수학(mathematics)에서, 방향-가능성은 실수 벡터 공간(real vector spaces), 유클리드 공간(Euclidean spaces), 표면(surfaces), 및 보다 일반적으로 "시계-방향"과 "반-시계-방향"의 일관된 정의를 허용하는 매니폴드(manifolds)와 같은 일부 토폴로지적 공간(topological spaces)의 속성입니다. 공간은 만약 그러한 일관된 정의가 존재하면 방향-가능(orientable)입니다. 이 경우에서, 두 가지 가능한 정의가 있고, 그들 중 선택은 공간의 방향(orientation)입니다. 실수 벡터 공간, 유클리드 공간, 및 구(spheres)는 방향-가능입니다. 공간은 만약 "시계-방향"이 그 방향에서 몇 개의 루프(loops)를 실행하고 시작점으로 돌아온 후 "반-시계-방향"으로 변경되면 비-방향가능(non-orientable)입니다. 이것은 그러한 루프를 따라 계속 움직이는 원판과 같은 기하학적 모양(geometric shape)이 자체 거울 이미지(mirror image)로 변경됨을 의미합니다. 뫼비우스 띠(Möbius strip)는 비-방향가능 공간의 한 예입니다.
원하는 응용과 일반성 수준에 따라 다양한 등가의 방향가능성의 형식화가 제공될 수 있습니다. 일반 토폴로지적 매니폴드에 적용할 수 있는 형식화는 종종 호몰로지 이론(homology theory)의 방법을 사용하고, 반면에 미분-가능 매니폴드(differentiable manifolds)에 대해 더 많은 구조가 존재하며, 미분 형식(differential forms)의 관점에서 형식화할 수 있습니다. 공간의 방향가능성 개념의 일반화는 매개변수 값에서 방향의 변화에 따라 연속적으로 변하는 각 공간에서 방향이 선택되어야 하는 일부 다른 공간 (올-다발(fiber bundle))에 의해 매개변수화된 공간 가족의 방향-가능성입니다.
Orientable surfaces
유클리드 공간(Euclidean space) \(\mathbf{R}^3\)에서 표면 S는 만약 이-차원 도형이 표면 주위로 이동할 수 없고 원래의 거울 이미지처럼 보이도록 다시 시작 위치로 이동할 수 없으면 방향-가능입니다. 그렇지 않으면 표면은 비-방향가능입니다. 추상적 표면 (즉, 이-차원 매니폴드)은 만약 시계-방향 회전의 일관된 개념이 표면 위에 연속적인 방식에서 정의될 수 있으면 방향-가능입니다. 다시 말해서, 표면에서 한 방향으로 회전하는 루프는 반대 방향으로 회전하는 루프로 (자체 중첩 없이) 연속적으로 변형될 수 없습니다. 이것은 표면이 뫼비우스 띠(Möbius strip)와 위상-동형(homeomorphic)인 부분-집합이 포함하고 있지 않은지 여부에 대한 질문과 동등합니다. 따라서, 표면에 대해, 뫼비우스 띠가 모든 비-방향가능성의 원인으로 고려될 수 있습니다.
방향-가능 표면에 대해, "시계-방향" (반-시계방향과 반대)의 일관된 선택이 방향(orientation)이라고 불리고, 그 표면은 방향화(oriented)된 것이라고 불립니다. 유클리드 공간에 삽입된 표면에 대해, 방향은 모든 각 점에서 연속적으로 변하는 표면 법선(surface normal) n의 선택에 의해 지정됩니다. 만약 그러한 법선이 존재하면, 항상 그것을 선택하는 두 가지 방법: n 또는 −n이 있습니다. 보다 일반적으로, 방향-가능 표면은 정확히 두 방향을 허용하고, 방향화된 표면과 방향가능 표면 사이의 구분은 미묘하고 자주 흐릿합니다. 방향-가능 표면은 방향을 허용하는 추상 표면이고, 반면에 방향화된 표면은 추상적으로 방향-가능인 표면이고, 두 가지 가능한 방향 중 하나의 선택의 추가적인 데이터를 가집니다.
Examples
물리적 세계에서 접하는 대부분의 표면은 방향-가능입니다. 예를 들어, 구(Spheres), 평면(planes), 및 토러스(tori)는 방향-가능입니다. 그러나 뫼비우스 띠(Möbius strips), 실수 투영 평면(real projective planes), 및 클라인 병(Klein bottles)은 비-방향가능입니다. 그것들은, 3-차원으로 시각화된 것처럼, 모두 한 면만 가지고 있습니다. 실수 투영 평면과 클라인 병은 \(\mathbf{R}^3\)에 삽입될 수 없으며, 멋진 교차로만 몰입(immersed)됩니다.
지역적으로 삽입된 표면은 항상 두 면을 가지므로, 한-면 표면 위에 기어다니는 근시 개미는 "다른 면"이 있다고 생각할 것임을 주목하십시오. 한-면화의 본질은 개미가 표면을 통과하거나 가장자리를 뒤집지 않지만, 단순히 충분히 멀리 기어감으로써 표면의 한쪽에서 "다른 쪽"으로 기어갈 수 있다는 것입니다.
일반적으로, 방향-가능인 것의 속성은 두-면인 것과 동등하지 않습니다: 어쨌든, 이것은 주변 공간 (예를 들어 위의 R3)이 방향-가능일 때 유지됩니다. 예를 들어, 다음에 삽입된 토러스는
\(\quad\displaystyle K^2 \times S^1\)
한-면일 수 있고, 같은 공간에 있는 클라인 병은 두-면일 수 있습니다; 여기서 \(\displaystyle K^2\)는 클라인 병을 참조합니다.
Orientation by triangulation
임의의 표면은 삼각분할(triangulation)을 가집니다: 삼각형의 각 가장자리가 많아야 하나의 다른 가장자리에 붙음을 만족하는 삼각형으로 분해입니다. 각 삼각형은 삼각형 둘레 주위로 방향을 선택함으로써 방향화되며, 삼각형의 각 가장자리에 방향을 연결합니다. 만약 이것이, 함께 붙였을 때, 인접한 가장자리가 반대 방향을 가리키는 방법으로 수행되면, 이것이 표면의 방향을 결정합니다. 그러한 선택은 오직 표면이 방향-가능이면 가능하고, 이 경우에서 정확히 두 개의 다른 방향이 있습니다.
만약 원판 도형이 거울 이미지로 변경 없이 표면의 모든 점에 일관되게 위치될 수 있으면, 이것은 삼각형 내부에 있는 임의의 도형의 빨강-녹색-파랑 색상 순서에 기초하여 각 삼각형의 방향을 선택함으로써 삼각분할의 각 삼각형 위에 위의 의미에서 방향을 유도할 수 있습니다.
이 접근 방식은 삼각분할을 가지는 임의의 n-매니폴드에 일반화됩니다. 어쨌든, 일부 4-매니폴드는 삼각분할을 가지지 않고, 일반적으로 n > 4에 대해 일부 n-매니폴드는 비-동등한 것인 삼각분할을 가집니다.
Orientability and homology
만약 \(H_1(S)\)가 표면 S의 첫 번째 호몰로지(homology) 그룹을 나타내면, S가 방향-가능인 것과 \(H_1(S)\)가 자명한 꼬임 부분그룹(torsion subgroup)을 가지는 것은 필요충분 조건입니다. 보다 정확하게, 만약 S가 방향-가능이면 \(H_1(S)\)는 자유 아벨 그룹(free abelian group)이고, 그렇지 않으면 \(H_1(S)=F+ \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\)이며 여기서 F는 자유 아벨이고, Z/2Z 인수는 S에 삽입된 뫼비우스 끈(Möbius band)에서 중간 곡선에 의해 생성됩니다.
Orientability of manifolds
M을 연결된 토폴로지적 n-매니폴드라고 놓습니다. M이 방향-가능이라는 것이 무엇을 의미하는지에 대한 몇 가지 가능한 정의가 있습니다. 이들 정의 중 일부는 M이 미분-가능인 것과 같은 여분의 구조를 가질 것을 요구합니다. 때때로, n = 0는 특별한 경우로 만들어져야 합니다. 이들 정의 중 하나 이상이 M에 적용될 때, M이 하나의 정의 아래에서 방향-가능인 것과 그것이 나머지 다른 정의 아래에서 방향-가능인 것은 필요충분 조건입니다.
Orientability of differentiable manifolds
가장 직관적인 정의는 M이 미분-가능 매니폴드여야 함을 요구합니다. 이것은 M의 아틀라스에 있는 전이 함수가 C1-함수임을 의미합니다. 그러한 함수는 야코비 행렬식(Jacobian determinant)을 허용합니다. 야코비 행렬식이 양수일 때, 전이 함수는 방향 보존하는(orientation preserving) 것이라고 말합니다. M 위에 방향화된 아틀라스(oriented atlas)는 모든 전이 함수가 방향 보존하는 아틀라스입니다. M은 방향화된 아틀라스를 허용하면 방향-가능입니다. n > 0일 때, M의 방향은 최대 방향화된 아틀라스입니다. (n = 0일 때, M의 방향은 함수 M → {±1}입니다.)
방향-가능성과 방향은 접 다발의 관점에서 표현될 수도 있습니다. 접 다발은 벡터 다발(vector bundle)이므로, 그것은 구조 그룹(structure group) GL(n, R)을 갖는 올-다발(fiber bundle)입니다. 즉, 매니폴드의 전이 함수는 섬유-별 선형 변환인 접 다발에 전이 함수를 유도합니다. 만약 구조 그룹이 양의 행렬식 행렬의 그룹 \(\text{GL}^+(n, \mathbf{R})\)로 축소될 수 있으면, 또는 동등하게 만약 전이 함수가 각 접 공간 위에 선형 변환을 보존하는 방향을 결정하는 아틀라스가 존재하면, 매니폴드 M은 방향-가능입니다. 반대로, M이 방향-가능인 것과 접 다발의 구조 그룹이 이러한 방법으로 축소될 수 있는 것은 필요충분 조건입니다. 유사한 관찰이 프레임 다발에 대해 만들어질 수 있습니다.
미분-가능 매니폴드 위에 방향을 정의하는 또 다른 방법은 부피 형식(volume forms)을 통한 것입니다. 부피 형식은 M의 코탄젠트 다발의 꼭대기 외부 거듭제곱, \(\bigwedge^nT^{*}M\)의 아무 데도 사라지지 않는 섹션 ω입니다. 예를 들어, \(\mathbf{R}^n\)은 \(dx_1 \wedge \cdots \wedge dx^n\)에 의해 주어진 표준 부피 형식을 가집니다. M 위에 부피 형식이 주어지면, 표준 부피 형식이 ω의 양의 배수로 다시 당겨지는 모든 차트 \(U \to \mathbf{R}^n\)의 모음은 방향화된 아틀라스입니다. 따라서 부피 형식의 존재는 매니폴드의 방향가능성과 동등합니다.
부피 형식과 접 벡터는 방향가능성의 또 다른 설명을 제공하기 위해 결합될 수 있습니다. 만약 \(X_1,...,X_n\)이 점 p에서 접 벡터의 기저이면, 기저는 \(\omega(X_1,...,X_n) > 0\)이면 오른-손(right-handed)이라고 말합니다. 전이 함수가 방향 보존하는 것과 그것이 오른-손 기저를 오른-손 기저로 보내는 것은 필요충분 조건입니다. 부피 형식의 존재는 접 다발 또는 프레임 다발의 구조 그룹을 \(\text{GL}^+(n,\mathbf{R})\)으로 축소됨을 의미합니다. 이전과 마찬가지로, 이것은 M의 방향가능성을 의미합니다. 반대로, M이 방향-가능이면, 지역 부피 형식은 전역 부피 형식을 만들기 위해 함께 고쳐질 수 있으며, 방향가능성은 전역 형식이 어디에서나 사라지지 않음을 보장하기 위해 필요합니다.
Homology and the orientability of general manifolds
미분-가능 매니폴드의 방향가능성에 대한 위의 모든 정의의 핵심은 방향을 보존하는 전이 함수의 개념입니다. 이것은 그러한 전이 함수가 정확히 무엇을 보존하는지에 대한 질문을 제기합니다. 매니폴드의 방향은 아틀라스이기 때문에 매니폴드의 방향을 유지할 수 없고, 전이 함수가 자신이 속한 아틀라스를 보존하거나 보존하지 않는다고 말하는 것은 의미가 없습니다.
이 질문은 지역 방향을 정의함으로써 해결될 수 있습니다. 일-차원 매니폴드 위에, 점 p 주위의 지역 방향은 해당 점 근처의 왼쪽과 오른쪽 선택에 해당합니다. 이-차원 매니폴드 위에, 그것은 시계-방향과 반-시계방향의 선택에 해당합니다. 이들 두 상황은 p 근처이지만 p에서는 아닌 꼭대기-차원 동작으로 설명된다는 공통된 특징을 공유합니다. 일반적인 경우에 대해, M을 토폴로지적 n-매니폴드라고 놓습니다. 점 p 주위의 M의 지역 방향(local orientation)은 그룹 생성기의 선택입니다:
\(\quad\displaystyle H_n\left(M, M \setminus \{p\}; \mathbf{Z}\right).\)
이 그룹의 기하학적 중요성을 보기 위해, p 주위의 차트를 선택하십시오. 그 차트에서, 원점 O 주위에 열린 공 B인 p의 이웃이 있습니다. 절단 정리(excision theorem)에 의해, \(\displaystyle H_n\left(M, M \setminus \{p\}; \mathbf{Z}\right)\)은 \(\displaystyle H_n\left(B, B \setminus \{O\}; \mathbf{Z}\right)\)와 동형입니다. 공 B는 축약-가능이므로, 그것의 호몰로지 그룹은 차수 영을 제외하고 사라지고, 공간 B \ O는 (n − 1)-구이므로, 그것의 호몰로지 그룹은 차수 n − 1과 0을 제외하고 사라집니다. 상대적 호몰로지(relative homology)의 긴 정확한 수열(long exact sequence)을 갖는 계산은 위의 호몰로지 그룹이 \(\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1}; \mathbf{Z}\right) \cong \mathbf{Z}\)와 동형임을 보여줍니다. 따라서 생성기의 선택은, 주어진 차트에서, p 주위의 구가 양수인지 음수인지의 결정에 해당합니다. 원점을 통한 \(\mathbf{R}^n\)의 반사는 \(\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1}; \mathbf{Z}\right)\)에 대한 부정으로 작용하므로, 생성기 선택의 기하학적 중요성은 차트와 그것들의 반사를 구별한다는 것입니다.
토폴로지적 매니폴드 위에, 전이 함수는 만약, 도메인에서 각 점 p에서, 그것이 \(\displaystyle H_n\left(M, M \setminus \{p\}; \mathbf{Z}\right)\)의 생성기를 고정하면, 방향 보존하는(orientation preserving) 것입니다. 여기에서, 관련 정의는 미분-가능 경우와 같습니다. 방향화된 아틀라스(oriented atlas)는 모든 전이 함수가 방향 유지하는 것 중 하나이며, M은 만약 그것이 방향화된 아틀라스를 허용하면 방향-가능이고, n > 0일 때, M의 방향은 최대 방향화된 아틀라스입니다.
직관적으로, M의 방향은 각 점에서 M의 고유한 지역 방향을 정의해야 합니다. 이것은 p 주위에 방향화된 아틀라스에서 임의의 차트가 p 주위의 구를 결정하기 위해 사용될 수 있고, 이 구는 \(\displaystyle H_n\left(M, M \setminus \{p\}; \mathbf{Z}\right)\)의 생성기를 결정됨을 주의함으로써 정확하게 만듭니다. 더욱이, p 주위의 임의의 다른 차트는 방향 보존하는 전이 함수에 의해 첫 번째 차트와 관련되고, 이것은 두 차트가 같은 생성기를 산출한다는 것을 의미하며, 그것으로부터 생성기는 고유합니다.
순수한 호몰로지 정의도 가능합니다. M이 닫혀 있고 연결되어 있다고 가정하면, M이 방향-가능인 것과 n번째 호몰로지 그룹 \(\displaystyle H_n(M; \mathbf{Z})\)이 정수 Z와 동형인 것은 필요충분 조건입니다. M의 방향은 이 그룹의 생성기 α의 선택입니다. 이 생성기는 무한 순환 그룹 \(\displaystyle H_n(M ; \mathbf{Z})\)의 생성기를 고정하고 방향화된 차트를 α가 고정된 생성기를 앞으로 밀어내는 차트로 취함으로써 방향화된 아틀라스를 결정합니다. 반대로, 방향화된 아틀라스는 호몰로지 그룹 \(\displaystyle H_n(M ; \mathbf{Z})\)에 대해 생성기를 제공하기 위해 함께 접착될 수 있는 호환-가능한 지역 방향과 같은 생성기를 결정합니다.
Orientation and cohomology
매니폴드 M이 방향-가능인 것과 첫 번째 스티펠-휘트니 클래스(Stiefel–Whitney class) \(\displaystyle w_1(M) \in H^1(M; \mathbf{Z}/2)\)가 사라지는 것은 필요충분 조건입니다. 특히, Z/2 계수를 갖는 첫 번째 코호몰로지 그룹이 영이면, 매니폴드는 방향-가능입니다. 더욱이 M이 방향-가능이고 \(w_1\)이 사라지면, \(\displaystyle H^0(M; \mathbf{Z}/2)\)는 방향의 선택을 매개변수화합니다. 이러한 방향성 특성화는 단지접 다발이 아니라 M에 걸쳐 일반 벡터 다발의 방향가능성(orientability of general vector bundles)으로 확장됩니다.
The orientation double cover
M의 각 점 주위에 두 개의 지역 방향이 있습니다. 직관적으로, 점 p에서 지역 방향으로부터 가까운 점 p′의 지역 방향으로 이동하는 방법이 있습니다: 두 점이 같은 좌표 차트 \(U \to \mathbf{R}^n\)에 놓여 있을 때, 해당 좌표 차트는 p와 p′에서 호환-가능 지역 방향을 정의합니다. 따라서 지역 방향 집합은 토폴로지가 주어질 수 있고, 이 토폴로지는 그것을 매니폴드로 만듭니다.
더 정확하게, O를 M의 모든 지역 방향의 집합이라고 놓습니다. O를 토폴로지화하기 위해, 우리는 그것의 토폴로지에 대해 부분기저를 지정할 것입니다. U를 \(\displaystyle H_n(M, M \setminus U; \mathbf{Z})\)이 Z와 동형임을 만족하는 선택된 M의 열린 부분집합이라고 놓습니다. α가 이 그룹의 생성기라고 가정합니다. U에서 각 p에 대해, 밂 함수 \(\displaystyle H_n(M, M \setminus U; \mathbf{Z}) \to H_n\left(M, M \setminus \{p\}; \mathbf{Z}\right)\)가 있습니다. 이 그룹의 코도메인은 두 개의 생성기를 가지고, α는 그 중 하나에 매핑됩니다. O 위에 토폴로지는 다음이 열린 것이 되도록 정의됩니다:
\(\quad\displaystyle \{\text{Image of } \alpha \text{ in } H_n\left(M, M \setminus \{p\}; \mathbf{Z}\right) \colon p \in U\}.\)
로컬 방향을 p에서 p로 보내는 정식의 맵 π : O → M이 있습니다. M의 모든 각 점은 π 아래에서 정확하게 두 개의 이전-이미지를 가지고 있음이 분명합니다. 사실, π는 심지어 지역 위상-동형인데, 왜냐하면 위에서 언급한 열린 집합 U의 이전-이미지는 U의 두 복사본의 서로소 합집합에 위상-동형이기 때문입니다. M이 방향-가능이면, M 자체는 이들 열린 집합 중 하나이므로, O는 M의 두 복사본의 서로소 합집합입니다. 어쨌든, M이 비-방향가능이면, O는 연결되어 있고 방향-가능입니다. 매니폴드 O는 방향 이중 덮개(orientation double cover)라고 불립니다.
Manifolds with boundary
M이 경계를 갖는 매니폴드이면, M의 방향은 그것의 내부의 방향으로 정의됩니다. 그러한 방향은 ∂M의 방향을 유도합니다. 실제로, M의 방향이 고정되어 있다고 가정합니다. \(U \to {\mathbf{R}^n}_+\)를 M의 내부로 제한될 때 선택된 방향화된 아틀라스에 있는 M의 경계 점에서 차트라고 놓습니다. 이 차트의 ∂M에 대한 제한은 ∂M의 차트입니다. 그러한 차트는 ∂M에 대해 방향화된 아틀라스를 형성합니다.
M이 매끄러운 것일 때, ∂M의 각 점 p에서, ∂M에 대한 M의 접 다발의 제한은 \(T_p \partial M \oplus \mathbf{R}\)와 동형이며, 여기서 R의 인수는 안쪽을 가리키는 법선 벡터로 설명됩니다. \(T_p \partial M\)의 방향은 \(T_p \partial M\)의 기저가 양수적으로 방향화되는 것과 그것이, 안쪽을 가리키는 법선 벡터와 결합될 때, \(T_p M\)의 양수적으로 방향화된 기저를 정의하는 것이 필요충분 조건이라는 조건에 의해 정의됩니다.
Orientable double cover
밀접하게 관련된 개념은 덮는 공간(covering space)의 개념을 사용합니다. 연결된 매니폴드 M에 대해 M*, 쌍 (x, o)의 집합을 취합니다. 여기서 x는 M의 점이고 o는 x에서 방향입니다; 여기서 우리는 M이 매끄러운 것이므로 한 점에서 접 공간의 방향을 선택할 수 있거나 방향을 정의하기 위해 특이 호몰로지(singular homology)를 사용하는 것으로 가정합니다. 그런-다음 M의 모든 각 열린, 방향화된 부분집합에 대해, 해당 쌍 집합을 고려하고 M*의 열린 집합으로 정의합니다. 이것은 M*에 토폴로지를 제공하고 x에 (x, o)를 보내는 투영은 그때에 2-에서-1 덮는 맵입니다. 이 덮는 공간은 방향-가능이기 때문에 방향-가능 이중 덮개(orientable double cover)라고 불립니다. M*이 연결된 것과 M이 방향-가능이 아닌 것은 필요충분 조건입니다.
이 덮개를 구성하는 또 다른 방법은 기준점을 기준으로 루프를 방향-보존하는 또는 방향-반전하는 루프로 나누는 것입니다. 방향 보존하는 루프는 전체 그룹 또는 인덱스(index) 2인 기본 그룹의 부분그룹을 생성합니다. 후자의 경우 (즉, 방향반전하는 경로가 있음을 의미함)에서, 부분그룹은 연결된 이중 덮개에 해당합니다; 이 덮개는 구성에 의해 방향-가능입니다. 전자의 경우에서, 각각 다른 방향에 해당하는 두 개의 M 복사본을 취할 수 있습니다.
Orientation of vector bundles
하나의 선험(a priori)이 GL(n) 구조 그룹을 가지는 실수 벡터 다발은 구조 그룹(structure group)이 양의 행렬식(determinant)을 갖는 행렬(matrices) 그룹, \(\displaystyle GL^{+}(n)\)으로 축소될 수 있을 때 방향-가능(orientable)이라고 불립니다. 접 다발(tangent bundle)에 대해, 이 축소는 놓여있는 기본 매니폴드가 방향-가능이면 항상 가능하고 실제로 이것은 매끄러운(smooth) 실수 매니폴드의 방향가능성을 정의하는 편리한 방법을 제공합니다: 매끄러운 매니폴드는 그것의 접 다발(tangent bundle)이 (벡터 다발로) 방향-가능이면 방향-가능인 것으로 정의됩니다. 그 자체로 매니폴드로서, 접 다발이 심지어 비-방향가능 매니폴드에 걸쳐 항상 방향-가능임을 주목하십시오.
Related concepts
Lorentzian geometry
로렌츠 기하학(Lorentzian geometry)에서, 공간 방향가능성(space orientability)과 시간 방향가능성(time orientability)의 두 종류의 방향가능성이 있습니다. 이것들은 시공간의 인과적 구조(causal structure)에서 역할을 합니다. 일반 상대성(general relativity)의 맥락에서, 시공간 매니폴드는 만약, 두 명의 오른-손 관찰자가 같은 시공간지점에서 출발하여 로켓선을 타고 출발하고, 그런-다음 또 다른 지점에서 다시 만날 때마다, 그것들이 서로에 관해 오른-손으로 남아 있으면, 공간 방향-가능입니다. 만약 시공간이 시간-방향가능이면 두 관찰자는 그들의 만남의 두 지점에서 항상 시간의 방향에 일치할 것입니다. 사실, 시공간이 시간-방향가능인 것과 임의의 두 관찰자가 두 만남 중 어느 만남이 다른 만남보다 먼저 일치할 수 있는 것은 필요충분 조건입니다.
공식적으로, 유사-직교 그룹(pseudo-orthogonal group) O(p,q)은 한 쌍의 성격(characters)을 가집니다: 공간 방향 성격 \(\sigma_+\)와 시간 방향 성격 σ를 가집니다:
\(\quad\displaystyle \sigma_{\pm} : \operatorname{O}(p, q)\to \{-1, +1\}.\)
그것들의 곱 \(\sigma = \sigma_+ \sigma_-\)는 방향 성격을 제공하는 결정자입니다. 유사-리만 매니폴드의 공간-방향은 결합된 다발(associated bundle)의 단면(section)으로 식별됩니다:
\(\quad\displaystyle \operatorname{O}(M) \times_{\sigma_+} \{-1,+1\}\)
여기서 O(M)은 유사-직교 프레임의 다발입니다. 유사하게, 시간 방향은 다음 결합된 다발의 단면입니다:
\(\quad\displaystyle \operatorname{O}(M) \times_{\sigma_-} \{-1,+1\}.\)
References
- Munroe, Marshall Evans (1963). Modern multidimensional calculus. Addison-Wesley. p. 263.
- Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds. HarperCollins. ISBN 978-0-8053-9021-6.
- Hatcher, Allen (2001). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 978-0521795401.
- Hatcher 2001, p. 236 Theorem 3.26(a)
- Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Spin Geometry. Princeton University Press. p. 79 Theorem 1.2. ISBN 0-691-08542-0.
- Hawking, S.W.; Ellis, G.F.R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge University Press. ISBN 0-521-20016-4.
- Hadley, Mark J. (2002). "The Orientability of Spacetime" (PDF). Classical and Quantum Gravity. 19 (17): 4565–71. arXiv:gr-qc/0202031v4. CiteSeerX 10.1.1.340.8125. doi:10.1088/0264-9381/19/17/308.
External links
- Orientation of manifolds at the Manifold Atlas.
- Orientation covering at the Manifold Atlas.
- Orientation of manifolds in generalized cohomology theories at the Manifold Atlas.
- The Encyclopedia of Mathematics article on Orientation.
