기하학(geometry)에서, 직선(line), 평면(plane), 또는 강체(rigid body)와 같은 대상의 방향(orientation, angular position, attitude, bearing, 또는 direction)은 대상이 차지하는 공간(space)에 배치되는 방법에 대한 설명의 일부입니다. 더 구체적으로, 그것은 대상을 참조 배치에서 현재 배치로 이동하는 데 필요한 가상 회전(rotation)을 참조합니다. 회전이 현재 배치에 도달하기에 충분하지 않을 수 있습니다. 그것은 대상의 위치(location, 또는 position, 또는 linear position)라고 불리는 가상 평행이동(translation)을 추가해야 할 수도 있습니다. 위치와 방향은 함께 대상이 공간에 배치되는 방법을 완전히 설명합니다. 위에서-언급된 가상의 회전과 평행이동은 대상의 방향이 평행이동할 때 바뀌지 않고, 그것의 위치가 회전할 때 바뀌지 않기 때문에 임의의 순서로 발생하는 것으로 생각될 수 있습니다.
오일러의 회전 정리(Euler's rotation theorem)는 3차원에서 임의의 회전이 고정된 축 주위의 단일 회전으로 도달될 수 있음을 보여줍니다. 이것은 축-각도 표현(axis–angle representation)을 사용하여 방향을 표현하는 공통적인 방법 중 하나를 제공합니다. 널리 사용되는 다른 방법은 회전 쿼터니언(rotation quaternions), 회전자(rotors), 오일러 각도(Euler angles), 또는 회전 행렬(rotation matrices)을 포함합니다. 보다 전문적인 용도는 결정학에서 밀러 인덱스(Miller indices), 지질학에서 스트라이크 및 딥(strike and dip), 지도와 표지판 위에 비탈(grade)을 포함합니다. 단위 벡터(Unit vector)는 대상의 법선 벡터(normal vector) 방향 또는 두 점 사이의 상대 방향(relative direction)을 나타내는 데에도 사용될 수 있습니다.
전형적으로, 방향은 보통 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)으로 지정되는 참조의 프레임(frame of reference)에 관해 지정됩니다. 같은 방향을 공유하는 두 물체는 (평행 직선에서와 같이) 동방향(codirectional)이라고 말합니다.
Mathematical representations
Three dimensions
일반적으로 강체의 공간에서 위치와 방향은 강체에 관해 고정되고, 따라서 그것 (몸체의 지역적 참조 프레임, 또는 지역적 좌표 시스템)과 함께 평행이동과 회전하는 또 다른 참조 좌표계의 주요 참조 프레임에 상대적인 위치와 방향으로 정의됩니다. 적어도 세 개의 독립 값이 이 지역적 프레임의 방향을 설명하기 위해 필요합니다. 세 개의 다른 값은 대상 위에 점 위치를 설명합니다. 몸체의 모든 점은 회전 축 위에 놓이는 점을 제외하고 회전하는 동안 위치가 변경됩니다. 만약 강체가 회전 대칭(rotational symmetry)이면 알려진 시작 방향에서 방향이 시간에 따라 어떻게 전개되는지 관찰하는 것을 제외하고는 모든 방향이 구별될 수 없습니다. 예를 들어, 직선(line), 선분(line segment), 또는 벡터(vector)의 공간에서 방향은 오직 두 개의 값, 예를 들어, 두 개의 방향 코사인(direction cosines)으로 지정될 수 있습니다. 또 다른 예제는 경도와 위도의 두 각도를 사용하여 측정된 지구의 중심과 점을 연결하는 선의 방향을 사용하여 종종 설명되는 지구 위의 점 위치입니다. 마찬가지로, 평면(plane)의 방향은 예를 들어 해당 평면에 법선(normal)인 직선의 방향을 지정함으로써, 또는 스트라이크와 딥을 사용함으로써 두 값으로 설명될 수 있습니다.
3차원에서 강체와 평면의 방향을 나타내기 위한 수학적 방법에 대한 자세한 내용은 다음 섹션에서 제공됩니다.
Two dimensions
2차원에서, 임의의 대상 (직선, 벡터, 또는 평면 도형)의 방향은 단일 값: 대상이 회전한 각도로 지정됩니다. 오직 하나의 자유도와 회전이 발생하는 오직 하나의 고정 점이 있습니다.
Rigid body in three dimensions
삼차원에서 강체의 방향을 설명하기 위한 여러 방법이 개발되어 왔습니다. 그것들은 다음 섹션에 요약되어 있습니다.
Euler angles
방향을 나타내기 위한 첫 번째 시도는 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)에 기인합니다. 그는 서로를 중심으로 회전할 수 있는 세 개의 참조 프레임을 상상했고, 고정된 참조 프레임에서 시작하고 세 번의 회전을 수행함으로써, 공간에 있는 임의의 다른 참조 프레임을 얻을 수 있다는 것을 깨달았습니다 (수직 축을 고정하기 위해 두 번의 회전을 사용하고 다른 두 축을 고정하기 위해 또 다른 회전을 사용함). 이들 세 회전의 값은 오일러 각도(Euler angles)라고 불립니다.
Tait–Bryan angles
이것들은 요(yaw), 피치 및 롤(pitch and roll), 내비게이션 각도(Navigation angles) 및 카르단 각도(Cardan angles)라고도 하는 세 개의 각도입니다. 수학적으로 그것들은 오일러 각도의 12개의 가능한 집합 내에서 6개의 가능성 집합을 구성하며, 순서는 비행기와 같은 운송 수단의 방향을 설명하는 데 가장 잘 사용되는 것입니다. 항공 우주 공학에서, 그것들은 보통 오일러 각이라고 참조됩니다.
Orientation vector
오일러는 역시 두 회전의 합성이 다른 고정 축에 대한 단일 회전과 동일하다는 것을 깨달았습니다 (오일러의 회전 정리). 그러므로, 앞의 세 각도의 구성은 오직 1회전과 같아야 하며, 그 축은 행렬이 개발되기 전까지는 계산이 복잡했습니다.
이 사실을 바탕으로 그는 회전 축 위의 벡터와 각도 값과 같은 모듈을 갖는 임의의 회전을 설명하기 위한 벡터-관련 방법을 도입했습니다. 그러므로, 임의의 방향은 참조 프레임에서 그것으로 이어지는 회전 벡터 (오일러 벡터라고도 함)에 의해 나타낼 수 있습니다. 방향을 나타내기 위해 사용될 때, 회전 벡터는 공통적으로 방향 벡터, 또는 자세 벡터(attitude vector)라고 불립니다.
축-각도 표현(axis–angle representation)이라고 불리는 유사한 방법은 회전 축과 정렬된 단위 벡터(unit vector)를 사용하여 회전 또는 방향을 설명하고, 각도를 나타내기 위해 별도의 값을 나타냅니다 (그림 참조).
Orientation matrix
행렬의 도입과 함께, 오일러 정리가 다시 작성되었습니다. 회전은 회전 행렬 또는 방향 코사인 행렬이라고 참조되는 직교 행렬(orthogonal matrices)에 의해 설명되었습니다. 방향을 나타내는 데 사용될 때, 회전 행렬은 공통적으로 방향 행렬, 또는 자세 행렬이라고 불립니다.
위에서-언급된 오일러 벡터는 회전 행렬의 고유-벡터(eigenvector)입니다 (회전 행렬은 고유한 실수 고윳값(eigenvalue)을 가집니다). 두 회전 행렬의 곱은 회전의 합성입니다. 그러므로, 이전과 마찬가지로, 방향은 우리가 설명하기를 원하는 프레임을 달성하기 위한 초기 프레임에서 회전으로 주어질 수 있습니다.
n-차원 공간에서 비-대칭적(symmetrical) 대상의 구성 공간(configuration space)은 \(\text{SO}(n) \times \mathbf{R}^n\)입니다. 방향은 물체에 접 벡터(tangent vectors)의 기저를 부착함으로써 시각화될 수 있습니다. 각 벡터가 가리키는 방향에 따라 방향이 결정됩니다.
Orientation quaternion
회전을 설명하기 위한 또 다른 방법은 버서(versors)라고도 불리는 회전 쿼터니언(rotation quaternions)을 사용하는 것입니다. 그것들은 회전 행렬 및 회전 벡터와 동등합니다. 회전 벡터에 관해, 그것들은 행렬로 또는 행렬에서 더 쉽게 변환될 수 있습니다. 방향을 나타내기 위해 사용될 때, 회전 쿼터니언은 전형적으로 방향 쿼터니언 또는 자세 쿼터니언이라고 불립니다.
Plane in three dimensions
Miller indices
격자 평면(lattice plane)의 자세는 평면에 법선인 직선의 방향이고, 평면의 밀러 인덱스(Miller indices)에 의해 설명됩니다. 3-공간에서, 평면의 가족 (일련의 평행 평면)은 밀러 인덱스 (hkl)에 의해 표시될 수 있으므로, 평면의 가족은 모든 그것의 구성 평면에 공통적인 자세를 가집니다.
Strike and dip
지질학에서 관찰되는 많은 특색은 평면 또는 직선이고, 그것들의 방향은 공통적으로 그것들의 자세(attitude)라고 참조됩니다. 이들 자세는 두 가지 각도로 지정됩니다.
직선에 대해, 이들 각도는 트렌드(trend) 및 플런지(plunge)이라고 합니다. 트렌드는 직선의 나침반 방향이고, 플런지는 수평 평면과 만드는 아래쪽 각도입니다.
평면에 대해, 두 각도는 스트라이크 (각도) 및 딥 (각도)이라고 불립니다. 스트라이크 직선은 관찰된 평면 특색 (따라서 수평 직선)과 수평 평면의 교차점이고, 스트라이크 각도는 이 직선의 방위(bearing, 즉, 지리적 북쪽 또는 자기 북쪽에 상대적임)입니다. 딥은 스트라이크 직선에 수직인 세 번째 수직 평면에서 관찰되는 것과 같이 수평 평면과 관찰된 평면 특색 사이의 각도입니다.
Usage examples
Rigid body
강체의 자세는 예를 들어 고정된 참조 프레임에 상대적인 몸체에 고정된 프레임의 방향에 의해 설명되는 강체의 방향입니다. 자세는 자세 좌표에 의해 설명되고, 적어도 3개의 좌표로 구성됩니다. 강체의 방향을 지정하는 한 가지 방법은 몸체-축 회전을 기반으로 합니다; 몸체의 고정된 참조 프레임의 축을 중심으로 세 번 연속 회전하여, 몸체의 오일러 각도(Euler angles)를 수립합니다. 또 다른 하나는 롤(roll), 피치(pitch), 및 요(yaw)를 기반으로 하지만, 이들 용어는 공칭 자세에서 점진적인 편차를 참조하기도 합니다.
References
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