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(번역) Operation (mathematics)

by 다움위키 2024. 3. 13.

 

수학(mathematics)에서, 연산(operation)은 영 이상의 (피연산자(operand)라고 불리는) 입력 값에서 잘-졍의된 출력 값으로 취하는 함수(function)입니다. 피연산자의 개수는 연산의 애리티(arity)입니다.

가장 공통적으로 연구된 연산은 덧셈(addition)과 곱셈(multiplication)과 같은 이항 연산(binary operation) (즉, 애리티 2의 연산), 및 덧셈의 역(additive inverse)과 곱셈의 역(multiplicative inverse)과 같은 단항 연산(unary operation) (즉, 애리티 1의 연산)입니다. 애리티 영의 연산, 또는 영-항 연산(nullary operation)은 상수(constant)입니다. 혼합된 곱(mixed product)은 애리티 3의 연산의 예제이며, 역시 삼항 연산(ternary operation)이라고 불립니다.

일반적으로, 애리티는 유한인 것으로 취합니다. 어쨌든, 무한-항 연산(infinitary operation)이 때때로 고려되며, 이 경우에서, 유한 애리티의 "보통" 연산은 유한-항 연산(finitary operations)이라고 불립니다.

부분 연산(partial operation)은 연산과 유사하게 정의되지만, 함수의 자리에 부분 함수(partial function)를 가집니다.

Types of operation

연산의 두 공통 유형: 단항(unary)과 이항(binary)이 있습니다. 단항 연산은 부정(negation)과 삼각 함수(trigonometric function)와 같은 오직 하나의 값을 포함합니다. 이항 연산은, 다른 한편으로, 두 값을 취하고, 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 곱셈(multiplication), 나눗셈(division), 및 지수화(exponentiation)를 포함합니다.

연산은 숫자 이외의 수학적 대상을 포함할 수 있습니다. 논리 값(logical values) 참(true)과 거짓(false)은 그리고(and), 또는(or), 및 부정(not)과 같은 논리적 연산(logic operation)을 사용하여 결합될 수 있습니다. 벡터(Vectors)는 더해지거나 빼질 수 있습니다. 회전(Rotation)은 함수 합성(function composition) 연산을 사용하여 조합될 수 있으며, 첫 번째 회전을 수행하고 그런-다음 두 번째를 수행합니다. 집합(sets)은 이항 연산 합집합(union)과 교집합(intersection) 및 여집합(complementation)의 단항 연산을 포함합니다. 함수(function)에 대한 연산은 합성(composition)과 합성곱(convolution)을 포함합니다.

연산은 그것의 도메인(domain)의 모든 각 가능한 값에 대해 정의되지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 실수에서, 우리는 영으로 나눌 수 없고 음수의 제곱근을 취할 수 없습니다. 연산이 정의되는 값은 정의의 도메인 또는 활성 도메인이라고 불리는 집합을 형성합니다. 생성된 값을 포함하는 집합은 코도메인(codomain)이라고 불리지만, 연산에 의해 도달된 실제 값의 집합은 정의의 코도메인, 활성 코도메인, 이미지(image) 또는 치역(range)입니다. 예를 들어, 실수에서, 제곱하는 연산은 비-음의 숫자를 오직 생성합니다; 코도메인은 실수의 집합이지만, 치역은 비-음수입니다.

연산은 유사하지 않은 대상을 포함할 수 있습니다: 벡터는 또 다른 벡터를 형성하기 위해 스칼라(scalar)에 의해 곱해질 수 있고 (스칼라 곱셈(scalar multiplication)으로 알려진 연산), 두 벡터에 대한 안의 곱(inner product) 연산은 스칼라인 양을 생성합니다. 연산은 특정 속성을 가질 수도 가지지 않을 수도 있습니다. 예를 들어, 그것은 결합적(associative), 교환적(commutative), 반-교환적(anticommutative), 거듭상등(idempotent), 등일 수 있습니다.

조합된 값은 피연산자(operands), 인수(arguments), 또는 입력(inputs)이라고 불리고, 생성된 값은 값(value), 결과(result), 또는 출력(output)이라고 불립니다. 연산은 둘보다 작거나 더 큰 입력을 가질 수 있습니다 (영 입력과 무한하게 많은 입력의 경우를 포함합니다).

연산자(operator)는, 그것이 연산을 나타내기 위해 사용된 기호 또는 과정을 참조한다는 점에서 연산과 유사하고, 따라서 관점이 다릅니다. 예를 들어, 우리는 피연산자와 결과에 초점을 맞출 때 "덧셈의 연산" 또는 "덧셈 연산"을 자주 언급하지만, 과정, 또는 보다 기호적 관점, 함수 +: X × X → X에 초점을 맞출 때, "덧셈 연산자" (드물게 "덧셈의 연산자")로 전환합니다.

Definition

\(X_1, \cdots, X_n\)에서 Y로의 n-항 연산 ω는 함수(function) \(\omega: X_1 \times \cdots \times X_n \to Y\)입니다. 집합 \(X_1 \times \cdots \times X_n\)은 연산의 도메인이라고 불리고, 집합 Y는 연산의 코도메인이라고 불리고, 고정된 비-음의 정수 n (피연산자의 숫자)는 연산의 애리티(arity)라고 불립니다. 따라서, 단항 연산(unary operation)은 애리티 일을 가지고, 이항 연산(binary operation)은 애리티 이를 가집니다. 영-항(nullary) 연산이라고 불리는 애리티 영의 연산은 단순히 코도메인 Y의 원소입니다. n-항 연산은 역시 그것의 n 입력 도메인에서 전체(total)이고 그것의 출력 도메인에서 고유한(unique) 것인 (n + 1)-항 관계(relation)로 보일 수 있습니다.

\(X_1, \cdots, X_n\)에서 Y로의 n-항 부분 연산 ω는 부분 함수(partial function) \(\omega: X_1 \times \cdots \times X_n \to Y\)입니다. n-항 부분 연산은 역시 그것의 출력 도메인에서 고유한 것인 (n + 1)-항 관계로 보일 수 있습니다.

위의 내용은 유한 피연산자의 숫자 (값 n)를 참조하는 보통 유한-항 연산이라고 불리는 것을 설명합니다. 애리티가 무한 순서-숫자(ordinal) 또는 세는-숫자(cardinal), 또는 심지어 피연산자를 인덱싱하는 임의의 집합으로 취해지게 되는 명백한 확장이 있습니다.

종종, 용어 연산의 사용은 함수의 도메인이 코도메인의 거듭제곱 (즉, 하나 이상의 코도메인의 복사본의 데카르트 곱(Cartesian product))을 포함한다는 것을 의미하지만, 벡터가 곱해지고 스칼라를 초래하는 점 곱(dot product)의 경우에서 처럼, 결코 보편적인 것은 아닙니다. n-항 연산 \(\omega: X_n \to X\)은 내부 연산(internal operation)이라고 불립니다. n-항 연산 \(\omega: X^i \times S\times X^{n-i-1} \to X\)은, 여기서 0 ≤ i < n이며, 스칼라 집합 또는 연산자 집합 S에 의한 외부 연산(external operation)이라고 불립니다. 특히 이항 연산에 대해, ω: S × X → X는 S에 의한 왼쪽-외부 연산이라고 불리고, ω: X × S → X는 S에 의한 오른쪽-외부 연산이라고 불립니다. 내부 연산의 예제는 벡터 덧셈(vector addition)으로, 여기서 두 벡터는 더해지고 벡터를 결과로 초래합니다. 외부 연산의 예제는 스칼라 곱셈(scalar multiplication)으로, 여기서 벡터는 스칼라에 의해 곱해지고 벡터를 결과로 초래합니다.

See also

References

 

 

 

 

 

 

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