미적분(calculus)에서, 로그 미분(logarithmic differentiation) 또는 로그를 취함으로써 미분(differentiation by taking logarithms)은 함수 f의 로그 도함수(logarithmic derivative)를 고용함으로써 함수(functions)를 미분하기 위해 사용되는 방법입니다:
\(\displaystyle (\ln f)' = \frac{f'}{f} \quad \implies \quad f' = f \cdot (\ln f)'.\)
이 기법은 함수 자체가 아닌 함수의 로그를 미분하는 것이 더 쉬운 경우에 종종 수행됩니다. 이것은 보통 관심의 함수가 여러 부분 (이는 미분하기가 훨씬 더 쉬움)의 곱으로 구성되어 로그 변환을 통해 별도 부분의 합으로 바뀌는 경우에 발생합니다. 그것은 역시 변수나 함수의 거듭제곱을 올려진 함수에 적용할 때 유용할 수 있습니다. 로그 미분은 곱을 합으로 변환하고 나눗셈을 뺄셈으로 변환하는 로그 (특히 자연 로그, 또는 밑수 e에 대한 로그)의 속성뿐만 아니라 체인 규칙에 의존합니다. 그 원칙은 이들 함수가 비-영이라는 조건으로 하여 거의 모든 미분-가능 함수(differentiable functions)의 미분에서, 적어도 부분적으로, 구현될 수 있습니다.
Overview
그 방법은 로그의 속성이 미분할 복잡한 함수를 신속하게 단순화할 수 있는 방법을 제공하기 때문에 사용됩니다. 이들 속성은 양쪽 변에 자연 로그를 취한 후에 예비 미분 전에 조작될 수 있습니다. 가장 공통적으로 사용되는 로그 법칙은 다음입니다:
\(\displaystyle \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b), \qquad
\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b), \qquad
\ln(a^n) = n\ln(a).\)
Higher order derivatives
파 디 브루노의 공식(Faà di Bruno's formula)을 사용하여, n-차수 로그 도함수는 다음입니다:
\(\displaystyle \frac{d^n}{dx^n} \ln f(x)
= \sum_{m_1+2m_2+\cdots+nm_n=n} \frac{n!}{m_1!\,m_2!\,\cdots\,m_n!} \cdot
\frac{(-1)^{m_1+\cdots+m_n-1} (m_1 +\cdots + m_n-1)!}{f(x)^{m_1+\cdots+m_n}} \cdot
\prod_{j=1}^n \left(\frac{f^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j}.\)
이것을 사용하여, 처음 네 개의 도함수는 다음입니다:
\(\begin{align}
\frac{d^2}{dx^2} \ln f(x) &= \frac{f''(x)}{f(x)} - \left(\frac{f'(x)}{f(x)} \right)^2 \\[1ex]
\frac{d^3}{dx^3} \ln f(x) &= \frac{f^{(3)}(x)}{f(x)} - 3 \frac{f'(x) f''(x)}{f(x)^2} + 2 \left(\frac{f'(x)}{f(x)} \right)^3 \\[1ex]
\frac{d^4}{dx^4} \ln f(x) &= \frac{f^{(4)}(x)}{f(x)} - 4 \frac{f'(x) f^{(3)}(x)}{f(x)^2} - 3 \left(\frac{f''(x)}{f(x)}\right)^2 + 12 \frac{f'(x)^2 f''(x)}{f(x)^3} - 6 \left(\frac{f'(x)}{f(x)} \right)^4
\end{align}\)
Applications
Products
자연 로그(natural logarithm)는 다음과 같이 곱을 합으로 변환하기 위해
\(\displaystyle \ln(f(x))=\ln(g(x)h(x)) = \ln(g(x)) + \ln(h(x)). \)
다음과 같은 두 함수의 곱에 적용됩니다:
\(f(x) = g(x) h(x)\)
체인 규칙(chain rule)과 합 규칙(sum rule)을 적용함으로써 미분은 다음을 산출합니다:
\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)} + \frac{h'(x)}{h(x)},\)
그리고, 재-정렬 후, 다음을 산출합니다
\(\displaystyle f'(x) = f(x)\times \left\{\frac{g'(x)}{g(x)} + \frac{h'(x)}{h(x)}\right\} =
g(x) h(x) \times \left\{\frac{g'(x)}{g(x)} + \frac{h'(x)}{h(x)}\right\} = g'(x) h(x) + g(x) h'(x),\)
이는 도함수에 대해 곱 규칙(product rule)입니다.
Quotients
자연 로그(natural logarithm)는 다음과 같이 나눗셈을 뺄셈으로 변환하기 위해
\(\displaystyle \ln(f(x)) = \ln\left(\frac{g(x)}{h(x)}\right) = \ln(g(x)) - \ln(h(x))\)
다음과 같은 두 함수의 몫에 적용됩니다:
\(\displaystyle f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\)
체인 규칙(chain rule)과 합 규칙(sum rule)을 적용함으로써 미분은 다음을 산출합니다:
\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)} - \frac{h'(x)}{h(x)},\)
그리고, 재-정렬 후, 다음을 산출합니다
\(\displaystyle f'(x) = f(x) \times \left\{\frac{g'(x)}{g(x)} - \frac{h'(x)}{h(x)}\right\} =
\frac{g(x)}{h(x)} \times \left\{\frac{g'(x)}{g(x)} - \frac{h'(x)}{h(x)}\right\} = \frac{g'(x) h(x) - g(x) h'(x)}{h(x)^2},\)
이는 도함수에 대해 몫 규칙(quotient rule)입니다.
Functional exponents
다음 형식의 함수에 대해
\(f(x) = g(x)^{h(x)}\)
자연 로그(natural logarithm)는 지수를 곱으로 변환합니다
\(\displaystyle \ln(f(x)) = \ln\left(g(x)^{h(x)}\right) = h(x) \ln(g(x))\)
체인 규칙(chain rule)과 곱 규칙(product rule)을 적용함으로써 미분은 다음을 산출합니다
\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)} = h'(x) \ln(g(x)) + h(x) \frac{g'(x)}{g(x)},\)
그리고, 재-정렬 후, 다음을 산출합니다
\(f'(x) = f(x)\times \left\{h'(x) \ln(g(x)) + h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\right\} =
g(x)^{h(x)} \times \left\{h'(x) \ln(g(x)) + h(x) \frac{g'(x)}{g(x)}\right\}.\)
같은 결과는 exp의 관점에서 f를 다시 쓰고 체인 규칙을 적용함으로써 얻을 수 있습니다.
General case
대문자 파이 표기법(capital pi notation)을 사용하여, 다음을
\(\displaystyle f(x) = \prod_i (f_i(x))^{\alpha_i(x)}\)
함수형 지수를 갖는 함수의 유한 곱이라고 놓습니다.
자연 로그의 적용은 (대문자 시그마 표기법(capital sigma notation)과 함께) 다음 결과를 초래합니다
\(\displaystyle \ln (f(x)) = \sum_i\alpha_i(x) \cdot \ln(f_i(x)),\)
그리고 미분 후에,
\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_i \left[\alpha_i'(x)\cdot \ln(f_i(x)) + \alpha_i(x) \cdot \frac{f_i'(x)}{f_i(x)}\right].\)
원래 함수의 도함수를 얻기 위해 재정렬,
\(\displaystyle f'(x) = \overbrace{\prod_i (f_i(x))^{\alpha_i(x)}}^{f(x)} \times\overbrace{\sum_i\left\{\alpha_i'(x)\cdot \ln(f_i(x))+\alpha_i(x)\cdot \frac{f_i'(x)}{f_i(x)}\right\}}^{[\ln (f(x))]'}.\)
See also
Notes
- Krantz, Steven G. (2003). Calculus demystified. McGraw-Hill Professional. p. 170. ISBN 0-07-139308-0.
- N.P. Bali (2005). Golden Differential Calculus. Firewall Media. p. 282. ISBN 81-7008-152-1.
- Bird, John (2006). Higher Engineering Mathematics. Newnes. p. 324. ISBN 0-7506-8152-7.
- Blank, Brian E. (2006). Calculus, single variable. Springer. p. 457. ISBN 1-931914-59-1.
- Williamson, Benjamin (2008). An Elementary Treatise on the Differential Calculus. BiblioBazaar, LLC. pp. 25–26. ISBN 978-0-559-47577-1.
