(번역) Orthogonal transformation

Original article: w:Orthogonal transformation

 

선형 대수(linear algebra)에서, 직교 변환은 안의 곱(inner product)을 보존하는 실수 안의 곱 공간(inner product space) V 위에 선형 변환 T : V → V입니다. 즉, V 원소의 각 쌍 u, v에 대해, 다음을 가집니다:

${\displaystyle ⟨u,v⟩=⟨Tu,Tv⟩.}$

벡터의 길이와 그들 사이의 각도는 안의 곱을 통해 정의되므로, 직교 변환은 벡터의 길이와 그들 사이의 각도를 보존합니다. 특히, 직교 변환은 직교-정규 기저(orthonormal bases)를 직교-정규 기저로 매핑합니다.

직교 변환은 전단사(injective)입니다: 만약 ${\displaystyle Tv=0}$이면 ${\displaystyle 0=⟨Tv,Tv⟩=⟨v,v⟩}$이고, 따라서 ${\displaystyle v=0}$이므로, ${\displaystyle T}$의 커널(kernel)은 자명합니다.

이-차원 또는 삼-차원 유클리드 공간에서 직교 변환은 굽히지-않는 회전, 반사, 또는 회전과 반사의 합성 (부적절한 회전의로도 알려져 있음)입니다. 반사는 (실-세계) 거울이 하는 것처럼 거울 평면에 직교하는 방향을 앞뒤로 뒤집는 변환입니다. 적절한 회전 (반사 없음)에 해당하는 행렬은 +1의 행렬식(determinant)을 가집니다. 반사를 갖는 변환은 −1의 행렬식을 갖는 행렬에 의해 표시됩니다. 이를 통해 회전과 반사 개념을 더 높은 차원으로 일반화할 수 있습니다.

유한-차원 공간에서, 직교 변환의 (직교-정규 기저에 관한) 행렬 표현은 직교 행렬입니다. 그것의 행은, 그 행이 V의 직교-정규 기저를 구성하도록 단위 노름을 갖는 서로 직교 벡터입니다. 행렬의 열은 V의 또 다른 직교-정규 기저를 형성합니다.

만약 직교 변환이 역-가능이면 (이는 V가 유한-차원일 때 항상 해당됨), 그것의 역은 또 다른 직교 변환입니다. 그것의 행렬 표현은 원래 변환의 행렬 표현의 전치입니다.

Examples

표준 유클리드 안의 곱과 표준 기저를 갖는 안의-곱 공간 ${\displaystyle ({\mathbb{R}}^2,⟨\cdot ,\cdot ⟩)}$을 생각해 보십시오. 그런-다음 다음 행렬 변환은 직교입니다:

${\displaystyle T=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2}$

이것을 보이기 위해, 다음을 생각해 보십시오:

${\displaystyle \begin{array}{rlr}T{e}_1=\left[\begin{array}{c}\cos (\theta )\\ \sin (\theta )\end{array}\right]& & T{e}_2=\left[\begin{array}{c}-\sin (\theta )\\ \cos (\theta )\end{array}\right]\end{array}}$

그런-다음,

${\displaystyle \begin{array}{rl}& ⟨T{e}_1,T{e}_1⟩=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& \sin (\theta )\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\cos (\theta )\\ \sin (\theta )\end{array}\right]={\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )=1\\ & ⟨T{e}_1,T{e}_2⟩=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& \sin (\theta )\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-\sin (\theta )\\ \cos (\theta )\end{array}\right]=\sin (\theta )\cos (\theta )-\sin (\theta )\cos (\theta )=0\\ & ⟨T{e}_2,T{e}_2⟩=\left[\begin{array}{cc}-\sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-\sin (\theta )\\ \cos (\theta )\end{array}\right]={\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1\end{array}}$

앞의 예제는 모든 직교 변환을 구성하도록 확장될 수 있습니다. 예를 들어, 다음 행렬은 ${\displaystyle ({\mathbb{R}}^3,⟨\cdot ,\cdot ⟩)}$ 위에 직교 변환을 정의합니다:

${\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )& 0\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& 0& -\sin (\theta )\\ 0& 1& 0\\ \sin (\theta )& 0& \cos (\theta )\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ 0& \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]}$

See also

• Improper rotation
• Linear transformation
• Orthogonal matrix
• Unitary transformation

References

• Rowland, Todd. "Orthogonal Transformation". MathWorld. Retrieved 4 May 2012.