 분포 함수입니다.

상수 π는 역시 일반 상대성의 이론의 기초를 형성하고 물질(matter)과 에너지(energy)에 의해 시공간(spacetime)이 휘어진 결과로 중력(gravitation)의 기본 상호작용(fundamental interaction)을 설명하는 기본 공식, 아인슈타인 방정식(Einstein's equations)과 결합된 사-차원 퍼텐셜에서 유사한 역할을 합니다:

\(\quad\displaystyle  R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu},\)

여기서 \(R_{\mu \nu}\)은 리치 곡률 텐서(Ricci curvature tensor), R은 스칼라 곡률(scalar curvature), \(g_{\mu \nu}\)는 메트릭 텐서(metric tensor), Λ는 우주적 상수(cosmological constant), G는 뉴턴의 중력 상수(Newton's gravitational constant), c는 진공에서 빛의 속력(speed of light)이고, \(T_{\mu \nu}\)는 스트레스–에너지 텐서(stress–energy tensor)입니다. 아인슈타인의 방정식의 왼쪽 변은 메트릭 텐서의 라플라스의 비-션형 아날로그이고, 라그랑주 곱셈수(Lagrange multipliers)의 역할을 하는 \(\displaystyle \Lambda g\) 항과 함께, 약한 필드 극한에서 그것으로 줄어들고, 오른쪽 변은 분포 함수, 곱하기 8π의 아날로그입니다.

Cauchy's integral formula

복소 해석학(complex analysis)에서 핵심 도구 중 하나는 양수적인 방향된 (정류-가능(rectifiable)) 조르당 곡선(Jordan curve) γ에 걸쳐 함수의 윤곽 적분(contour integration)입니다. 코시의 적분 공식(Cauchy's integral formula)의 한 형식은 만약 점 \(z_0\)가 γ 내부에 있으면, 다음임을 말합니다:

\(\quad\displaystyle \oint_\gamma \frac{dz}{z-z_0} = 2\pi i.\)

비록 곡선 γ는 원이 아니고, 따라서 상수 π에 대한 임의의 명백한 연결을 가지지 않을지라도, 이 결과의 표준 증명은 모레라 정리(Morera's theorem)를 사용하며, 이것은 그 적분이, 그것이 원으로 변형될 수 있고 그런-다음 극 좌표에서 명백하게 적분되도록 곡선의 호모토피(homotopy) 아래에서 불변이라는 의미입니다. 보다 일반적으로, 만약 정류-가능 닫힌 곡선 γ가 \(z_0\)를 포함하지 않으면, 위의 적분은 2πi 곱하기 곡선의 감김 숫자(winding number)라는 것이 참입니다.

코시의 적분 공식의 일반적인 형식은 조르당 곡선 γ 위에 복소 해석적 함수(complex analytic function) f(z)의 값과 γ의 임의의 내부 점 \(z_0\) 사이의 관계를 설립합니다:

\(\quad\displaystyle \oint_\gamma { f(z) \over z-z_0 }\,dz = 2\pi i f (z_{0})\)

f(z)가 γ에 의해 둘러싸이고 γ로 연속적으로 확장되는 영역에서 해석적이라는 조건으로 합니다. 코시의 적분 공식은 잔여 정리(residue theorem)의 특별한 경우이며, 즉, 만약 g(z)가 γ에 의해 둘러싸인 영역에서 유리형 함수(meromorphic function)이고 γ의 이웃에서 연속이면, 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \oint_\gamma g(z)\, dz =2\pi i \sum \operatorname{Res}( g, a_k ) \)

여기서 합은 g(z)의 극점(poles)에서 잔여(residues)의 것입니다.

The gamma function and Stirling's approximation

팩토리얼 함수 n!은 n까지 모든 양의 정수의 곱입니다. 감마 함수(gamma function)는 팩토리얼(factorial)의 개념 (통상적으로 오직 비-음의 정수에 대해 정의됨)을 음의 실수 정수를 제외한 모든 복소수로 확장합니다. 감마 함수가 절반-정수에서 평가될 때, 그 결과는 π를 포함합니다; 예를 들어 \(\displaystyle  \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} \) 및 \(\displaystyle \Gamma(5/2) = \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} \).

감마 함수는 그것의 바이어슈트라스 곱(Weierstrass product) 개발에서 정의됩니다:

\(\quad\displaystyle \Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod_{n=1}^\infty \frac{e^{z/n}}{1+z/n}\)

여기서 γ는 오일러–마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)입니다. z = 1/2에서 평가되고 제곱되면, 방정식 \(\Gamma(1/2)^2=\pi\)은 월리스(Wallis) 곱 공식으로 줄어듭니다. 감마 함수는 역시 리만 제타 함수(Riemann zeta function)와 함수형 행렬식(functional determinant)에 대해 항등식으로 연결되며, 이것에서 상수 π는 중요한 역할을 합니다.

감마 함수는 유클리드 n-차원 공간에서 반지름 r의 n-차원 공(n-dimensional ball)의 부피 \(V_n(r)\)와 그것의 경계, (n-1)-차원 공간((n−1)-dimensional sphere)의 표면 넓이 \(S_{n-1}(r)\)를 계산하기 위해 사용됩니다:

\(\qua\displaystyle V_n(r) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}r^n,\)

\(\quad\displaystyle S_{n-1}(r) = \frac{n\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}r^{n-1}.\)

게다가, 그것은 다음인 함수형 방정식(functional equation)에서 따릅니다:

\(\quad\displaystyle 2\pi r = \frac{S_{n+1}(r)}{V_n(r)}.\)

감마 함수는 큰 n에 대해 스털링의 근사(Stirling's approximation)로 알려져 있는 팩토리얼 함수 n!로의 간단한 근사: \(\displaystyle  n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\)를 생성하기 위해 사용될 수 있습니다.  동등하게,

\(\quad\displaystyle \pi = \lim_{n\to\infty} \frac{e^{2n}n!^2}{2 n^{2n+1}}.\)

스털링의 근사의 기하학적 응용으로, \(\Delta_n\)가 n-차원 유클리드 공간에서 표준 심플렉스(standard simplex)를 나타내고, \((n+1)\Delta_n\)가 n + 1의 인수에 의해 확대된 그것의 모든 변을 가지는 심플렉스를 나타내는 것으로 놓습니다. 그런-다음

\(\quad\displaystyle \operatorname{Vol}((n+1)\Delta_n) = \frac{(n+1)^n}{n!} \sim \frac{e^{n+1}}{\sqrt{2\pi n}}.\)

이어하르트의 부피 추측(Ehrhart's volume conjecture)은 이것이 오직 하나의 격자 점(lattice point)을 포함하는 볼록 몸체(convex body)의 부피 위에 (최적) 위쪽 경계라는 것입니다.

Number theory and Riemann zeta function

리만 제타 함수(Riemann zeta function) ζ(s)는 수학의 많은 영역에서 사용됩니다. s = 2에서 평가될 때 그것은 다음으로 쓰일 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle  \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots\)

이 무한 급수에 대해 간단한 해를 찾는 것은 수학에서 바젤 문제(Basel problem)라고 불리는 유명한 문제였습니다. 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 1735년에 그것을 풀었고, \(\pi^2/6\)와 같다는 것을 보여주었습니다. 오일러의 결과는 두 무작위 숫자가 상대적으로 소수(relatively prime)일 확률 (즉, 공유 인수가 없음)이 \(6/\pi^2\)와 같다는 숫자 이론(number theory)의 결과로 이어집니다. 이 확률은 임의의 숫자가 소수 p로 나뉠 수 있는 확률이 1/p이라는 관찰에 기반합니다 (예를 들어, 모든 7번째 정수는 7로 나뉠 수 있습니다). 따라서 두 숫자가 모두 이 소수로 나뉠 수 있는 확률은 \(1/p^2\)이고, 그것들 중 적어도 하나가 아닐 확률은 \(1-1/p^2\)입니다. 구별되는 소수에 대해, 이들 나눔가능성 사건은 서로 독립적입니다; 따라서 두 숫자가 상대적으로 소수일 확률은 모든 소수에 걸쳐 곱에 의해 제공됩니다:

\(\quad\displaystyle \begin{align}
\prod_p^\infty \left(1-\frac{1}{p^2}\right) &= \left( \prod_p^\infty \frac{1}{1-p^{-2}} \right)^{-1}\\[4pt]
&= \frac{1}{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots }\\[4pt]
&= \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 61\%.
\end{align}\)

이 확률은 몬테 카를로 접근법을 사용하여 π를 근사화하기 위해 무작위 숫자 생성기(random number generator)와 연결에서 사용될 수 있습니다.

바젤 문제에 대한 해는 기하학적으로 도출된 양 π가 소수의 분포와 깊은 방법에서 연결되어 있음을 의미합니다. 이것은 다마가와 숫자에 대한 베일(Weil's conjecture on Tamagawa numbers)의 추측의 특별한 경우이며, 각 소수 p에 국한된 산술 수량과 기하학적 수량: 특정 지역적 대칭 공간(locally symmetric space)의 부피의 역수의 유사한 그러한 무한 곱의 상등을 주장합니다. 바젤 문제의 경우에서, 그것은 쌍곡선 3-매니폴드(hyperbolic 3-manifold) \(\rm SL_2 (\mathbf{R})/SL_2(\mathbf{Z})\)입니다.

제타 함수는 역시 리만 함수형 방정식을 만족시키며, 이것은 π와 마찬가지로 감마 함수를 포함합니다:

\(\quad\displaystyle 
\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s).\)

게다가, 제타 함수의 도함수는 다음을 만족시킵니다:

\(\quad\displaystyle \exp(-\zeta'(0)) = \sqrt{2\pi}.\)

하나의 결과는 π가 조화 진동자(harmonic oscillator)의 함수형 행렬식(functional determinant)에서 얻어질 수 있다는 것입니다. 이 함수형 행렬식은 곱 전개를 통해 계산될 수 있고, 월리스 곱 공식과 동등합니다. 계산은 양자 역학(quantum mechanics), 특히 수소 원자의 스펙트럼에 대한 변화 접근 방식(variational approach)으로 재구성될 수 있습니다.

Fourier series

상수 π는 역시 주기 함수(periodic function)의 푸리에 급수(Fourier series)에서 자연스럽게 나타납니다. 주기 함수는 실수의 함수형 부분의 그룹 T =R/Z 위의 함수입니다. 푸리에 분해는 T 위의 복소-값 함수 f가 T의 단항 문자(unitary character)의 무한 선형 중첩으로 쓰일 수 있음을 보여줍니다. 즉, T에서 단위 모듈러스 복소수의 원 그룹(circle group) U(1)까지의 연속 그룹 준동형(group homomorphism)입니다. 그것은 T의 모든 각 문자는 복소 지수 \(\displaystyle e_n(x)=  e^{2\pi i n x}\)의 하나라는 정리입니다.

T 위에, 복소 켤레화까지, 고유한 문자, 즉 그룹 동형이 있습니다. 원 그룹 위에 하르 측정(Haar measure)을 사용하여, 상수 π는 이 문자의 라돈–니코딤 도함수(Radon–Nikodym derivative)의 크기의 절반입니다. 다른 문자는 그것의 크기가 2π의 양의 정수 배수인 도함수를 가집니다. 결과로써, 상수 π는 그것의 하르 측정을 갖춘 그룹 T가 2π의 정수 배수 격자(lattice)에 대한 폰트랴긴 이중(Pontrjagin dual)임을 만족하는 고유한 숫자입니다. 이것은 일-차원 푸아송 합계 공식(Poisson summation formula)의 버전입니다.

Modular forms and theta functions

상수 π는 모듈러 형식(modular form)와 세타 함수(theta function)의 이론과 깊이 연결되어 있습니다. 예를 들어, 추드노프스키 알고리듬(Chudnovsky algorithm)은 본질적인 방법에서 타원형 곡선(elliptic curve)의 j-불변량(j-invariant)을 포함합니다.

모듈러 형식(modular form)은 모듈러 그룹(modular group)  \(\displaystyle \mathrm{SL}_2(\mathbb Z)\) (또는 그것의 다양한 부분그룹), 그룹 \(\displaystyle \mathrm{SL}_2(\mathbb R)\)에서 격자 아래에서 그것들의 변환 속성에 의해 특성화된 위쪽 절반 평면(upper half plane)에서 정칙 함수(holomorphic function)입니다. 하나의 예제는 야코비 세타 함수(Jacobi theta function)입니다:

\(\quad\displaystyle \theta(z,\tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{2\pi i nz + i\pi n^2\tau}\)

이것은 야코비 형식(Jacobi form)이라고 불리는 모듈러 형식의 한 종류입니다. 이것은 때때로 노미(nome) \(\displaystyle q=e^{\pi i \tau}\)의 관점에서 쓰입니다.

상수 π는 야코비 세타 함수를 자기동형 형식(automorphic form)으로 만드는 고유한 상수이며, 이것은 그것이 특정 방법에서 변환됨을 의미합니다. 특정 항등식은 모든 자기동형 형식에 대해 유지됩니다. 하나의 예제는 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \theta(z+\tau,\tau) = e^{-\pi i\tau -2\pi i z}\theta(z,\tau),\)

이것은 θ가 이산 하이젠베르크 그룹(Heisenberg group) 아래에서 표현으로 변환함을 의미합니다. 일반적인 모듈러 형식과 다른 세타 함수(theta function)는 역시 다시 한번 스톤–폰 노이만 정리(Stone–von Neumann theorem)때문에 π를 포함합니다.

Cauchy distribution and potential theory

다음 코시 분포(Cauchy distribution)는 확률 밀도 함수(probability density function)입니다:

\(\quad\displaystyle g(x)=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{x^2+1}\).

전체 확률은 일과 같으며, 다음 적분 때문입니다:

\(\quad\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } \frac{1}{x^2+1} \, dx = \pi.\)

코시 분포의 섀넌 엔트로피(Shannon entropy)는 역시 π를 포함하는 ln(4π)와 같습니다.

코시 분포는 퍼텐셜 이론(potential theory)에서 중요한 역할을 하는데 왜냐하면 그것이 가장 간단한 푸르스텐베르그 측정(Furstenberg measure), 절반-평면에서 브라운 운동(Brownian motion)과 결합된 고전 푸아송 커널(Poisson kernel)이기 때문입니다.

켤레 조화 함수(conjugate harmonic function)와 따라서 역시 힐베르트 변환(Hilbert transform)은 푸아소 커널의 점근학과 결합됩니다. 힐베르트 변환 H는 특이 적분(singular integral)의 코시 주요 값(Cauchy principal value)에 의해 주어진 적분 변환입니다:

\(\quad\displaystyle Hf(t) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x)\,dx}{x-t}.\)

상수 π는 H가 실수 직선 위의 제곱-적분가능 실수-값 함수의 힐베르트 공간 위의 선형 복소 구조(linear complex structure)를 정의함을 만족하는 고유한 (양수) 정규화 인수입니다. 푸리에 변환과 같은 힐베르트 변환은 순전하게 힐베르트 공간 \(\rm L^2(\mathbf{R})\) 위에 그것의 변환 속성의 관점에서 특성화될 수 있습니다: 정규화 인수까지, 그것은 양수 팽창과 교환하고 실수 직선의 모든 반사와 반-교환하는 고유한 경계진 선형 연산자입니다. 상수 π는 이 변환을 단일화하는 고유한 정규화 인수입니다.

In the Mandelbrot set

망델브로 집합(Mandelbrot set)이라고 불리는 프랙탈(fractal)에서 π의 출현은 1991년 데이비드 볼(David Boll)에 의해 발견되었습니다. 그는 (−0.75, 0)에서 "목(neck)" 근처의 망델브로 집합의 행동을 조사했습니다. 점 (−0.75, ε)에 대해 발산까지의 반복의 횟수는 ε에 의해 곱해질 때, 그 결과는 ε가 영에 접근할 때 π에 접근합니다. 망델브로 집합의 오른쪽에 있는 큰 "계곡(valley)"의 첨점에서 점 (0.25 + ε, 0)은 유사하게 행동합니다: 발산에 ε의 제곱근을 곱할 때까지의 반복의 횟수는 π로의 경향입니다.

Outside mathematics

Describing physical phenomena

비록 물리적 상수(physical constant)는 아닐지라도, π는 우주의 기본 원리를 설명하는 방정식에서 일상적으로 나타나며, 이것은 종종 π와 원 및 구형 좌표 시스템(spherical coordinate system)과의 관계 때문입니다. 고전 역학(classical mechanics)의 분야에서 간단한 공식은 작은 진폭으로 흔들리는 길이 L의 단순 진자(pendulum)의 근사적인 주기 T를 제공합니다 (g는 지구의 중력 가속도입니다):

\(\quad\displaystyle T \approx 2\pi \sqrt\frac{L}{g}.\)

양자 역학(quantum mechanics)의 핵심 공식 중 하나는 입자의 위치 (Δx)와 운동량(momentum) (Δp)의 측정에서 불확실성이 동시에 임의적으로 작을 수 없음을 보여주는 하이젠베르크의 불확정성 원리(Heisenberg's uncertainty principle)입니다 (여기서 h는 플랑크의 상수(Planck's constant)입니다):

\(\quad\displaystyle  \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}.\)

π가 근사적으로 3과 같다는 사실은 오르토포지트로늄(orthopositronium)의 상대적으로 긴 수명에 중요한 역할을 합니다. 미세-구조 상수(fine-structure constant) α에서 가장 낮은 차수에 대한 역 수명은 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \frac{1}{\tau} = 2\frac{\pi^2 - 9}{9\pi}m\alpha^{6},\)

여기서 m은 전자의 질량입니다.

π는 오일러에 의해 유도된 좌굴 공식과 같은 일부 구조적 공학 공식에 존재하며, 이것은 길이 L의 길고 가는 기둥, 탄성 계수(modulus of elasticity) E, 및 넓이 관성 모멘트(area moment of inertia) I가 좌굴없이 전달할 수 있는 최대 축방향 하중 F를 제공합니다:

\(\quad\displaystyle F =\frac{\pi^2EI}{L^2}.\)

유체 역학(fluid dynamics)의 분야는 스토크스의 법칙(Stokes' law)에서 π를 포함하며, 이것은 동적 점도(dynamic viscosity) η를 갖는 유체(fluid)에서 속도 v로 움직이는 반지름 R의 작은 구형 물체 위에 가해지는 마찰력(frictional force) F를 근사화합니다:

\(\quad\displaystyle F =6\pi\eta  Rv.\)

전자기학에서, 진공 투과성(vacuum permeability) 상수 \(\mu_0\)는 전기(electric), 자기(magnetic) 필드, 및 전자기 복사(electromagnetic radiation)의 속성을 설명하는 맥스웰의 방정식(Maxwell's equations)에 나타납니다. 2019년 5월 20일 이전, 그것은 정확히 다음과 같이 정의되었습니다:

\(\quad\displaystyle \mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7}\text{ H/m} \approx 1.2566370614 \ldots \times 10 ^{-6} \text{ N/A}^2. \)

진공에서 빛의 속력(speed of light)에 대해 관계 c는 SI 단위에서 \(\mu_0\)와 전기 상수 (진공 유전율), \(\epsilon_0\) 사이의 관계를 사용하여 고전적 진공(classical vacuum)의 매체에서 맥스웰의 방정식에서 유도될 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle c={1\over\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}.\)

이상적인 조건 (균일하게 침식되는 기질의 균등 완만한 경사) 아래에서, 구불구불한 강의 굽이(sinuosity)는 π에 접근합니다. 굽이는 실제 길이와 소스에서 입까지의 직선 거리 사이의 비율입니다. 강의 굴곡의 바깥쪽 가장자리를 따라 흐르는 더 빠른 흐름은 안쪽 가장자리를 따라 흐르는 것보다 더 많은 침식을 일으키며, 따라서 굴곡을 더 멀리 밀어내고, 강의 전체 고리성을 증가시킵니다. 어쨌든, 해당 고리성은 강을 결국 제자리에서 두 배로 되돌려 "단락"되어, 그 과정에서 소-활 호수(ox-bow lake)를 생성합니다. 이들 두 상반되는 인수 사이의 균형은 실제 길이와 소스와 입 사이의 직접적인 거리 사이의 π의 평균 비율로 이어집니다.

Memorizing digits

피플로러지(Piphilology)는 π의 많은 자릿수를 암기하는 관행이고, 세계-기록은 기네스 세계 기록(Guinness World Records)에 의해 유지됩니다. 기네스 세계 기록에 의해 공인된 π의 자릿수의 암기 기록은 70,000 자릿수로, 2015년 3월 21일 라즈비어 미나(Rajveer Meena)에 의해 9시간 27분 만에 인도에서 낭독되었습니다. 2006년에, 은퇴한 일본 공학자, 아키라 하라구치(Akira Haraguchi)는 100,000 십진 자리를 암송했다고 주장했지만, 기네스 세계 기록에 의해 확인되지 않았습니다.

하나의 공통적인 기법은 단어 길이가 π의 자릿수를 나타내는 이야기 또는 시를 암기하는 것입니다: 첫 번째 단어는 세 문자, 두 번째 단어는 한 문자, 세 번째 단어는 네 문자, 네 번째는 한 문자, 다섯 번째는 다섯, 이런 식으로 계속됩니다. 그러한 암기 보조 도구는 니모닉(mnemonic)이라고 불립니다. 원래 영국 과학자 제임스 진스(James Jeans)에 의해 고안된 파이에 대해 니모닉의 초기 예제는 "How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics"입니다. 시가 사용될 때, 그것은 때때로 piem이라고 참조됩니다. π를 암기하기 위한 시는 영어 외에도 여러 언어로 작곡되어 왔습니다. 기록-세운 π 암기자는 전형적으로 시에 의존하지 않지만, 대신 숫자 패턴과 장소의 방법(method of loci)을 기억하는 것과 같은 방법을 사용합니다.

몇몇 저자는 단어 길이가 π의 자릿수를 표현하기 위해 요구되는 새로운 형식의 제한된 쓰기(constrained writing)를 설정하기 위해 π의 자릿수를 사용해 왔습니다. Cadaeic Cadenza는 이러한 방식에서 π의 처음 3835 자릿수를 포함하고, 전체 길이의 책 Not a Wake는 각각 π의 한 자리를 나타내는 10,000 단어를 포함합니다.

In popular culture

아마도 π의 정의의 단순성과 공식에서 도처에 존재하기 때문에, 그것은 대중 문화에서 다른 수학적 구성보다 더 많이 표현되어 왔습니다.

2008년에, 오픈 대학교(Open University)와 BBC 다큐멘터리 공동 제작, BBC Four에서 2008년 10월 방영된 The Story of Maths에서, 영국 수학자 마커스 뒤 사우토이(Marcus du Sautoy)는 인도를 방문하고 삼각법에 대한 기여를 탐구할 때 – 역사적으로 최초의 정확한 – π를 계산하는 공식의 시각화(visualization)를 보여줍니다.

Palais de la Découverte (파리에 있는 과학 박물관)는 파이 룸으로 알려진 원형 방이 있습니다. 그것의 벽에는 π의 707 자릿수가 새겨져 있습니다. 자릿수는 돔-모양의 천장에 부착된 큰 나무 문자입니다. 그 자릿수는 528번째 자릿수에서 시작하는 오류를 포함했었던 영국 수학자 윌리엄 생크스(William Shanks)에 의해 1873년 계산을 기반으로 합니다. 그 오류는 1946년에 발견되고 1949년에 수정되었습니다.

칼 세이건(Carl Sagan)의 1985년 소설 Contact에서, 우주의 창조자는 π의 자릿수 깊숙이 메시지를 묻었다고 제안됩니다. π의 자릿수는 케이트 부시(Kate Bush)에 의한 2005년 앨범 Aerial의 노래 "Pi"의 가사에도 포함되어 있습니다.

1967년 Star Trek 에피소드 "Wolf in the Fold"에서, 통제 불능의 컴퓨터는 "π는 분해능없이 초월적 숫자"임에도 불구하고 "π의 마지막 자릿수까지 계산"하라는 지시를 받아 포함됩니다.

미국에서, 파이의 날(Pi Day)는 3월 14일 (미국 스타일로 3/14 작성)이고, 학생 사이에서 유명합니다. π와 그 디지털 표현은 종종 수학적으로나 기술적으로 생각하는 그룹 사이에서 내부 농담(inside joke)에 대해 자기-설명된 "수학 괴짜"에 의해 사용됩니다. Massachusetts Institute of Technology의 여러 대학 응원은 "3.14159"를 포함합니다. 2015년 파이의 날은 날짜와 시간이 15/3/14/15 9:26:53에 더 많은 파이의 자릿수를 반영했기 때문에 특히 중요했습니다. 날짜가 공통적으로 일/월/년 형식으로 표시되는 세계 일부 지역에서, 7월 22일은 22/7 = 3.142857과 같이 "파이 근사 날"을 나타냅니다.

노텔(Nortel)의 귀중한 기술 특허 포트폴리오에 대한 2011년 경매에서, 구글(Google)은 π를 포함한 수학적 및 과학적 상수를 기반으로 하는 일련의 비정상적으로 구체적인 입찰을 했습니다.

1958년 알버트 이글(Albert Eagle)은 공식을 단순화하기 위해 π를 τ (타우)로 대체할 것을 제안했으며, 여기서 τ = π/2입니다. 어쨌든, 다른 저자는 이러한 방법으로 τ를 사용하는 것으로 알려져 있지 않습니다. 일부 사람들은 다른 값, τ = 2π = 6.28318...을 사용하며, τ가, 한 회전에서 라디안의 숫자로, 또는 그것의 지름이 아닌 반지름에 대한 원의 둘레 비율로, π보다 자연스럽고 많은 공식을 단순화한다고 주장합니다. 근사적으로 6.28과 같기 때문에, 6월 28일을 "타우 데이"로 지정하고 "파이를 두 번" 먹음으로써 이 숫자를 기념하는 것이 미디어에 보고되었습니다. 어쨌든, 이러한 τ의 사용은 주류 수학으로 진출하지 못했습니다. Tau는 버전 3.6에서 파이선 프로그래밍 언어 (math.tau)에 추가되었습니다.

1897년에, 아마추어 수학자는 원을 정사각형화(square the circle)로의 방법을 설명하고 3.2를 포함하여 π에 대해 다양한 부정확한 값을 암시하는 텍스트를 포함했던 인디애나 파이 법안을 통과시키도록 인디애나 주의회를 설득하려 했습니다. 그 법안은 법적 근거에 의해 과학적 상수의 가치를 확립하려는 시도로 악명이 높습니다. 그 법안은 인디애나 하원에서 통과되었지만 상원에서 거부되어 법률이 되지 못했습니다.

In computer culture

현대 인터넷 문화(internet culture)에서, 개인과 조직은 자주 숫자 π에 경의를 표합니다. 예를 들어, 컴퓨터 과학자(computer scientist) 도널드 커누스(Donald Knuth)는 그의 프로그램 텍스(TeX)의 버전 번호를 π에 접근하도록 했습니다. 그 버전은 3, 3.1, 3.14, 이런 식입니다.

Sources

Further reading

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