수학(mathematics) 및 통계학(statistics)에서, 조각별 선형(piecewise linear, PL 또는 segmented) 함수는 그것의 그래프(graph)가 직진-선분으로 구성된 실수 변수의 실수-값 함수(real-valued function)입니다.
Definition
조각별 선형 함수는 함수의 각각이 아핀 함수(affine function)인 구간의 모음이 있음을 만족하는 실수(real number)의 (아마도 비-경계진) 구간(interval)에 정의된 함수입니다. 만약 함수의 도메인이 컴팩트(compact)이면, 그러한 구간의 유한 모음이 있어야 합니다; 만약 도메인이 컴팩트가 아니면, 그것은 유한해야 하거나 실수에서 지역적으로 유한(locally finite)해야 할 수 있습니다.
Examples
다음에 의해 정의된 함수는:
\(\quad\displaystyle f(x) =
\begin{cases}
-x - 3 & \text{if }x \leq -3 \\
x + 3 & \text{if }-3 < x < 0 \\
-2x + 3 & \text{if }0 \leq x < 3 \\
0.5x - 4.5 & \text{if }x \geq 3
\end{cases}\)
네 조각을 갖는 조각별 선형입니다. 이 함수의 그래프는 오른쪽에 표시됩니다. 선형 함수의 그래프는 직선(line)이므로, 조각별 선형 함수의 그래프는 선분(line segment)과 반직선(rays)으로 구성됩니다. 기울기가 변경되는 x 값 (위의 예제에서 −3, 0, 및 3)은 전형적으로 중단점, 변경점, 임계 값 또는 매듭이라고 불립니다. 많은 응용에서 처럼, 이 함수는 역시 연속적입니다. 컴팩트 구간 위에 연속적인 조각별 선형 함수의 그래프는 다각 체인(polygonal chain)입니다.
조각별 선형 함수의 다른 예제는 절댓값(absolute value) 함수, 톱니 함수(sawtooth function), 및 바닥 함수(floor function)를 포함합니다.
Fitting to a curve
알려진 곡선에 대한 근사는 곡선을 샘플링하고 점 사이를 선형으로 보간함으로써 찾아질 수 있습니다. 주어진 오차 허용 범위에 따라 가장 중요한 점을 계산하는 알고리듬이 발표되어 왔습니다.
Fitting to data
만약 분할과 그때에 중단점이 이미 알려져 있으면, 선형 회귀(linear regression)는 이들 분할에서 독립적으로 수행될 수 있습니다. 어쨌든, 연속성은 해당 경우에서 보존되지 않고, 역시 관찰된 데이터 밑에 있는 고유한 참조 모델이 없습니다. 이 경우와 함께 안정적인 알고리듬이 도출되어 왔습니다.
만약 분할이 알려져 있지 않으면, 잔여의 제곱합(residual sum of squares)은 최적의 분리점을 선택하기 위해 사용될 수 있습니다. 어쨌든, (중단점을 포함하는) 모든 모델 매개변수의 효율적인 계산과 결합 추정은 R 언어(R language)에 대해 분할된 패키지에 현재 구현된 반복 절차에 의해 얻어질 수 있습니다.
모델 트리(model tree)라고 불리는 결정 트리 학습법(decision tree learning)의 변형은 조각별 선형 함수를 학습합니다.
Notation
조각별 선형 함수의 개념은 여러 다른 문맥에서 의미를 만듭니다. 조각별 선형 함수는 n-차원(n-dimensional) 유클리드 공간(Euclidean space), 또는 보다 일반적으로 임의의 벡터 공간(vector space) 또는 아핀 공간(affine space)뿐만 아니라, 조각별 선형 매니폴드(piecewise linear manifold), 단순 복합체(simplicial complex), 기타 등등에 대해 정의될 수 있습니다. 각각의 경우에서, 함수는 실수(real)-값일 수 있으며, 또는 그것은 벡터 공간, 아핀 공간, 조각별 선형 매니폴드, 또는 단순 복합체로부터 값을 취할 수 있습니다. (이러한 맥락에서, 용어 "선형"은 다만 선형 변환(linear transformations)을 참조하는 것이 아니라, 보다 일반적인 아핀 선형(affine linear) 함수를 참조합니다.)
일보다 더 큰 차원에서, 각 조각의 도메인이 다각형(polygon) 또는 폴리토프(polytope)가 되도록 요구하는 것이 공통적입니다. 이것은 함수의 그래프가 다각형 또는 폴리토프의 조각으로 구성될 것임을 보장합니다.
조각별 선형 함수의 중요한 부분-클래스는 연속(continuous) 조각별 선형 함수와 볼록(convex) 조각별 선형 함수 \(\displaystyle f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)에 대해, 다음을 만족하는
\(\quad\displaystyle f(\vec{x}) = \min_{\Sigma \in \Pi} \max_{(\vec{a}, b) \in \Sigma} \vec{a} \cdot \vec{x} + b\),
다음이 있습니다:
\(\quad\displaystyle \Pi \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{R}^{n+1}))\).
만약 \(\displaystyle f\)가 볼록이고 연속이면, 다음을 만족하는
\(\quad\displaystyle f(\vec{x}) = \max_{(\vec{a},b) \in \Sigma} \vec{a} \cdot \vec{x} + b\),
다음이 있습니다:
\(\quad\displaystyle \Sigma \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^{n+1})\).
스플라인(Splines)은 조각별 선형 함수를 고차 다항식으로 일반화하며, 이것은 차례로 조각별-미분가능 함수의 카테고리, PDIFF에 포함됩니다.
Applications
농업(agriculture)에서, 측정된 데이터의 조각별 회귀 분석(regression analysis)은 성장 인자가 수확량에 영향을 미치는 범위와 작물이 이들 인자에서 변화에 민감하지 않은 범위를 감지하기 위해 사용됩니다.
왼쪽 이미지는 얕은 수면(watertable)에서 수확량이 감소하지만, 더 깊은 (> 7 dm) 수면에서는 수확량이 영향을 받지 않음을 보여줍니다. 그래프는 최적 적합(best fit)을 갖는 두 선분을 찾기 위해 최소 제곱(least squares)의 방법을 사용하여 만들어집니다.
오른쪽의 그래프는 작물 수확량이 최대 ECe = 8 dS/m까지 토양 염도(soil salinity)를 견디지만(tolerate) (ECe는 포화 토양 샘플 추출물의 전기 전도도입니다), 그 값을 초과하면 작물 생산이 감소함을 보여줍니다. 그래프는 "효과 없음"의 가장 긴 범위, 즉 직선이 수평인 곳을 찾기 위해 부분 회귀의 방법으로 만들어집니다. 두 선분은 같은 지점에서 결합할 필요가 없습니다. 오직 최소 제곱의 두 번째 선분 방법이 사용됩니다.
See also
Further reading
- Apps, P., Long, N., & Rees, R. (2014). Optimal piecewise linear income taxation. Journal of Public Economic Theory, 16(4), 523–545.
References
- Stanley, William D. (2004). Technical Analysis And Applications With Matlab. Cengage Learning. p. 143. ISBN 978-1401864811.
- Hamann, B.; Chen, J. L. (1994). "Data point selection for piecewise linear curve approximation" (PDF). Computer Aided Geometric Design. 11 (3): 289. doi:10.1016/0167-8396(94)90004-3.
- Golovchenko, Nikolai. "Least-squares Fit of a Continuous Piecewise Linear Function". Retrieved 6 Dec 2012.
- Vieth, E. (1989). "Fitting piecewise linear regression functions to biological responses". Journal of Applied Physiology. 67 (1): 390–396. doi:10.1152/jappl.1989.67.1.390. PMID 2759968.
- Muggeo, V. M. R. (2008). "Segmented: an R package to fit regression models with broken-line relationships" (PDF). R News. 8: 20–25.
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- Landwehr, N.; Hall, M.; Frank, E. (2005). "Logistic Model Trees" (PDF). Machine Learning. 59 (1–2): 161–205. doi:10.1007/s10994-005-0466-3. S2CID 6306536.
- A calculator for piecewise regression.
- A calculator for partial regression.
