(번역) Nested radical

Original article: w:Nested radical

대수학(algebra)에서 중첩된 제곱근(nested radical)은 또 다른 제곱근 표현을 포함 (중첩)하는 제곱근 표현 (제곱근 기호, 세제곱근 기호 등을 포함하는 표현)입니다. 예제는 다음을 포함합니다:

$\sqrt{5 - 2 \sqrt{5}},$

이는 정규 오각형과 다음과 같은 더 복잡한 것들을 논의할 때 발생합니다:

$\sqrt[3]{2 + \sqrt{3} + \sqrt[3]{4}} .$

Denesting

일부 중첩된 제곱근 중첩되지 않은 형식으로 다시 쓸 수 있습니다. 예를 들어,

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2},$

$\sqrt{2} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} = \sqrt{3},$

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}} .$

또 다른 간단한 예제,

$\sqrt[3]{\sqrt{2}} = \sqrt[6]{2}$

이러한 방식으로 중첩된 제곱근을 다시 쓰는 것은 비-중첩(denesting)이라고 합니다. 이것이 항상 가능한 것은 아니고, 심지어 가능하더라도 종종 어려운 일입니다.

Two nested square roots

두 개의 중첩된 제곱근의 경우에서, 다음 정리는 비-중첩의 문제를 완전히 해결합니다.

만약 a와 c가 유리수(rational numbers)이고 c가 유리수의 제곱이 아니면, 다음임을 만족하는 두 유리수 x와 y가 있는 것과

$\sqrt{a + \sqrt{c}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$

$a^{2} - c$ 가 유리수 d의 제곱인 것은 필요충분 조건입니다.

만약 중첩된 제곱근이 실수이면, x와 y는 두 숫자 $\frac{a + d}{2}$ 와 $\frac{a - d}{2}$ 이며, 여기서 $d = \sqrt{a^{2} - c}$ 는 유리수입니다.

특히, 만약 a와 c가 정수이면, 2x와 2y는 정수입니다.

이 결과는 다음 형식의 비-중첩화를 포함하는데

$\sqrt{a + \sqrt{c}} = z \pm \sqrt{y},$

왜냐하면 z는 항상 $z = \pm \sqrt{z^{2}}$ 로 쓸 수 있을 것이고, 항들 중 적어도 하나는 양수여야 하기 때문입니다 (왜냐하면 방정식의 왼쪽 변은 양수이기 때문입니다).

보다 일반적인 비-중첩화 공식은 다음 형식을 가질 수 있습니다

$\sqrt{a + \sqrt{c}} = α + β \sqrt{x} + γ \sqrt{y} + δ \sqrt{x} \sqrt{y} .$

어쨌든, 갈루아 이론(Galois theory)은 왼쪽 변이 $Q (\sqrt{c})$ 에 속하거나, $\sqrt{x},$ $\sqrt{y}$ 중 하나, 또는 둘 다의 부호를 변경함으로써 얻어야 함을 의미합니다. 첫 번째 경우에서, 이것은 x = c 및 $γ = δ = 0$ 을 취할 수 있음을 의미합니다. 두 번째 경우서, $α$ 와 또 다른 계수가 0이어야 합니다. 만약 $β = 0$ 이면, $δ = 0$ 을 얻기 위해 xy의 이름을 x로 바꿀 수 있습니다. 만약 $α = 0$ 이면 유사하게 진행하면, $α = δ = 0$ 이라고 가정할 수 있다는 결과를 초래합니다. 이것은 명백히 더 일반적인 비-중첩화가 항상 위의 중첩화로 축소될 수 있음을 보여줍니다.

Proof: 제곱함으로써, 다음 방정식은

$\sqrt{a + \sqrt{c}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$

다음 방정식과 동등합니다

$a + \sqrt{c} = x + y \pm 2 \sqrt{x y},$

그리고, 오른쪽 변에서 음의 부호의 경우에서,

$| x | \geq | y |$ ,

(제곱근은 표기법의 정의에 의해 비-음수입니다). 부등식은 x와 y를 교환함으로써 항상 충족될 수 있으므로, x와 y에서 첫 번째 방정식을 푸는 것은 다음을 푸는 것과 동등합니다:

$a + \sqrt{c} = x + y \pm 2 \sqrt{x y} .$

이러한 상등은 $\sqrt{x y}$ 가 이차 필드(quadratic field) $Q (\sqrt{c})$ 에 속한다는 것을 의미합니다. 이 필드에서, 모든 각 원소는 $α + β \sqrt{c}$ 로 고유하게 쓸 수 있으며, 이때 $α$ 와 $β$ 는 유리수입니다. 이는 $\pm 2 \sqrt{x y}$ 가 유리수가 아니라는 것을 의미합니다 (그렇지 않으면 방정식의 오른쪽 변은 유리수일 것입니다; 그러나 왼쪽 변은 무리수입니다). x와 y가 유리수여야 하므로, $\pm 2 \sqrt{x y}$ 의 제곱도 유리수여야 합니다. 이는 $\pm 2 \sqrt{x y}$ 를 $α + β \sqrt{c}$ 로 표현하면 $α = 0$ 임을 의미합니다.

따라서 일부 유리수 $β$ 에 대해

$a + \sqrt{c} = x + y + β \sqrt{c}$

1과 $\sqrt{c}$ 에 걸쳐 분해의 고유성은 고려된 방정식이 다음임과 동등함을 의미합니다:

$a = x + y and \pm 2 \sqrt{x y} = \sqrt{c} .$

비에타의 공식(Vieta's formulas)에 의해 x와 y는 다음 이차 방정식(quadratic equation)의 근이어야 한다는 것을 따릅니다:

$z^{2} - a z + \frac{c}{4} = 0;$

그것의 $Δ = a^{2} - c = d^{2} > 0$ (≠ 0, 그렇지 않으면 c는 a의 제곱이었을 것임)이고, 따라서 x와 y는 $\frac{a + \sqrt{a^{2} - c}}{2}$ 와 $\frac{a - \sqrt{a^{2} - c}}{2}$ 여야 합니다. 따라서 x와 y가 유리수인 것과 $d = \sqrt{a^{2} - c}$ 가 유리수인 것은 필요충분 조건입니다.

다양한 부호를 명시적으로 선택하기 위해, 우리는 양의 실수 제곱근만 고려해야 하고, 따라서 c > 0임을 가정해야 합니다. 방정식 $a^{2} = c + d^{2}$ 는 $| a | > \sqrt{c}$ 임을 보여줍니다. 따라서, 만약 중첩된 제곱근이 실수이고, 비-중첩화가 가능하다면, a > 0입니다. 그때에 해는 다음입니다

$\begin{aligned} \sqrt{a + \sqrt{c}} & = \sqrt{\frac{a + d}{2}} + \sqrt{\frac{a - d}{2}}, \\ \sqrt{a - \sqrt{c}} & = \sqrt{\frac{a + d}{2}} - \sqrt{\frac{a - d}{2}} . \end{aligned}$

Some identities of Ramanujan

스리니바자 라마누젠(Srinivasa Ramanujan)은 중첩된 제곱근과 관련된 여러 가지 흥미로운 항등식을 보였습니다. 그 중에는 다음이 포함됩니다:

$\sqrt[4]{\frac{3 + 2 \sqrt[4]{5}}{3 - 2 \sqrt[4]{5}}} = \frac{\sqrt[4]{5} + 1}{\sqrt[4]{5} - 1} = \frac{1}{2} (3 + \sqrt[4]{5} + \sqrt{5} + \sqrt[4]{125}),$

$\sqrt{\sqrt[3]{28} - \sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3} (\sqrt[3]{98} - \sqrt[3]{28} - 1),$

$\sqrt[3]{\sqrt[5]{\frac{32}{5}} - \sqrt[5]{\frac{27}{5}}} = \sqrt[5]{\frac{1}{25}} + \sqrt[5]{\frac{3}{25}} - \sqrt[5]{\frac{9}{25}},$

그리고

\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}}

Landau's algorithm

1989년에 수잔 랜도(Susan Landau)는 중첩된 제곱근이 비중첩화될 수 있는지 결정하는 최초의 알고리즘(algorithm)을 소개했습니다. 그 이전 알고리즘은 어떤 경우에는 작동했지만 다른 경우에는 작동하지 않았습니다. 랜도의 알고리즘은 복소수 단위의 근(roots of unity)을 포함하고 중첩된 제곱근의 깊이에 관해 지수 시간(exponential time)에서 실행됩니다.

In trigonometry

Main article: Exact trigonometric values

삼각법(trigonometry)에서, 많은 각도의 사인과 코사인(sines and cosines)은 중첩된 제곱근으로 표현될 수 있습니다. 예를 들어,

$\sin \frac{π}{60} = \sin 3^{\circ} = \frac{1}{16} [2 (1 - \sqrt{3}) \sqrt{5 + \sqrt{5}} + \sqrt{2} (\sqrt{5} - 1) (\sqrt{3} + 1)]$

그리고

$\sin \frac{π}{24} = \sin {7.5}^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}} = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}} .$

마지막 상등은 § Two nested square roots의 결과에서 직접적으로 발생합니다.

In the solution of the cubic equation

중첩된 제곱근은 삼차 방정식(cubic equation)의 대수적 해(algebraic solution)에 나타납니다. 임의의 3차 방정식은 다음으로 이차 항 없이 단순화된 형식으로 쓸 수 있습니다:

$x^{3} + p x + q = 0,$

근들 중 하나에 대해 그것의 일반적인 해는 다음입니다:

$x = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}} + \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^{2}}{4} + \frac{p^{3}}{27}}} .$

삼차가 단 하나의 실수 근을 가지는 경우에서, 실수 근은 세제곱 근의 피제곱근(radicands)이 실수이고 세제곱 근이 세제곱 근을 갖는 이 표현식에 의해 제공됩니다. 세 개의 실수 근의 경우에서, 제곱 근 표현은 허수입니다; 여기서 임의의 실수 근은 첫 번째 세제곱 근을 복소수 피제곱근의 임의의 특정 복소 세제곱 근으로 정의하고, 두 번째 세제곱 근을 첫 번째 근의 복소 켤레(complex conjugate)로 정의함으로써 표현됩니다. 이 해에서 중첩된 제곱근은 일반적으로 삼차 방정식에 적어도 하나의 유리수(rational) 해를 가지지 않는 한 단순화될 수 없습니다. 실제로, 삼차 방정식이 세 개의 무리수이지만 실수 해를 가지면, 우리는 세 가지 실수 해 모두가 복소수의 세제곱 근의 관점에서 작성되는 기약 경우(casus irreducibilis)를 가집니다. 다른 한편, 다음 방정식을 생각해 보십시오:

$x^{3} - 7 x + 6 = 0,$

이는 유리수 해 1, 2, 및 −3을 가집니다. 위에 주어진 일반적인 해 공식은 다음 해를 제공합니다:

$x = \sqrt[3]{- 3 + \frac{10 \sqrt{3} i}{9}} + \sqrt[3]{- 3 - \frac{10 \sqrt{3} i}{9}} .$

주어진 세제곱 근과 그 켤레의 임의의 선택에 대해, 여기에는 복소수와 관련된 중첩된 제곱근이 포함되지만, 해 1, 2 또는 –3 중 하나로 (심지어 명백하지는 않더라도) 비-기약입니다.

Infinitely nested radicals

Square roots

특정 조건 아래에서 다음과 같은 무한하게 중첩된 제곱근은 유리수를 표현합니다:

$x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}}$

이 유리수는 x가 제곱근 기호 아래에도 나타난다는 것을 인식함으로써 구할 수 있으며, 이는 다음 방정식을 제공합니다:

$x = \sqrt{2 + x} .$

이 방정식을 풀면, x = 2임을 알 수 있습니다 (양의 제곱근을 의미한다는 규칙에 따라 두 번째 해 x = −1은 적용되지 않습니다). 이 접근법은 역시 일반적으로 n > 0이면 다음이고 방정식 $x^{2} - x - n = 0$ 의 양수 근임을 보여주기 위해 사용될 수 있습니다:

$\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n + \dots}}}} = \frac{1}{2} (1 + \sqrt{1 + 4 n})$

n = 1에 대해, 이 근은 황금 비율(golden ratio) φ이고, 근사적으로 1.618과 같습니다. 같은 절차는 역시 n > 0이면 다음임을 얻기 위해 작동합니다:

$\sqrt{n - \sqrt{n - \sqrt{n - \sqrt{n - \dots}}}} = \frac{1}{2} (- 1 + \sqrt{1 + 4 n}),$

이는 방정식 $x^{2} + x - n = 0$ 의 양수 근입니다.

Nested square roots of 2

2의 중첩된 제곱근은 무한하게 중첩된 제곱근의 광범위한 클래스의 특별한 경우입니다. 그것들을 사인과 코사인(sines and cosines)에 묶는 많은 알려진 결과가 있습니다. 예를 들어, 2의 중첩된 제곱근이 다음으로 표시되어 왔습니다:

$R (b_{k}, \dots, b_{1}) = \frac{b_{k}}{2} \sqrt{2 + b_{k - 1} \sqrt{2 + b_{k - 2} \sqrt{2 + \dots + b_{2} \sqrt{2 + x}}}}$

여기서 [−2,2] 내에 $b_{1}$ 과 $i \neq 1$ 에 대해 $b_{i} \in {- 1, 0, 1}$ 를 갖는 $x = 2 \sin (π b_{1} / 4)$ 는 다음에 대해 $R (b_{k}, \dots, b_{1}) = \cos θ$ 임을 만족하는 것입니다:

$θ = (\frac{1}{2} - \frac{b_{k}}{4} - \frac{b_{k} b_{k - 1}}{8} - \frac{b_{k} b_{k - 1} b_{k - 2}}{16} - \dots - \frac{b_{k} b_{k - 1} \dots b_{1}}{2^{k + 1}}) π .$

이 결과를 통해 임의의 $x \in [- 2, 2]$ 에 대해 k 중첩된 근으로 구성된 다음 무한하게 중첩된 제곱근의 값을 다음으로 추론할 수 있습니다:

$R_{k} (x) = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots + \sqrt{2 + x}}} .$

만약 $x \geq 2$ 이면, 다음입니다

$\begin{aligned} R_{k} (x) & = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots + \sqrt{2 + x}}} \\ = {(\frac{x + \sqrt{x^{2} - 4}}{2})}^{1 / 2^{k}} + {(\frac{x + \sqrt{x^{2} - 4}}{2})}^{- 1 / 2^{k}} \end{aligned}$

이들 결과는 $π$ 의 일부 중첩된 제곱근 표현을 얻기 위해 사용될 수 있습니다. 위에서 정의된 항 $R (b_{k}, \dots, b_{1})$ 를 생각해 보십시오. 그런-다음

$π = lim_{k \to \infty} [\frac{2^{k + 1}}{2 - b_{1}} R (\underset{k terms}{\underset{⏟}{1, - 1, 1, 1, \dots, 1, 1, b_{1}}})]$

여기서 $b_{1} \neq 2$ .

Ramanujan's infinite radicals

라마누젠은 Journal of Indian Mathematical Society에 다음 문제를 제기했습니다:

$? = \sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 3 \sqrt{1 + \dots}}} .$

이것은 보다 일반적인 공식을 주목함으로써 해결될 수 있습니다:

$? = \sqrt{a x + (n + a)^{2} + x \sqrt{a (x + n) + (n + a)^{2} + (x + n) \sqrt{\dots}}} .$

이것을 F(x)로 설정하고 양쪽을 제곱하는 것을 다음을 제공합니다:

$F (x)^{2} = a x + (n + a)^{2} + x \sqrt{a (x + n) + (n + a)^{2} + (x + n) \sqrt{\dots}},$

이는 다음으로 단순화될 수 있습니다:

$F (x)^{2} = a x + (n + a)^{2} + x F (x + n) .$

그런-다음 $F$ 가 해석적(analytic)이라고 가정하여 다음으로 표시될 수 있습니다:

$F (x) = x + n + a .$

따라서, a = 0, n = 1, 및 x = 2를 설정하여, 다음을 가집니다:

$3 = \sqrt{1 + 2 \sqrt{1 + 3 \sqrt{1 + \dots}}} .$

라마누젠은 잃어버린 노트에 다음과 같은 무한한 제곱근 비-중첩화를 명시했습니다:

$\sqrt{5 + \sqrt{5 + \sqrt{5 - \sqrt{5 + \sqrt{5 + \sqrt{5 + \sqrt{5 - \dots}}}}}}} = \frac{2 + \sqrt{5} + \sqrt{15 - 6 \sqrt{5}}}{2} .$

부호의 반복하는 패턴은 $(+, +, -, +)$ 입니다.

Viète's expression for π

π에 대해 비에타의 공식(Viète's formula), 원의 지름에 대한 원의 둘레의 비율은 다음입니다:

$\frac{2}{π} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2} \dots .$

Cube roots

어떤 경우에서, 다음과 같은 무한하게 중첩된 세제곱 근은

$x = \sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{6 + \dots}}}}$

마찬가지로 유리수를 나타낼 수 있습니다. 다시 말하지만, 전체 표현이 그 자체 내부에 나타난다는 것을 인식함으로써, 우리는 다음 방정식을 남깁니다:

$x = \sqrt[3]{6 + x} .$

이 방정식을 풀면, x = 2라는 것을 찾을 수 있습니다. 보다 일반적으로, 다음은 모든 n > 0에 대해 방정식 x3 − x − n = 0의 양의 실수 근을 찾을 수 있습니다.

$\sqrt[3]{n + \sqrt[3]{n + \sqrt[3]{n + \sqrt[3]{n + \dots}}}}$

n = 1에 대해, 이 근은 플라스틱 비율(plastic ratio) ρ이며, 근사적으로 1.3247과 같습니다.

같은 절차는 역시 모든 n > 1에 대해 방정식 x3 + x − n = 0의 실수 근으로 다음을 얻기 위해 작동합니다:

$\sqrt[3]{n - \sqrt[3]{n - \sqrt[3]{n - \sqrt[3]{n - \dots}}}}$

Herschfeld's convergence theorem

무한하게 중첩된 제곱근 $\sqrt{a_{1} + \sqrt{a_{2} + \dots}}$ (여기서 모든 $a_{i}$ 는 비-음수(nonnegative)임)이 수렴하는 것과 모든 $n$ 에 대해 $M \geq a_{n}^{2^{- n}}$ , 또는 다시 말해서 $sup a_{n}^{2^{- n}} < + \infty$ 임을 만족하는 일부 $M \in R$ 이 있는 것은 필요충분 조건입니다.

Proof of "if"

우리는 다음임을 관찰합니다:

$\sqrt{a_{1} + \sqrt{a_{2} + \dots}} \leq \sqrt{M^{2^{1}} + \sqrt{M^{2^{2}} + \dots}} = M \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}} < 2 M .$

게다가, 수열 $(\sqrt{a_{1} + \sqrt{a_{2} + \dots \sqrt{a_{n}}}})$ 은 단조적으로 증가하는 것입니다. 그러므로 그것은 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem)에 의해 수렴합니다.

Proof of "only if"

만약 수열 $(\sqrt{a_{1} + \sqrt{a_{2} + \dots \sqrt{a_{n}}}})$ 이 수렴하면, 그것은 경계집니다.

어쨌든, $a_{n}^{2^{- n}} \leq \sqrt{a_{1} + \sqrt{a_{2} + \dots \sqrt{a_{n}}}}$ 이고, 따라서 $(a_{n}^{2^{- n}})$ 는 역시 경계집니다.

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