수학(mathematics), 특히 미적분학(calculus)과 복소 해석학(complex analysis)에서 함수 f의 로그 도함수(logarithmic derivative)는 다음 공식에 의해 정의됩니다:
\(\displaystyle \frac{f'}{f} \)
여기서 \(f'\)는 f의 [[derivative|도함수(derivative)]]입니다. 직관적으로 이것은 f에서 무한소 상대적 변화(relative change)입니다; 즉, f의 현재 값에 의해 스케일된 f에서 무한소 절대 변화, 즉 \(f'.\)
f가 실수 변수 x의 함수 f(x)이고, 실수(real), 엄격하게 양의(positive) 값을 취할 때, 이것은 ln(f), 또는 f의 자연 로그(natural logarithm)의 도함수와 같습니다. 이것은 체인 규칙(chain rule)에서 직접 따릅니다:
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\ln f(x) = \frac{1}{f(x)} \frac{df(x)}{dx} \)
Basic properties
실수 로그의 많은 속성은, 심지어 함수가 양의 실수 값을 취하지 않는 경우에도, 로그 도함수에도 적용합니다. 예를 들어, 곱의 로그는 인수의 로그의 합이므로, 다음을 가집니다:
\(\displaystyle (\log uv)' = (\log u + \log v)' = (\log u)' + (\log v)' . \)
따라서 양의-실수-값 함수에 대해, 곱의 로그 도함수는 인수의 로그 도함수의 합입니다. 그러나 우리는 역시 곱의 도함수에 대해 다음을 얻기 위해 라이프니츠 법칙(Leibniz law)을 사용할 수 있습니다:
\(\displaystyle \frac{(uv)'}{uv} = \frac{u'v + uv'}{uv} = \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} . \)
따라서, 곱의 로그 도함수가 (정의될 때) 인수의 로그 도함수의 합이라는 것은 임의의 함수에 대해 참입니다.
이에 대한 따름정리(corollary)는 함수의 역수의 로그 도함수가 함수의 로그 도함수의 부정이라는 것입니다:
\(\displaystyle \frac{(1/u)'}{1/u} = \frac{-u'/u^{2}}{1/u} = -\frac{u'}{u} , \)
마치 양의 실수의 역수의 로그가 숫자의 로그의 부정인 것과 같습니다.
보다 일반적으로, 몫의 로그 도함수는 피제수와 제수의 로그 도함수 차이입니다:
\(\displaystyle \frac{(u/v)'}{u/v} = \frac{(u'v - uv')/v^{2}}{u/v} = \frac{u'}{u} - \frac{v'}{v} , \)
마치 몫의 로그가 피제수와 제수 로그의 차이인 것과 같습니다.
또 다른 방향으로 일반화하여, 거듭제곱의 로그 도함수 (상수 실수 지수를 가짐)는 지수와 밑수의 로그 도함수의 곱입니다:
\(\displaystyle \frac{(u^{k})'}{u^{k}} = \frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}} = k \frac{u'}{u} , \)
마치 거듭제곱의 로그가 지수와 밑수의 로그의 곱인 것과 같습니다.
요약하자면, 도함수와 로그 모두는 곱 규칙(product rule), 역수 규칙(reciprocal rule), 몫 규칙(quotient rule), 및 거듭제곱 규칙(power rule)을 가집니다 (로그 항등식의 목록과 비교하십시오); 각 규칙의 쌍은 로그 도함수를 통해 관련됩니다.
Computing ordinary derivatives using logarithmic derivatives
로그 도함수는 같은 결과를 생성하면서도 곱 규칙(product rule)을 요구하는 도함수의 계산을 단순화할 수 있습니다. 절차는 다음과 같습니다: \(f(x) = u(x)v(x)\)이고 \(f'(x)\)를 계산한다고 가정합니다. 그것을 \(f' = u'v + v'u\)로 직접 계산하는 대신 그것의 로그 도함수를 계산합니다. 즉, 우리는 다음을 계산합니다:
\(\displaystyle \frac{f'}{f} = \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v}.\)
양쪽 변에 ƒ를 곱하여 f′를 계산합니다:
\(\displaystyle f' = f\cdot\left(\frac{u'}{u} + \frac{v'}{v}\right).\)
이 기법은 f가 많은 인수의 곱일 때 가장 유용합니다. 이 기법을 사용하여, 각 인수의 로그 도함수를 계산하고, 합하고, f를 곱함으로써 f′를 계산할 수 있습니다.
예를 들어, \(e^{x^2}(x-2)^3(x-3)(x-1)^{-1}\)의 로그 도함수를 \(2x + \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-1}\)로 계산할 수 있습니다.
Integrating factors
로그 미분 아이디어는 일-차 미분 방정식(first-order differential equations)에 대해 적분화 인수(integrating factor) 방법과 밀접하게 연결되어 있습니다. 연산자(operator) 항으로, 다음을 씁니다:
\(\displaystyle D = \frac{d}{dx} \)
그리고 M을 어떤 주어진 함수 G(x)에 의한 곱셈의 연산자를 나타낸다고 놓습니다. 그런-다음 다음은
\(\displaystyle M^{-1} D M \)
다음으로 (곱 규칙에 의해) 쓸 수 있습니다:
\(\displaystyle D + M^{*} \)
여기서 \( M^{*} \)는 이제 다음 로그 도함수에 의해 곱셈 연산자를 나타냅니다:
\(\displaystyle \frac{G'}{G}\)
실제로 우리는 다음과 같은 연산자를 제공합니다:
\(\displaystyle D + F = L \)
그리고 f가 주어졌을 때 함수 h에 대해 다음 방정식을 풀기를 원합니다:
\(\displaystyle L(h) = f \)
이것은 그런-다음 다음을 푸는 것으로 줄어듭니다:
\(\displaystyle \frac{G'}{G} = F \)
이는 F의 임의의 부정 적분(indefinite integral)을 갖는 다음 해를 가집니다:
\(\displaystyle \exp \textstyle ( \int F ) \)
Complex analysis
주어진 것처럼 공식은 더 광범위하게 적용될 수 있습니다; 예를 들어 f(z)가 유리형 함수(meromorphic function)이면, f가 영점도 가지지 않고 극점도 가지지 않는 z의 모든 복소 값에서 의미가 있습니다. 더욱이, 영점 또는 극점에서 로그 도함수는 n 정수, n ≠ 0를 갖는 다음의 특정 경우의 관점에서 쉽게 해석되는 방식으로 동작합니다:
\(\displaystyle z^n\)
로그 도함수는 그런-다음 다음입니다:
\(\displaystyle n/z\)
그리고 f 유리형에 대해, f의 로그 도함수의 특이점은 모두 단순 극점이며, 잔여(residue) n은 n차 영점에서, 잔여 −n은 차수 n의 극점에서 발생한다는 일반적인 결론을 그릴 수 있습니다. 인수 원칙(argument principle)을 참조하십시오. 이 정보는 종종 윤곽 적분(contour integration)에 활용됩니다.
네반린나 이론(Nevanlinna theory)의 분야에서, 중요한 보조정리는 로그 도함수의 근접성 함수가 원래 함수의 네반린나 특성에 관해 작다고 말합니다, 예를 들어, \(m(r,h'/h) = S(r,h) = o(T(r,h))\).
The multiplicative group
로그 도함수의 사용 뒤에는 \(GL_1\), 즉 실수 또는 기타 필드(field)의 곱셈 그룹에 대한 두 가지 기본 사실이 있습니다. 다음 미분 연산자(differential operator)는
\(\displaystyle X\frac{d}{dX} \)
(상수에 대해 X를 aX로 대체하여) 팽창 아래에서 불변(invariant)입니다. 그리고 다음 미분 형식(differential form)은
\(\displaystyle \frac{dx}{X}\)
마찬가지로 불변입니다. \(GL_1\)로 함수 F에 대해, 다음 공식은
\(\displaystyle \frac{dF}{F}\)
따라서 불변 형식의 당김(pullback)입니다.
Examples
- 지수 성장(Exponential growth)과 지수 감쇠(exponential decay)는 상수 로그 도함수를 갖는 과정입니다.
- 수학적 금융(mathematical finance)에서, 그리스어(Greek) λ는 놓여있는 가격에 관해 도함수 가격의 로그 도함수입니다.
- 수치 해석(numerical analysis)에서, 조건 숫자(condition number)는 입력에서 상대 변화에 대해 출력에서 무한소 상대 변화이고, 따라서 로그 도함수의 비율입니다.
See also
- Generalizations of the derivative
- Logarithmic differentiation – Method of mathematical differentiation – Method of mathematical differentiation
- Elasticity of a function
References
- "Logarithmic derivative - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. 7 December 2012. Retrieved 12 August 2021.
- Gonzalez, Mario (1991-09-24). Classical Complex Analysis. CRC Press. ISBN 978-0-8247-8415-7.
- "Logarithmic residue - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. 7 June 2020. Retrieved 2021-08-12.
- Zhang, Guan-hou (1993-01-01). Theory of Entire and Meromorphic Functions: Deficient and Asymptotic Values and Singular Directions. American Mathematical Soc. p. 18. ISBN 978-0-8218-8764-6. Retrieved 12 August 2021.
