매트릭 공간(metric space)의 수학적(mathematical) 이론에서, 메트릭 맵은 임의의 거리가 증가하지 않는 메트릭 공간 사이의 함수(function)입니다 (그러한 함수는 항상 연속(continuous)입니다). 이들 맵은 메트릭 공간의 카테고리(category of metric spaces), Met (Isbell 1964)에서 사상(morphism)입니다. 그것들은 역시 립시츠 상수(Lipschitz constant) 1을 갖는 립시츠 함수(Lipschitz functions), 비확장 맵(nonexpansive maps), 비확장하는 맵(nonexpanding maps), 약한 수축(weak contractions), 또는 짧은 맵(short maps)이라고 불립니다.
구체적으로 특별히, X와 Y가 메트릭 공간이고 ƒ가 X에서 Y로의 함수(function)임을 가정합니다. 따라서 우리는 X에서 임의의 점 x와 y에 대해, 다음일 때, 메트릭 맵을 가집니다:
\(\quad\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y)) \leq d_{X}(x,y) . \! \)
여기서 \(d_X\)와 \(d_Y\)는 각각 X와 Y 위에 메트릭을 나타냅니다.
Examples
유클리드 메트릭(Euclidean metric)을 갖는 메트릭 공간 \(\displaystyle [0,1/2]\)을 생각해 보십시오. 그런-다음 함수 \(\displaystyle f(x)=x^2\)는 메트릭 맵인데, 왜냐하면 \(\displaystyle x\ne y\)에 대해, \(\displaystyle |f(x)-f(y)|=|x+y||x-y|<|x-y|\)이기 때문입니다.
Category of metric maps
메트릭 맵의 합성(composite)은 역시 메트릭 맵이고, 메트릭 공간 M 위에 항등 맵(identity map) \(\text{id}_M : M \to M\)는 메트릭 맵입니다. 따라서 미터법 맵과 함께 미터법 공간은 카테고리(category) Met을 형성합니다. Met은 메트릭 공간과 립시츠 함수의 카테고리의 부분카테고리(subcategory)입니다. 메트릭 공간 사이의 맵 ƒ이 등거리-변환(isometry)인 것과 그것이 역(inverse)이 역시 메트릭 맵인 전단사(bijective) 메트릭 맵인 것은 필요충분 조건입니다. 따라서 Met에서 동형(isomorphism)은 정확히 등거리-변환입니다.
Strictly metric maps
우리는 f가 만약 부등식(inequality)이 모든 각 둘의 다른 점에 대해 엄격하면 엄격하게 메트릭이라고 말할 수 있습니다. 따라서 수축 매핑(contraction mapping)은 엄격하게 메트릭이지만, 반드시 그 반대일 필요는 없습니다. 등거리변환은 빈 공간(empty space) 또는 단일-점 공간의 퇴화(degenerate) 경우를 제외하고는 결코 엄격하게 메트릭이 아닙니다.
Multivalued version
메트릭 공간 X에서 X의 비-빈 부분집합의 가족으로의 매핑 \(\displaystyle T:X\to \mathcal{N}(X)\)은 만약 모든 \(\displaystyle x,y\in X\)에 대해, 다음을 만족하는 \(\displaystyle L\geq 0\)가 존재하면 립시츠라고 말합니다:
\(\quad\displaystyle H(Tx,Ty)\leq L d(x,y),\)
여기서 H는 하우스도르프 거리(Hausdorff distance)입니다. \(\displaystyle L=1\)일 때, T는 비확장(nonexpansive)이라고 불리고 \(\displaystyle L<1\)일 때, T는 수축(contraction)이라고 불립니다.
References
- Isbell, J. R. (1964). "Six theorems about injective metric spaces". Comment. Math. Helv. 39: 65–76. doi:10.1007/BF02566944.
