(번역) Open set

Original article: w:Open set

 

수학(mathematics)에서, 열린 집합은 실수 직선(real line)에서 열린 구간(open interval)의 일반화(generalization)입니다. 메트릭 공간(metric space)에서, 즉, 거리 함수(distance function)가 정의될 때, 열린 집합은 모든 점 각 P와 함께 P에 충분하게 가까운 모든 점 (즉, P까지의 그것의 거리가 P에 의존하는 일부 값보다 작은 모든 점)을 포함하는 집합(sets)입니다.

보다 일반적으로, 우리는 열린 집합을 주어진 집합의 부분집합의 주어진 모음의 구성원, 그것의 구성원의 모든 각 합집합(union)을 포함하는 속성을 가지는 모음, 그것의 구성원의 모든 유한 교집합(intersection), 빈 집합(empty set), 및 전체 집합 자체로 정의합니다. 이러한 모음이 주어지는 집합은 토폴로지적 공간(topological space)이라고 불리고, 그 모음은 토폴로지(topology)라고 불립니다. 이들 조건은 매우 느슨하고, 열린 집합의 선택에서 엄청난 유연성을 허용합니다. 예를 들어, 모든 각 부분집합이 열린 것일 수 있거나 (이산 토폴로지(discrete topology)), 공간 자체와 빈 집합을 제외하고 어떤 집합도 열린 것이 아닐 수 있습니다 (비이산 토폴로지(indiscrete topology)).

실제로, 어쨌든, 열린 집합은 보통 정의된 거리의 개념을 가짐없이 메트릭 공간의 그것과 유사한 근접성의 개념을 제공하기 위해 선택됩니다. 특히, 토폴로지는 원래 거리에 의해 정의되었던 연속성(continuity), 연결성(connectedness), 및 컴팩트성(compactness)과 같은 속성을 정의하는 것을 허용합니다.

실제로, 어쨌든, 열린 집합은 보통 정의된 거리의 개념을 가짐없이 메트릭 공간의 그것과 유사한 근접성의 개념을 제공하기 위해 선택됩니다. 특히, 토폴로지는 원래 거리에 의해 정의되었던 연속성(continuity), 연결성(connectedness), 및 컴팩트성(compactness)과 같은 속성을 정의하는 것을 허용합니다.

Motivation

직관적으로, 열린 집합은 두 점(points)을 구별하기 위한 방법을 제공합니다. 예를 들어, 만약 토폴로지적 공간(topological space)에서 두 점 중 한 점에 대한, 다른 (구별되는) 점을 포함하지 않는 열린 집합이 있으면, 두 점은 토폴로지적으로 구별가능(topologically distinguishable)으로 참조됩니다. 이러한 방식으로, 우리는 토폴로지적 공간의 두 지점, 또는 더 일반적으로 둘의 부분집합(subset)이 거리(distance)를 구체적으로 정의하지 것없이 "근처"에 있는지 여부를 말할 수 있습니다. 그러므로, 토폴로지적 공간은 메트릭 공간(metric space)이라고 불리는 거리의 개념을 갖춘 공간의 일반화로 보일 수 있습니다.

모든 실수(real number)의 집합에서, 우리는 자연스러운 유클리드 메트릭을 가집니다; 즉, 두 실수 사이의 거리를 측정하는 함수: d(x, y) = |x − y|를 가집니다. 그러므로, 실수 x가 주어지면, 우리는 그 실수에 가까운 모든 점의 집합에 대해 말할 수 있습니다; 즉, x의 ε 이내입니다. 본질적으로, x의 ε 내의 점은 x에 ε 정도의 정확도로 근사합니다. ε > 0은 항상 그렇지만 ε가 점점 작아짐에 따라, 우리는 x를 점점 더 높은 정확도로 근사하는 점을 얻음을 주목하십시오. 예를 들어, 만약 x = 0이고 ε = 1이면, x의 ε 내의 점은 정확하게 구간(interval) (−1, 1)의 점입니다; 즉, −1과 1 사이의 모든 실수의 집합입니다. 어쨌든, ε = 0.5와 함께, x의 ε 내의 점은 정확하게 (−0.5, 0.5)의 점입니다. 분명히, 이들 점은 ε = 1일 때보다 더 높은 정확도로 x에 근사합니다.

이전 논의는, x = 0에 대해, 우리가 ε을 점점 더 작게 정의함으로써 x를 점점 더 높은 정밀도로 근사할 수 있음을 보여줍니다. 특히, (−ε, ε) 형식의 집합은 x = 0에 가까운 점에 대한 많은 정보를 제공합니다. 따라서, 구체적인 유클리드 메트릭을 말하는 대신, 우리는 집합을 x에 가까운 점을 설명하기 위해 사용할 수 있습니다. 이 혁신적인 아이디어는 광범위한 결과를 가져옵니다; 특히, (집합 (−ε, ε)와 구별되는) 0을 포함하는 다른 집합의 모음을 정의함으로써, 우리는 0과 다른 실수 사이의 거리에 관한 다른 결과를 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 만약 우리가 R을 "거리 측정"에 대해 유일한 그러한 집합으로 정의하면, 모든 점은 0으로 가까워지는데 왜냐하면 우리가 R의 구성원이 되는 0에 근사에서 달성할 수 있는 오직 하나의 가능한 정밀도가 있기 때문입니다. 따라서, 우리는 어떤 의미에서, 모든 각 실수는 0에서 떨어져 거리 0이라는 것을 알았습니다. 이 경우에서 측정을 이진 조건으로 생각하는 것이 도움이 될 수 있습니다: R에서 모든 것은 똑같이 0에 가깝지만, R에 있지 않는 임의의 항목은 R에서 0에 가깝지 않습니다.

일반적으로, 우리는 이웃 기저(neighborhood basis)로, 0을 근사하기 위해 사용되는, 0을 포함하는 집합의 가족을 참조합니다; 이 이웃 기저의 구성원은 열린 집합으로 참조됩니다. 사실, 우리는 이들 개념을 단지 실수가 아닌 임의적인 집합 (X)으로 일반화할 수 있습니다. 이 경우에서, 해당 집합의 점 (x)이 주어지면, 우리는 x를 근사화하기 위해 사용되는 x "주변" (즉, 포함하는) 집합의 모음을 정의할 수 있습니다. 물론, 이 모음은 (공리로 알려져 있는) 특정 속성을 만족시켜야 하는데 왜냐하면 그렇지 않으면 우리는 거리를 측정하기 위한 잘-정의된 방법을 가질 수 없기 때문입니다. 예를 들어, X에서 모든 각 점은 어떤 정밀도의 정도로 x를 근사해야 합니다. 따라서 X는 이 가족에 있어야 합니다. 한번 우리가 x를 포함하는 "더 작은" 집합을 정의하기 시작하면, 우리는 x를 더 높은 정밀도로 근사하는 경향이 있습니다. 이것을 염두에 두고, 우리는 x에 대한 집합의 가족이 마족시켜야 하는 남아있는 공리를 정의할 수 있습니다.

Definitions

여러 정의가 전문적인 사항의 증가하는 순서에서 여기에 제공됩니다. 각각의 하나는 다음 하나의 특별한 경우입니다.

Euclidean space

유클리드 n-공간 ${\mathbf{R}}^n$의 부분집합 $U$는 만약, $U$에서 모든 각 점 x에 대해, Rn에서 한 점이 x로부터의 그것의 유클리드 거리(Euclidean distance)가 ε보다 작아지자마자 $U$에 속함을 만족하는 (x에 의존하는) 양의 실수 ε가 존재하면 열린 것입니다. 동등하게, ${\mathbf{R}}^n$의 부분집합 ${\displaystyle U}$는 만약 ${\displaystyle U}$에서 모든 각 점이 ${\displaystyle U}$에 포함된 열린 공(open ball)의 중심이면 열린 것입니다.

Metric space

메트릭 공간(metric space) (M, d)의 부분집합 U는 만약, U에서 임의의 점 x가 주어지고, d(x, y) < ε를 만족시키는 임의의 점 ${\displaystyle y\in M}$가 주어지면, y가 역시 U에 속함을 만족하는 실수 ε > 0가 존재하면 열린 것이라고 불립니다. 동등하게, U는 만약 U에서 모든 각 점이 U에 포함된 이웃을 가지면 열린 것입니다.

이것은 유클리드 공간 예제를 일반화하는데, 왜냐하면 유클리드 거리를 갖는 유클리드 공간이 메트릭 공간이기 때문입니다.

Topological space

토폴로지적 공간(topological space)은 토폴로지(topology)가 정의된 집합이며, 이것은 열린 것이라고 말해지는 부분집합의 모음으로 구성되고, 아래 주어진 공리를 만족시킵니다.

보다 정확하게, ${\displaystyle X}$를 집합으로 놓습니다. ${\displaystyle X}$의 부분집합의 가족 ${\displaystyle \tau }$는 ${\displaystyle X}$ 위에 토폴로지이고, ${\displaystyle \tau }$의 원소는 만약 다음이면 토폴로지의 열린 집합입니다:

• ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle \varnothing }$ 둘 다는 열린 집합입니다: ${\displaystyle X\in \tau }$ and ${\displaystyle \varnothing \in \tau }$
• 열린 집합의 임의의 합집합은 열린 집합입니다: 만약 ${\displaystyle \{U_i:i\in I\}\subseteq \tau }$이면 다음입니다:${\displaystyle \bigcup _{i\in I}{U}_i\in \tau }$
• 열린 집합의 임의의 유한 교집합은 열린 집합입니다: 만약 ${\displaystyle U_1,\dots ,U_n\in \tau }$이면 다음입니다:${\displaystyle U_1\cap \cdots \cap U_n\in \tau }$

열린 집합의 무한 교집합은 열린 것일 필요는 없습니다. 예를 들어, 형식 ${\displaystyle (-1/n,1/n)}$의 모든 구간의 교집합은, 여기서  ${\displaystyle n}$은 양의 정수이며, 실수 직선에서 열린 것이 아닌 집합 ${\displaystyle \{0\}}$입니다.

메트릭 공간은 토폴로지적 공간이며, 그것의 토폴로지는 열린 공의 합집합인 모든 부분집합의 모음으로 구성됩니다. 어쨌든, 메트릭 공간이 아닌 토폴로지적 공간이 있습니다.

Special types of open sets

Clopen sets and non-open and/or non-closed sets

하나의 집합은 열린, 닫힌, 둘 다, 또는 둘 다 아닐 수 있습니다. 특히, 열린 집합과 닫힌 집합은 서로 배타적이지 않고, 일반적으로 토폴로지적 공간의 부분집합에 대해 동시에 열린 부분집합과 닫힌 부분집합 둘 다가 될 수 있음을 의미합니다. 그러한 부분집합은 닫힌-열린 집합으로 알려져 있습니다. 명시적으로, 토폴로지적 공간 ${\displaystyle (X,\tau )}$의 부분집합 ${\displaystyle S}$는 만약 ${\displaystyle S}$와 그것의 여집합 ${\displaystyle X\setminus S}$ 둘 다가 ${\displaystyle (X,\tau )}$의 열린 부분집합이면; 또는 동등하게, 만약 ${\displaystyle S\in \tau }$와 ${\displaystyle X\setminus S\in \tau }$이면, 닫힌-열린 것이라고 불립니다.

임의의 토폴로지적 공간 ${\displaystyle (X,\tau )}$에서, 빈 집합 ${\displaystyle \varnothing }$과 집합 ${\displaystyle X}$ 자체는 항상 열린 것입니다. 이들 두 집합은 가장 잘-알려진 닫힌-열린 부분집합의 예제이고 그것들은 닫힌-열린 부분집합이 모든 각 토폴로지적 공간에 존재함을 보여줍니다. 왜 ${\displaystyle X}$가 닫힌-열린 것인지 보이기 위해, 집합 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle \varnothing }$가, 정의에 의해, 항상 (${\displaystyle X}$의) 열린 부분집합임을 상기함으로써 시작합니다. 역시 정의에 의해, 부분집합 ${\displaystyle S}$는 만약 ${\displaystyle X}$에서 집합 ${\displaystyle X\setminus S}$인 그것의 여집합이 열린 부분집합이면 닫힌 것입니다 (또는 둘은 필요충분 조건입니다). 전체 집합 ${\displaystyle S:=X}$의 (${\displaystyle X}$에서) 여집합은 열린 부분집합인 빈 집합 (즉, ${\displaystyle X\setminus S=\varnothing }$)이기 때문에, 이것은 ${\displaystyle S=X}$가 ("닫힌 부분집합"의 정의에 의해) ${\displaystyle X}$의 닫힌 부분집합임을 의미합니다. 따라서, 무슨 토폴로지가 ${\displaystyle X}$ 위에 배치되든 상관없이, 전체 공간 ${\displaystyle X}$는 동시에 ${\displaystyle X}$의 열린 부분집합이고 역시 닫힌 부분집합 둘 다입니다; 다르게 말하자면, ${\displaystyle X}$는 {{em|항상}} ${\displaystyle X}$의 닫힌-열린 부분집합입니다. 빈 집합의 여집합은 열린 부분집합인 ${\displaystyle X\setminus \varnothing =X}$이기 때문에, 같은 추론은 ${\displaystyle S:=\varnothing }$가 역시 ${\displaystyle X}$의 닫힌-열린 부분집합임을 결론짓기 위해 사용될 수 있습니다.

그것의 보통 유클리드 토폴로지(Euclidean topology)를 부여 받은 실수 직선  ${\displaystyle \text{R}}$을 생각해 보십시오, 그것의 열린 집합은 다음처럼 정의됩니다: 실수의 모든 각 구간 ${\displaystyle (a,b)}$가 그 토폴로지에 속하고, 그러한 구간의 모든 각 합집합, 예를 들어, ${\displaystyle (a,b)\cup (c,d)}$가 그 토폴로지에 속하고, 항상 그렇듯이, ${\displaystyle \text{R}}$와 ${\displaystyle \varnothing }$ 둘 다는 그 토폴로지에 속합니다.

• 구간 ${\displaystyle I=(0,1)}$는 ${\displaystyle \text{R}}$에서 열린 것인데 왜냐하면 그것은 유클리드 토폴로지에 속하기 때문입니다. 만약 ${\displaystyle I}$가 열린 여집합을 가졌다면, 정의에 의해 ${\displaystyle I}$는 닫힌 것이었음을 의미합니다. 그러나 ${\displaystyle I}$는 열린 여집합을 가지지 않습니다; 그것은 여집합은 유클리드 토폴로지에 속하지 않는 ${\displaystyle \text{R}\setminus I=(-\mathrm{\infty },0]\cup [1,\mathrm{\infty })}$인데 왜냐하면 그것은 형식 ${\displaystyle (a,b)}$의 열린 구간(open intervals)의 합집합이 아니기 때문입니다. 따라서, ${\displaystyle I}$는 열린 것이지만 닫힌 것은 아닌 집합의 예제입니다. 
• 유사한 논증에 의해, 구간 ${\displaystyle J=[0,1]}$은 닫힌 부분집합이지만 열린 부분집합은 아닙니다.
• 마지막으로, ${\displaystyle K=[0,1)}$와 그것의 여집합 ${\displaystyle \text{R}\setminus K=(-\mathrm{\infty },0)\cup [1,\mathrm{\infty })}$ 어느 것도 유클리드 토폴로지에 속하지 않기 때문에 (왜냐하면 그것은 형식 ${\displaystyle (a,b)}$의 구간의 합집합으로 쓰일 수 없기 때문입니다), 이것은 ${\displaystyle K}$가 열린 것도 아니고 닫힌 것도 아님을 의미합니다.

만약 토폴로지적 공간 ${\displaystyle X}$가 (정의에 의해, ${\displaystyle X}$의 모든 각 부분집합이 열린 것이 되도록) 이산 토폴로지(discrete topology)를 부여 받으면, ${\displaystyle X}$의 모든 각 부분집합은 닫힌-열린 부분집합입니다.
이산 토폴로지를 연상시키는 보다 고급 예제에 대해, ${\displaystyle \mathcal{U}}$가 비-빈 집합 ${\displaystyle X}$ 위에 극단-필터(ultrafilter)임을 가정합니다. 그런-다음 합집합 ${\displaystyle \tau :=\mathcal{U}\cup \{\varnothing \}}$은 ${\displaystyle X}$의 {{em|모든 각}} 비-빈 적절한 부분집합 ${\displaystyle S}$가 열린 부분집합 또는 그밖에 닫힌 부분집합이지만, 결코 둘 다는 아니라는 속성을 갖는 ${\displaystyle X}$ 위의 토폴로지입니다; 즉, 만약 ${\displaystyle \varnothing \ne S⊊X}$이면 (여기서 ${\displaystyle S\ne X}$), 다음 두 명제 중 정확하게 하나가 참입니다: (1) ${\displaystyle S\in \tau }$ 또는 그밖에, (2) ${\displaystyle X\setminus S\in \tau .}$ 다르게 말하자면, 모든 각 부분집합은 열린 또는 닫힌 것이지만 둘 다 (즉, 닫힌-열린)인 유일한 부분집합은 ${\displaystyle \varnothing }$와 ${\displaystyle X}$입니다.

Regular open sets

토폴로지적 공간 ${\displaystyle X}$의 부분집합 ${\displaystyle S}$는 만약 ${\displaystyle \mathrm{Int}\left(\bar{S}\right)=S}$이면 또는 동등하게, 만약 ${\displaystyle \mathrm{Bd}\left(\bar{S}\right)=\mathrm{Bd}S}$이면, 정규 열린 집합이라고 불리며, 여기서 ${\displaystyle \mathrm{Bd}S}$ (각각, ${\displaystyle \mathrm{Int}S,}$ ${\displaystyle \bar{S}}$)는 ${\displaystyle X}$에서 ${\displaystyle S}$의 토폴로지적 경계(topological boundary) (각각, 내부(interior), 클로저(closure))를 나타냅니다. 정규 열린 집합으로 구성된 기저(base)가 존재하는 토폴로지적 공간은 반정규 공간이라고 불립니다. 
${\displaystyle X}$의 부분집합이 정규 열린 집합인 것과 ${\displaystyle X}$에서 그것의 여집합이 정규 닫힌 집합인 것은 필요충분 조건이며, 여기서 정의에 의해 ${\displaystyle X}$의 부분집합 ${\displaystyle S}$는 만약 ${\displaystyle \overline{\mathrm{Int}S}=S}$이면 또는 동등하게, 만약 ${\displaystyle \mathrm{Bd}\left(\mathrm{Int}S\right)=\mathrm{Bd}S}$이면 정규 닫힌 집합이라고 불립니다. 모든 각 정규 열린 집합 (각각, 정규 닫힌 집합)은, 비록 일반적으로, 그 전환이 참은 아닐지라도, 열린 부분집합입니다 (각각, 닫힌 부분집합입니다).

Properties

열린 집합의 임의의 숫자, 또는 무한하게 많은 열린 집합의 합집합(union)은 열린 것입니다. 열린 집합의 유한 숫자의 교집합(intersection)은 열린 것입니다.

(토폴로지가 정의된 것 위에 공간에 상대적으로) 열린 집합의 여집합(complement)은 닫힌 집합(closed set)이라고 불립니다. 집합은 열린과 닫힌 둘 다 (닫힌-열린 집합)일 수 있습니다. 빈 집합과 전체 집합은 열린과 닫힌 둘 다인 집합의 예제입니다.

Uses

열린 집합은 토폴로지(topology)에서 근본적인 중요성을 가집니다. 그 개념은 메트릭 공간(metric spaces)과 균등 공간(uniform spaces)과 같은 공간에 대해 근접성과 수렴의 개념을 다루는 토폴로지적 공간(topological space)과 기타 토폴로지적 구조를 정의하고 이해하기 위해 요구됩니다.

토폴로지적 공간 X의 모든 각 부분집합(subset) A는 (아마도 빈) 열린 집합을 포함합니다; 최대 (포함 아래에서 순서화된) 그러한 열린 집합은 A의 내부(interior)라고 불립니다. 그것은 A에 포함된 모든 열린 집합의 합집합을 취함으로써 구성될 수 있습니다.

두 토폴로지적 공간 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$ 사이의 함수(function) ${\displaystyle f:X\to Y}$는 만약 ${\displaystyle Y}$에서 모든 각 열린 집합의 이전-이미지(preimage)가 ${\displaystyle X}$에서 열린 것이면 연속(continuous)입니다. 함수 ${\displaystyle f:X\to Y}$는 만약 ${\displaystyle X}$에서 모든 각 열린 집합의 이미지(image)가 ${\displaystyle Y}$에서 열린 것이면 열린(open) 것이라고 불립니다. 

실수 직선(real line) 위의 열린 집합은 그것이 서로소 열린 구간의 셀-수-있는 합집합이라는 특유한 속성을 가집니다.

Notes and cautions

"Open" is defined relative to a particular topology

집합이 열려 있는지 여부는 고려 중인 토폴로지(topology)에 따라 다릅니다. 명료함보다는 간결함을 선택하여, 우리는 토폴로지 ${\displaystyle \tau }$를 부여받은 집합 X를, 모든 토폴로지적 데이터가 ${\displaystyle \tau }$에 포함된다는 사실에도 불구하고, "토폴로지적 공간 ${\displaystyle (X,\tau )}$"가 아닌 "토폴로지적 공간 ''X''"로 참조합니다. 만약 같은 집합 위에 둘의 토폴로지가 있으면, 첫 번째 토폴로지에서 열린 것인 집합 U가 두 번째 토폴로지에서 열린 것에 실패할 수 있습니다. 예를 들어, 만약 X가 임의의 토폴로지적 공간이고 Y가 X의 부분집합이면, 집합 Y는 "집합 U가 Y 위에 부분공간에서 열린 것과 U가 X 위에 원래 토폴로지에서 열린 집합을 갖는 Y의 교집합인 것은 필요충분 조건임"에 의해 정의된 ('부분공간 토폴로지'라고 불리는) 그것 자체의 토폴로지를 제공할 수 있습니다. 이것은 잠재적으로 새로운 열린 집합을 도입합니다: 만약 V가 X 위에 원래 토폴로지에서 열린 것이지만, ${\displaystyle V\cap Y}$가 X 위의 원래 토폴로지에서 열린 것이 아니면, ${\displaystyle V\cap Y}$는 Y 위에 부분공간 토폴로지에서 열린 것입니다.

이것의 구체적인 예제로, 만약 U가 구간 ${\displaystyle (0,1)}$에서 유리수의 집합으로 정의되면, U는 유리수(rational number)의 열린 부분집합이지만, 실수(real numbers)의 열린 부분집합은 아닙니다. 이것은 주변 공간이 유리수일 때, U에서 모든 각 점 x에 대해, x의 거리 a 내에 있는 모든 유리수 점이 역시 U 안에 있음을 만족하는 양수 a가 존재하기 때문입니다. 다른 한편으로, 주변 공간이 실수일 때, U에서 모든 각 점 x에 대해, x의 거리 a 내에 있는 모든 실수 점이 U 안에 있음을 만족하는 양수 a는 없습니다 (왜냐하면 U는 비-유리수를 포함하기 때문입니다).

Generalizations of open sets

전체에 걸쳐, ${\displaystyle (X,\tau )}$는 토폴로지적 공간일 것입니다. 

토폴로지적 공간 ${\displaystyle X}$의 부분집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$는 다음이라고 불립니다:

• 만약 ${\displaystyle A\subseteq {\mathrm{int}}_X\left({\mathrm{cl}}_X\left({\mathrm{int}}_{X}A\right)\right)}$이면 α-열린 것이고, 그러한 집합의 여집합은 α-닫힌 것이라고 불립니다.
• 만약 그것이 다음 동등한 조건 중 임의의 하나를 만족시키면 준열린(preopen), 거의 열린(nearly open), 또는 지역적으로 조밀한(locally dense) 것입니다:
  • ${\displaystyle A\subseteq {\mathrm{int}}_X\left({\mathrm{cl}}_{X}A\right).}$
  • ${\displaystyle U}$가 ${\displaystyle X}$에서 열린 것이고, ${\displaystyle D}$가 ${\displaystyle X}$의 조밀 부분집합(dense subset)이고 ${\displaystyle A=U\cap D}$를 만족하는 부분집합 ${\displaystyle D,U\subseteq X}$이 존재합니다.
  • ${\displaystyle A}$가 ${\displaystyle U}$의 조밀 부분집합임을 만족하는 (${\displaystyle X}$에서) 열린 부분집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$가 존재합니다.
  • 준열린 집합의 여집합은 준닫힌(preclosed) 것이라고 불립니다.
• 만약 ${\displaystyle A\subseteq {\mathrm{int}}_X\left({\mathrm{cl}}_{X}A\right)\cup {\mathrm{cl}}_X\left({\mathrm{int}}_{X}A\right)}$이면 b-열린 것입니다. b-열린 집합의 여집합은 b-닫힌 것이라고 불립니다.
• 만약 그것이 다음 동등한 조건 중 임의의 것을 만족시키면 β-열린 또는 반-준열린 것입니다:
  • ${\displaystyle A\subseteq {\mathrm{cl}}_X\left({\mathrm{int}}_X\left({\mathrm{cl}}_{X}A\right)\right)}$
  • ${\displaystyle {\mathrm{cl}}_{X}A}$는 ${\displaystyle X}$의 정규 닫힌 부분집합입니다.
  • ${\displaystyle U\subseteq A\subseteq {\mathrm{cl}}_{X}U}$를 만족하는 ${\displaystyle X}$의 준열린 부분집합 ${\displaystyle U}$가 존재합니다.
  • β-열린 집합의 여집합은 β-닫힌 것이라고 불립니다.
• 만약 그것이 다음 동등한 조건 중 임의의 것을 만족시키면 순차적으로 열린 것이라고 불립니다:
  • ${\displaystyle X}$에서 수열이 ${\displaystyle A}$의 어떤 점에 수렴할 때마다, 해당 수열은 결국은 ${\displaystyle A}$에 있습니다. 명백하게, 이것은 만약 ${\displaystyle x_{\text{bull}}={\left(x_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}}$가 ${\displaystyle X}$에서 수열이고 ${\displaystyle (X,\tau )}$에서 ${\displaystyle x_{\text{bull}}\to x}$를 만족하는 어떤 ${\displaystyle a\in A}$가 존재하면, ${\displaystyle x_{\text{bull}}}$가 ${\displaystyle A}$에 있음을 의미합니다 (즉, 만약 ${\displaystyle j\ge i}$이면 ${\displaystyle x_j\in A}$를 만족하는 어떤 정수 ${\displaystyle i}$가 존재합니다.
  • ${\displaystyle A}$는 정의에 의해 다음 집합인 ${\displaystyle X}$에서 그것의 순차적으로 내부와 같습니다:
    
    • ${\displaystyle \begin{array}{rl}{\mathrm{SeqInt}}_{X}A:& =\{a\in A:\text{ whenever a sequence in }X\text{ converges to }a\text{ in }(X,\tau ),\text{ then that sequence is eventually in }A\}\\ & =\{a\in A:\text{ there does NOT exist a sequence in }X\setminus A\text{ that converges in }(X,\tau )\text{ to a point in }A\}\end{array}}$
  • 순차적으로 열린 집합의 여집합은 순차적으로 닫힌 것이라고 불립니다. 부분집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$가 ${\displaystyle X}$에서 순차적으로 닫힌 것과 ${\displaystyle S}$가 정의에 의해 (${\displaystyle X}$에서) ${\displaystyle x}$로 수렴하는 ${\displaystyle S}$에서 수열이 존재하는 모든 ${\displaystyle x\in X}$를 구성하는 집합 ${\displaystyle {\mathrm{SeqCl}}_{X}S}$인 그것의 순차적으로 클로저와 같은 것은 필요충분 조건입니다.
• 만약 ${\displaystyle A△U}$가 마른 부분집합(meager subset)임을 만족하는 열린 부분집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$가 존재하면 거의 열린 것이고 베르 속성을 가진다고 말해지며, 여기서 ${\displaystyle △}$는 대칭 차이(symmetric difference)를 나타냅니다.
  
  • 부분집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$는 만약 ${\displaystyle X}$의 모든 각 부분집합 ${\displaystyle E}$에 대해, 교집합 ${\displaystyle A\cap E}$가 ${\displaystyle E}$에 상대적인 베르 속성을 가지면 제한된 의미에서 베르 속성을 가진다고 말합니다.
• 만약 ${\displaystyle A\subseteq {\mathrm{cl}}_X\left({\mathrm{int}}_{X}A\right)}$이면, 반-열린 것입니다. ${\displaystyle X}$에서 반-열린 집합의 여집합은 반-닫힌 집합이라고 불립니다.
  
  • ${\displaystyle {\mathrm{sCl}}_{X}A}$에 의해 표시되는 (${\displaystyle X}$에서) 부분집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$의 반-클로저는 ${\displaystyle A}$를 부분집합으로 포함하는 ${\displaystyle X}$의 모든 반-닫힌 부분집합의 교집합입니다.
• 만약 각 ${\displaystyle x\in A}$에 대해, ${\displaystyle x\in U\subseteq {\mathrm{sCl}}_{X}U\subseteq A}$를 만족하는 ${\displaystyle X}$의 어떤 반열린 부분집합 ${\displaystyle U}$가 조재하면 반-θ-열린 것입니다.
• 만약 ${\displaystyle X}$에서 그것의 여집합이 θ-닫힌 (각각, δ-닫힌) 집합이면 θ-열린 (각각, δ-열린) 것이며, 여기서 정의에 의해, $X$의 부분집합은 만약 그것이 그것의 모든 θ-클러스터 점 (각각, δ-클러스터 점)의 집합과 같으면 θ-닫힌 (각각, δ-닫힌) 것이라고 불립니다. 점 ${\displaystyle x\in X}$은 만약 ${\displaystyle X}$에서 ${\displaystyle x}$의 모든 각 열린 이웃 ${\displaystyle U}$에 대해, 교집합 ${\displaystyle B\cap {\mathrm{cl}}_{X}U}$이 빈 것이면 (각각, ${\displaystyle B\cap {\mathrm{int}}_X\left({\mathrm{cl}}_{X}U\right)}$가 빈 것이면) 부분집합 ${\displaystyle B\subseteq X}$의 θ-클러스터 점 (각각, δ-클러스터 점)이라고 불립니다.

다음이라는 사실을 사용하여

• ${\displaystyle A\subseteq {\mathrm{cl}}_{X}A\subseteq {\mathrm{cl}}_{X}B}$ {{spaces|4}}and{{spaces|4}} ${\displaystyle {\mathrm{int}}_{X}A\subseteq {\mathrm{int}}_{X}B\subseteq B}$

두 부분집합 ${\displaystyle A,B\subseteq X}$가 ${\displaystyle A\subseteq B}$를 만족시킬 때마다, 다음은 추론될 수 있습니다:

• 모든 각 α-열린 부분집합은 반-열린, 반-준열린, 준열린, 및 b-열린 것입니다.
• 모든 각 b-열린 집합은 반-준열린 (즉, β-열린) 것입니다.
• 모든 각 준열린 집합은 b-열린 및 반-준열린 것입니다.
• 모든 각 반-열린 집합은 b-열린 및 반-준열린 것입니다.

게다가, 부분집합이 정규 열린 집합인 것과 그것이 준열린 및 반-닫힌 것은 필요충분 조건입니다. α-열린 집합과 반-준열린 (각각, 반-열린, 준열린, b-열린) 집합의 교집합은 반-준열린 (각각, 반-열린, 준열린, b-열린) 집합입니다. 준열린 집합은 반-열린 것일 필요가 없고 반-열린 집합은 준-열린 것일 필요가 없습니다.

준열린 (각각, α-열린, b-열린, 반-준열린) 집합의 임의적인 합집합이 다시 한 번 준열린 (각각, α-열린, b-열린, 반-준열린) 것입니다. 어쨌든, 준열린 집합의 유한 교집합은 준열린 것일 필요가 없습니다. 공간 ${\displaystyle (X,\tau )}$의 모든 α-열린 부분집합의 집합은 ${\displaystyle \tau }$ 보다 미세한(finer) 것인 ${\displaystyle X}$ 위에 토폴로지를 형성합니다.

토폴로지적 공간 ${\displaystyle X}$가 하우스도르프(Hausdorff)인 것과 ${\displaystyle X}$의 모든 각 컴팩트 부분공간(compact subspace)이 θ-닫힌 것인 것은 필요충분 조건입니다. 공간 ${\displaystyle X}$가 전체적으로 분리(totally disconnected)인 것과 모든 각 정규 닫힌 부분집합이 준열린 것 또는 동등하게, 모든 각 반-열린 부분집합이 준열린 것인 것은 필요충분 조건입니다. 게다가, 그 공간이 전체적으로 분리인 것과 모든 각 준열린 부분집합의 클로저가 열린 것인 것은 필요충분 조건입니다.

See also

• Clopen set – Subset which is both open and closed
• Closed set
• Subbase – Collection of subsets that generate a topology

Bibliography

• Hart, Klaas (2004). Encyclopedia of general topology. Amsterdam Boston: Elsevier/North-Holland. ISBN 0-444-50355-2. OCLC 162131277.
• Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Encyclopedia of general topology. Elsevier. ISBN 978-0-444-50355-8.

External links

 

• "Open set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]