수학(mathematics)에서, 함수(function)는 만약 그것이 모든 각 점 주위에 경계진(bounded) 것이면 지역적으로 경계진 것입니다. 함수의 가족(family)이 만약 그것들의 도메인(domain)에서 임의의 점에 대해 모든 함수가 해당 점을 주위로 및 같은 숫자로 경계지면 지역적으로 경계진 것입니다.
Locally bounded function
어떤 토폴로지적 공간(topological space) \(X\)에 정의된 실수-값(real-valued) 또는 복소-값(complex-valued) 함수 \(f\)는 만약 임의의 \(x_0 \in X\)에 대해 \(f(A)\)가 경계진 집합(bounded set)임을 만족하는 \(x_0\)의 이웃(neighborhood)이 존재하면 지역적으로 경계진 함수형이라고 불립니다. 즉, 어떤 숫자 \(M > 0\)에 대해, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad |f(x)| \leq M \quad \text{ for all } x \in A.\)
다시 말해서, 각 \(x\)에 대해, 우리는 \(x\)의 이웃에서 함수의 모든 값보다 더 큰 것인, \(x\)에 의존하는, 상수를 찾을 수 있습니다. 이것을 상수가 \(x\)에 의존하지 않는 경계진 함수(bounded function)와 비교하십시오. 분명하게, 만약 함수가 경계진 것이면 그것은 지역적으로 경계진 것입니다. 그 전환은 일반적으로 참이 아닙니다 (아래를 참조하십시오).
이 정의는 \(f : X \to Y\)가 일부 메트릭 공간(metric space) \((Y, d)\)에서 값을 취할 때인 경우로 확장될 수 있습니다. 그런-다음 위의 부등식은 다음으로 대체될 필요가 있습니다:
\(\quad d(f(x), y) \leq M \quad \text{ for all } x \in A,\)
여기서 \(y \in Y\)는 메트릭 공간에 어떤 점입니다. \(y\)의 선택은 정의에 영향을 미치지 않습니다; 다른 \(y\)를 선택하는 것은 이 부등식이 참인 상수 \(r\)을 기껏해야 증가할 뿐입니다.
Examples
- \(f(x) = \frac{1}{x^2+1}\)에 의해 정의된 함수 \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)는 경계진 것인데, 왜냐하면 모든 \(x\)에 대해 \(0 \leq f(x) \leq 1\)이기 때문입니다. 그러므로, 그것은 역시 지역적으로 경계진 것입니다.
- \(f(x) = 2x+3\)에 의해 정의된 함수 \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)는 경계지지 않은 것인데, 왜냐하면 그것은 임의적으로 크게 됩니다. 어쨌든, 그것은 지역적으로 경계진 것인데 왜냐하면 각 \(a\)에 대해, 이웃 \((a - 1, a + 1)\)에서 \(|f(x)| \leq M\)이기 때문이며, 여기서 \(M = 2|a| + 5\)입니다.
- 다음에 의해 정의된 함수 \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)는
- \(f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{x}, & \mbox{if } x \neq 0, \\
0, & \mbox{if } x = 0
\end{cases}
\) 경계진 것도 아니고 지역적으로 경계진 것도 아닙니다. 0의 임의의 이웃에서, 이 함수는 임의적으로 큰 크기의 값을 취합니다.
- \(f(x) = \begin{cases}
- 임의의 연속 함수는 지역적으로 경계진 것입니다. 다음은 실수 변수의 함수에 대한 하나의 증명입니다. \(f : U \to \mathbb{R}\)를 연속이라고 놓고 여기서 \(U \subseteq \mathbb{R}\)이고, 우리는 \(f\)가 모든 \(a \in U\)에 대해 \(a\)에서 지역적으로 경계진 것임을 보일 것입니다. 연속성의 정의에서 ε = 1을 취하면, \(|x - a| < \delta\)를 갖는 모든 \(x \in U\)에 대해 \(|f(x) - f(a)| < 1\)를 만족하는 \(\delta > 0\)가 존재합니다. 이제 [[triangle inequality|삼각형 부등식(triangle inequality)]]에 의해, \(|f(x)| = |f(x) - f(a) + f(a)| \leq |f(x) - f(a)| + |f(a)| < 1 + |f(a)|\)이며, 이것은 \(f\)가 (\(M = 1 + |f(a)|\)과 이웃 \((a - \delta, a + \delta)\)을 취하여) \(a\)에서 지역적으로 경계진 것임을 의미합니다. 이 논증은 \(f\)의 도메인이 임의의 토폴로지적 공간일 때로 쉽게 일반화됩니다.
- 위의 결과의 전환은 어쨌든 참이 아닙니다; 즉, 불연속 함수는 지역적으로 경계진 것일 수 있습니다. 예를 들어 모든 \(x \neq 0\)에 대해 \(f(0) = 1\)와 \(f(x) = 0\)에 의해 주어진 함수 \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)를 생각해 보십시오. 그때에 \(f\)는 0에서 불연속이지만 \(f\)는 지역적으로 경계진 것입니다; 그것이 영을 제외하고 예를 들어, 우리가 \(M = 1\)과 이웃 \((-1, 1)\)을 취할 수 있는 곳에서 지역적으로 상수입니다.
Locally bounded family
어떤 토폴로지적 공간 \(X\)에 정의된 실수-값 또는 복소-값 함수의 집합(set) (역시 가족으로 불림) U는 만약 임의의 \(x_0 \in X\)에 대해, 모든 \(x \in A\)와 \(f \in U\)에 대해 다음을 만족하는 \(x_0\)의 이웃(neighborhood) \(A\)와 양수 \(M > 0\)이 존재하면 지역적으로 경계진 것이라고 불립니다:
\(\quad |f(x)| \leq M\).
다시 말해서, 그 가족에서 모든 함수는 지역적으로 경계져야 하고, 각 점 주위로 그것들은 같은 상수에 의해 경계져야 합니다.
이 정의는 역시 가족 U에서 그 함수가 어떤 메트릭 공간에서 값을 취할 때는 경우로, 거리 함수를 갖는 절댓값을 다시 대체함으로써 확장될 수 있습니다.
Examples
- 다음 함수 \(f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)의 가족은 \(f_n(x) = \frac{x}{n}\) 여기서 \(n = 1, 2, \ldots\)이며, 지역적으로 경계진 것입니다. 사실, 만약 \(x_0\)가 실수이면, 우리는 구간 \(\left(x_0 - a, x_0 + 1\right)\)이 되도록 이웃 \(A\)를 선택할 수 있습니다. 그때에 이 구간에서 모든 \(x\)에 대해 및 모든 \(n \geq 1\)에 대해 우리는 \(M = 1 + |x_0|\)을 갖는 다음을 가집니다:
- \(|f_n(x)| \leq M\).
- 게다가, 그 가족은 균등하게 경계진(uniformly bounded) 것인데, 왜냐하면 이웃 \(A\)도 상수 \(M\)도 인덱스 \(n\)에 의존하지 않기 때문입니다.
- 함수 \(f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)의 다음 가족은
- \(f_n(x) = \frac{1}{x^2+n^2}\)
- 만약 \(n\)이 영보다 더 크면 지역적으로 경계진 것입니다. 임의의 \(x_0\)에 대해, 우리는 \(\mathbb{R}\) 자체가 되도록 이웃 \(A\)를 선택할 수 있습니다. 그때에 우리는 \(M = 1\)을 갖는 다음을 가집니다:
- \(|f_n(x)| \leq M\).
- \(M\)의 값은 \(x_0\) 또는 그것의 이웃 \(A\)의 선택에 의존하지 않음을 주목하십시오. 이 가족은 그때에 지역적으로 경계진 것일 뿐만 아니라, 역시 균등하게 경계진 것입니다.
- 함수 \(f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)의 다음 가족은
- \(f_n(x) = x+n\)
- 지역적으로 경계진 것이 아닙니다. 사실, 임의의 \(x\)에 대해, 값 \(f_n(x)\)은 \(n\)이 무한대로 향하는 경향일 때 절대 경계진 것이 아닙니다.
Topological vector spaces
지역 경계성은 오직 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space), 또는 토폴로지적 공간에서 토폴로지적 벡터 공간 (TVS)으로의 함수의 속성을 참조할 수 있습니다.
Locally bounded topological vector spaces
토폴로지적 벡터 공간 \(X\)의 부분집합(subset) \(B \subseteq X\)는 만약 \(X\)에서 원점의 각 이웃 \(U\)에 대해 다음을 만족하는 실수 \(r > 0\)이 존재하면 경계진(bounded) 것이라고 불립니다:
\(\quad B \subseteq t U \quad \text{ for all } t > s.\)
지역적으로 경계진 토폴로지적 벡터 공간은 원점의 경계진 이웃을 소유하는 토폴로지적 벡터 공간입니다. 콜모고로프의 노름가능성 기준(Kolmogorov's normability criterion)에 의해, 이것이 지역적으로 볼록 공간의 참인 것과 TVS의 토폴로지가 일부 반-노름(seminorm)에 의해 유도되는 것은 필요충분 조건입니다. 특히, 모든 각 지역적으로 경계진 TVS는 지역적으로 볼록(locally convex)이고 유사-메트릭가능(pseudometrizable)입니다.
Locally bounded functions
토폴로지적 벡터 공간 사이의 함수를 \(f : X \to Y\)라고 놓으면 만약 \(X\)의 모든 각 점이 \(f\) 아래의 이미지(image)가 경계진 이웃을 가지면 지역적으로 경계진 함수라고 말합니다.
다음 정리는 토폴로지적 벡터공간의 지역 경계성을 갖는 함수의 지역 경계성과 관련되어 있습니다:
정리. 토폴로지적 벡터 공간 \(X\)가 지역적으로 경계진 것과 항등 맵(identity map) \(\operatorname{id}_X : X \to X\)이 지역적으로 경계진 것은 필요충분 조건입니다.
See also
External links
