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(번역) Locally integrable function

by 다움위키 2024. 3. 3.

 

수학(mathematics)에서, 지역적으로 적분-가능 함수(locally integrable function, 때로는 지역적으로 합-가능 함수라고도 불림)는 정의 도메인의 모든 각 컴팩트 부분집합(compact subset)에서 적분-가능인 (따라서 적분은 유한함) 함수(function)입니다. 그러한 함수의 중요성은 그것들의 함수 공간(function space)이 \(L^p\) 공간과 유사하지만, 그것의 구성원이 도메인 경계 (도메인이 경계지지 않으면 무한대)에서 행동에 대한 임의의 성장 제한을 만족시킬 필요가 없다는 사실에 있습니다: 다른 말로, 지역적 적분-가능 함수는 도메인 경계에서 임의적으로 빠르게 성장할 수 있지만, 보통의 적분-가능 함수와 유사한 방법으로 여전히 관리 가능합니다.

Definition

Standard definition

Definition 1. Ω를 유클리드 공간(Euclidean space) \(\mathbb{R}^n\)에서 열린 집합(open set)이라고 \(f:\Omega \to \mathbb{C}\)를 르베그 측정가능 함수(measurable function)라고 놓습니다. 만약 Ω 위에 f가 다음을 만족하면,

\(\quad\displaystyle  \int_K | f |\, \mathrm{d}x <+\infty,\)

즉, 그것의 르베그 적분(Lebesgue integral)이 Ω의 모든 컴팩트 부분집합(compact subsets) K 위에 유한이면, f는 지역적으로 적분-가능(locally integrable)이라고 불립니다. 모든 그러한 함수의 집합은 \(L_{1,\mathrm{loc}}(\Omega)\)에 의해 표시됩니다:

\(\quad L_{1,\mathrm{loc}}(\Omega)=\bigl\{f\colon \Omega\to\mathbb{C}\text{ measurable} : f|_K \in L_1(K)\ \forall\, K \subset \Omega,\, K \text{ compact}\bigr\},\)

여기서 \(\left.f\right|_K\)는 f의 집합 K로의 제한(restriction)을 나타냅니다.

지역적으로 적분-가능 함수의 고전적 정의는 측정 이론(measure theoretic)과 토폴로지적 개념만을 포함하고 토폴로지적 측정 공간(measure space) (X, Σ, μ) 위에 추상적인 복소수-값(complex-valued) 함수로 이월될 수 있습니다: 어쨌든, 그러한 함수의 가장 공통적인 응용은 유클리드 공간 위에 분포 이론(distribution theory)이기 때문에, 이 섹션과 다음 섹션의 모든 정의는 이 중요한 경우에만 명시적으로 다룹니다.

An alternative definition

Definition 2. Ω를 유클리드 공간 \(\mathbb{R}^n\)에서 열린 집합이라고 놓습니다. 그런-다음 각 테스트 함수 \(\varphi \in C_c^\infty (\Omega)\)에 대해 다음임을 만족하는 함수(function) \(f: \Omega \to \mathbb{C}\)는

\(\quad\displaystyle  \int_\Omega | f \varphi|\, \mathrm{d}x <+\infty,\)

지역적으로 적분-가능(locally integrable)이라고 불리고, 그러한 함수의 집합은 \(L_{1,\mathbf{loc}}(\Omega)\)에 의해 표시됩니다. 여기서 \(C_c^\infty(\Omega)\)는 \(\Omega\)에 포함된 컴팩트 지원(compact support)을 갖는 모든 무한하게 적분가능 함수 \(\varphi : \Omega \to \mathbb{R}\)의 집합을 나타냅니다. 

이 정의는 니콜라 부르바키(Nicolas Bourbaki) 학파에 의해 개발된 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space) 위에 연속 선형 함수형(continuous linear functional)의 개념에 기반한 측정 이론과 적분 이론에 대한 접근 방식에 뿌리를 두고 있습니다: 이 정의는 Strichartz (2003)와 Maz'ya & Shaposhnikova (2009, p. 34)에 의해 채택된 것이기도 합니다. 이 "분포 이론적" 정의는 다음 보조정리가 증명하는 것처럼 표준 정의와 동등합니다:

 

Lemma 1. 주어진 함수 \(f: \Omega \to \mathbb{C}\)가 Definition 1에 따라 지역적으로 적분-가능인 것과 그것이 Definition 2에 따라 지역적으로 적분가능인 것은 필요충분 조건입니다, 즉,

\(\quad\displaystyle  \int_K | f |\, \mathrm{d}x <+\infty \quad \forall\, K \subset \Omega,\, K \text{ compact} \quad \Longleftrightarrow \quad 
\int_\Omega | f \varphi|\, \mathrm{d}x <+\infty \quad \forall\, \varphi \in C^\infty_{\mathrm{c}}(\Omega).\)

Proof of Lemma 1

If part:  \(\varphi \in C_c^\infty(\Omega)\)를 테스트 함수라고 놓습니다. 그것은 상한 노름(supremum norm) \(\|\varphi\|_\infty\)에 의해 경계지고, 측정-가능이고, K라고 부르는 컴팩트 지원(compact support)을 가집니다. 따라서 Definition 1에 의해,

\(\quad\displaystyle \int_\Omega | f \varphi|\, \mathrm{d}x = \int_K |f|\,|\varphi|\, \mathrm{d}x \le\|\varphi\|_\infty\int_K | f |\, \mathrm{d}x<\infty\)

Only if part: K를 열린 집합 Ω의 컴팩트 부분집합이라고 놓습니다. 우리는 먼저 K의 지시 함수(indicator function) \(\chi_K\)를 전문화하는 테스트 함수 \(\varphi_K \in C_c^\infty(\Omega)\)를 구성할 것입니다. K와 경계(boundary) ∂Ω 사이의 보통의 집합 거리는 엄격하게 영보다 크며, 즉,

\(\quad \Delta:=d(K,\partial\Omega)>0,\)

따라서 Δ > 2δ > 0임을 만족하는 실수 δ를 선택할 수 있습니다 (∂Ω이 빈 집합이면, Δ = ∞를 취합니다). \(K_\delta\)와 \(K_{2\delta}\)는 각각 K의 닫힌 δ-이웃과 2δ-이웃을 나타냅니다. 그것들은 마찬가지로 컴팩트하고 다음을 만족시킵니다:

\(\quad K\subset K_\delta\subset K_{2\delta}\subset\Omega,\qquad d(K_\delta,\partial\Omega)=\Delta-\delta>\delta>0.\)

이제 합성곱(convolution)을 다음에 의한 함수 \(\varphi_K : \Omega \to \mathbb{R}\)로 정의하기 위해 사용합니다:

\(\quad\displaystyle \varphi_K(x)={\chi_{K_\delta}\ast\varphi_\delta(x)}=
\int_{\mathbb{R}^n}\chi_{K_\delta}(y)\,\varphi_\delta(x-y)\,\mathrm{d}y,\)

여기서 \(\varphi_\delta\)는 표준 양의 대칭적 완화자를 사용함으로써 구성된 완화자(mollifier)입니다. 분명히 \(\varphi_K\)는 \(\varphi_K \ge 0\)이고 무한하게 미분-가능하다는 의미에서 비-음수이고, 그것의 지원은 \(K_{2\delta}\)에 지원이 포함되며, 특히 그것은 테스트 함수입니다. 모든 \(x \in K\)에 대해 \(\varphi_K(x)=1\)이므로, \(\chi_K \le \varphi_K\)임을 가집니다.

f를 Definition 2에 따른 지역적으로 적분-가능 함수라고 놓습니다. 그런-다음

\(\quad\displaystyle \int_K|f|\,\mathrm{d}x=\int_\Omega|f|\chi_K\,\mathrm{d}x
\le\int_\Omega|f|\varphi_K\,\mathrm{d}x<\infty.
\)

이것은 Ω의 모든 각 컴팩트 부분집합에 대해 유지되므로, 함수 f는 Definition 1에 따라 지역적으로 적분-가능입니다. □

Generalization: locally p-integrable functions

Definition 3. Ω를 유클리드 공간 \(\mathbb{R}^n\)에서 열린 집합이라고 놓고 \(f: \Omega \to \mathbb{C}\)를 르베그 측정-가능 함수라고 놓습니다. 만약, 1 ≤ p ≤ +∞을 갖는 주어진 p에 대해, \(f\)는 다음을 만족시키면:

\(\quad\displaystyle  \int_K | f|^p \,\mathrm{d}x <+\infty,\)

즉, 그것이 Ω의 모든 컴팩트 부분집합(compact subsets) K에 대해 \(L_p(K)\)에 속하면, \(f\)는 지역적으로 p-적분가능(locally p-integrable) 또는 역시 p-지역적으로 적분가능(p-locally integrable)입니다. 모든 그러한 함수의 집합(set)은 \(L_{p,\mathrm{loc}}(\Omega)\)에 의해 표시됩니다:

\(\quad L_{p,\mathrm{loc}}(\Omega)=\left\{f:\Omega\to\mathbb{C}\text{ measurable }\left|\ f|_K \in L_p(K),\ \forall\, K \subset \Omega, K \text{ compact}\right.\right\}.\)

지역적으로 적분-가능 함수에 대해 주어진 것과 완전하게 유사한 대안적인 정의는 지역적으로 p-적분가능 함수에 대해서도 제공될 수 있습니다: 그것은 이 섹션에 있는 것과 동등하고 입증될 수도 있습니다. 명백히 더 높은 일반성에도 불구하고, 지역적으로 p-적분가능 함수는 1 < p ≤ +∞임을 만족하는 모든 각 p에 대해 지역적으로 적분가능 함수의 부분집합을 형성합니다.

Notation

대문자 "L"에 사용될 수 있는 다른 글리프(glyphs)를 제외하고, 지역적으로 적분가능 함수의 집합의 표기법에 대한 변형이 거의 없습니다.

Properties

\(L_{p,\mathrm{loc}}\) is a complete metric space for all p ≥ 1

Theorem 1. \(L_{p,\mathrm{loc}}\)는 완비 메트릭가능 공간(complete metrizable space)입니다: 그것의 토폴로지는 다음 메트릭(metric)에 의해 생성될 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle d(u,v)=\sum_{k\geq 1}\frac{1}{2^k}\frac{\Vert u - v\Vert_{p,\omega_k}}{1+\Vert u - v\Vert_{p,\omega_k}}\qquad u, v\in L_{p,\mathrm{loc}}(\Omega),\)

여기서 \(\{\omega_k\}_{k \ge 1}\)는 다음임을 만족하는 비-빈 열린 집합의 가족입니다:

  • \(\omega_k \subset \subset \omega_{k+1}, \omega_k\)는 \(\omega_{k+1}\)에 컴택트하게 포함된다, 즉, 그것은 더 높은 인덱스의 집합에 엄격하게 포함된 컴팩트 클로저를 가지는 집합임을 의미합니다.
  • \(\cup _k\omega_k = \Omega\).
  • \(\scriptstyle{\Vert\cdot\Vert_{p,\omega_k}}\to\mathbb{R}^+\), \(k \in \mathbb{N}\)는 다음으로 정의된 반노름(seminorms)의 인덱스된 가족(indexed family)입니다:
    • \( {\Vert u \Vert_{p,\omega_k}} = \left (\int_{\omega_k} | u(x)|^p \,\mathrm{d}x\right)^{1/p}\qquad\forall\, u\in L_{p,\mathrm{loc}}(\Omega).\)

참조 (Gilbarg & Trudinger 1998, p. 147), (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 5), (Maz'ja 1985, p. 6), 및 (Maz'ya 2011, p. 2)에서, 이 정리는 명시되어 있지만 형식적 기초 위에 입증되지 않았습니다: 그것을 포함하는 더 일반적인 결과의 완전한 증명은 (Meise & Vogt 1997, p. 40)에서 찾을 수 있습니다.

\(L_p\) is a subspace of \(L_{1,\mathrm{loc}}\) for all p ≥ 1

Theorem 2. \(L_p(\Omega)\), 1 ≤ p ≤ +∞에 속하는 모든 각 함수 \(f\)는 , 여기서 Ω는 \(\mathbb{R}^n\)
의 열린 부분집합(open subset)이며, 지역적으로 적분-가능입니다.


Proof. 경우 p = 1는 자명하고, 따라서 증명의 계속에서 1 < p ≤ +∞임이 가정됩니다. Ω의 콤팩트 부분집합 K의 특성 함수(characteristic function) \(\chi_K\)를 생각해 보십시오: 그런-다음 p ≤ +∞에 대해,

\(\quad\displaystyle \left|{\int_\Omega|\chi_K|^q\,\mathrm{d}x}\right|^{1/q}=\left|{\int_K \mathrm{d}x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty,\)

여기서

그런-다음 \(L_p(\Omega)\)에 속하는 임의의 \(f\)에 대해, 횔더 부등식(Hölder's inequality)에 의해, 곱(product) \(f_{\chi_K}\)는 적분-가능(integrable), 즉, \(L_1(\Omega)\)에 속하고 다음과 같습니다:

\(\quad\displaystyle {\int_K|f|\,\mathrm{d}x}={\int_\Omega|f\chi_K|\,\mathrm{d}x}\leq\left|{\int_\Omega|f|^p\,\mathrm{d}x}\right|^{1/p}\left|{\int_K \mathrm{d}x}\right|^{1/q}=\|f\|_p|K|^{1/q}<+\infty,\)

따라서

\(\quad\displaystyle f\in L_{1,\mathrm{loc}}(\Omega).\)

다음 부등식이 참이기 때문에

\(\quad\displaystyle {\int_K|f|\,\mathrm{d}x}={\int_\Omega|f\chi_K|\,\mathrm{d}x}\leq\left|{\int_K|f|^p \,\mathrm{d}x}\right|^{1/p}\left|{\int_K \mathrm{d}x}\right|^{1/q}=\|f \chi_K\|_p|K|^{1/q}<+\infty,\)

정리는 지역적으로 p-적분가능 함수의 공간에만 속하는 함수 \(f\)에 대해서도 참이고, 따라서 정리는 다음 결과도 암시함을 주목하십시오.

 

Corollary 1. \(L_{p,loc}(\Omega)\), \( 1<p\leq\infty \)에서 모든 각 함수 \( f \)는 지역적으로 적분가능, 즉, \( L_{1,loc}(\Omega) \)에 속합니다.

Note: 만약 \( \Omega \)가 역시 경계진 \( \mathbb{R}^n\)의 열린 부분집합(open subset)이면, 주어진 위의 포함 \( L_1(\Omega)\subset L_{1,loc}(\Omega)\)을 의미있게 만드는 표준 포함 \( L_p(\Omega) \subset L_1(\Omega)\)을 가집니다. 그러나 이들 명제의 첫 번째는 만약 \( \Omega \)가 경계지지 않으면 참이 아닙니다; 게다가 여전히 임의의 \(p\)에 대해 \( L_p(\Omega) \subset L_{1,loc}(\Omega)\)라는 것은 참이지만, \( L_p(\Omega)\subset L_1(\Omega) \)라는 것은 참이 아닙니다. 이를 확인하기 위해, 전형적으로 함수 \( u(x)=1 \)를 생각해 보십시오, 이 함수는 임의의 유한 \(p\)에 대해 \( L_{\infty}(\mathbb{R}^n) \)에 있지만 \( L_p(\mathbb{R}^n)\)에 있지 않습니다.

 

\(L_{1,\mathrm{loc}}\) is the space of densities of absolutely continuous measures

Theorem 3. 함수 \(f\)가 절대적으로 연속 측정(absolutely continuous measure)의 밀도(density)인 것과 \( f\in L_{1,loc}\)인 것은 필요충분 조건입니다.

이 결과의 증명은 (Schwartz 1998, p. 18)에 의해 스케치됩니다. 그 명제를 바꾸어 말하면, 이 정리는 모든 각 지역적으로 적분가능 함수가 절대적으로 연속 측정을 정의하고 반대로 모든 각 절대적으로 연속 측정이 지역적으로 적분가능 함수를 정의한다고 주장합니다: 이것은 역시, 추상 측정 이론 프레임워크에서, Stanisław Saks에 의해 그의 논문에서 제공된 중요한 라돈-니코딤 정리(Radon–Nikodym theorem)의 형식입니다.

Examples

  • 실수 직선 위에 정의된 상수 함수 1은 지역적으로 적분가능이지만 전역적으로 적분가능은 아니데 왜냐하면 실수 직선은 무한 측정을 가지기 때문입니다. 보다 일반적으로, 상수, 연속 함수, 및 적분가능 함수(integrable functions)는 지역적으로 적분-가능입니다.
  • x ∈ (0, 1)에 대해 함수 \(f(x) = 1/x\)는 (0, 1) 위에 지역적이지만 전역적으로 적분-가능은 아닙니다. 그것은 지역적으로 적분가능인데 왜냐하면 임의의 컴팩트 집합 K ⊆ (0, 1)은 0에서 양의 거리를 가지고 따라서 \( f \)는 K에 경계지기 때문입니다. 이 예제는 지역적으로 적분-가능 함수가 경계진 도메인에서 경계 근처에서 성장 조건을 만족시킬 필요가 없다는 초기 주장을 뒷받침합니다.
  • 다음 함수는
    • \(
      f(x)=
      \begin{cases}
      1/x &x\neq 0,\\
      0 & x=0,
      \end{cases} \quad x \in \mathbb R
      \)
  • x = 0에서 지역적으로 적분-가능이 아닙니다: 그것은 실제로 이 점 근처에서 지역적으로 적분-가능인데 왜냐하면 그것을 포함하지 않는 모든 각 컴팩트 집합에 걸쳐 적분이 유한하기 때문입니다. 형식적으로 말하면, \(1/x \in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R} \ 0):\) 어쨌든, 이 함수는 코시 주요 값(Cauchy principal value)으로 전체 \(\mathbb{R}\) 위에 분포로 확장될 수 있습니다.
  • 앞의 예제는 다음과 같은 질문을 제기합니다: Ω ⊊ \(\mathbb{R}\)에서 지역적으로 적분-가능 모든 각 함수는 분포로 전체 \(\mathbb{R}\) 위에 확장을 허용하는가? 대답은 부정적이고, 다음 함수에서 반대예제를 제공합니다:
    • \(
      f(x)= 
      \begin{cases}
      e^{1/x} &x\neq 0,\\
      0 & x=0,
      \end{cases}
      \)
    • 위 함수는 \(\mathbb{R}\) 위에 임의의 분포를 정의하지 않습니다.
  • 다음 예제는, 이전 예제와 유사하게, 비정규 특이 계수(irregular singular coefficients)를 갖는 미분 연산자(differential operators)에 분포 이론의 응용에서 기본 반대예제(counterexample) 역할을 하는 \(L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R} \0)\)에 속하는 함수입니다:
    • \(
      f(x)= 
      \begin{cases}
      k_1 e^{1/x^2} &x>0,\\
      0 & x=0,\\
      k_2 e^{1/x^2} &x<0,
      \end{cases}
      \)
    • 여기서 \(k_1\)와 \(k_2\)는 복소 상수(complex constants)이며, 위의 함수는 다음 기본 일-차 비-푹스 미분 방정식(non-Fuchsian differential equation)의 일반 해입니다:
    • \(x^3\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}+2f=0.\)
    • 다시 말하지만 그것은 \(k_1\) 또는 \(k_2\)가 영이 아니면 전체 \(\mathbb{R}\) 위에 분포를 정의하지 않습니다: 따라서 그러한 방정식의 유일한 분포적 전역 해는 영 분포이고, 이것은 미분 방정식 이론의 이 가지에서 분포 이론의 방법이 같은 이론의 다른 가지, 특히 상수 계수를 갖는 선형 미분 방정식 이론에서 달성된 같은 성공을 가지도록 기대할 수 없는 방법을 보여줍니다.

Applications

지역적으로 적분-가능 함수는 분포 이론(distribution theory)에서 중요한 역할을 하고 경계진 변동의 함수와 같은 다양한 클래스의 함수(functions)와 함수 공간(function spaces)의 정의에서 발생합니다. 더욱이, 그것들은 모든 각 측정의 절대적으로 연속적인 부분을 특성화함으로써 라돈-니코딤 정리(Radon–Nikodym theorem)에 나타납니다.

See also

References

External links

 

 

 

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