통계(statistics)에서, 확률 분포(probability distribution)의 위치 매개변수는 분포의 "위치" 또는 이동을 결정하는 스칼라- 또는 벡터-값 매개변수(parameter) \(x_0\)입니다. 위치 매개변수 추정의 문헌에서, 그러한 매개변수를 갖는 확률 분포는 다음과 같은 동등한 방법 중 하나로 공식적으로 정의된 것으로 찾아집니다:
- 확률 밀도 함수(probability density function) 또는 확률 질량 함수(probability mass function)를 가집니다; 또는
- 누적 분포 함수(cumulative distribution function) \(F(x - x_0)\)를 가집니다; 또는
- 확률 변수 변환 \(x_0 + X\)의 결과로 정의된 것, 여기서 \(X\)는 특정, 아마도 알려지지 않은 분포를 갖는 확률 변수입니다 (역시 #Additive_noise를 참조하십시오).
위치 매개변수의 직접 예제는 정규 분포(normal distribution)의 매개변수 \(\mu\)입니다. 이를 확인하기 위해, 정규 분포 \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\)의 확률 밀도 함수 \(f(x | \mu, \sigma)\)는 인수화된 매개변수 \(\mu\)를 가지고 다음으로 쓰일 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle
g(y - \mu | \sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{y}{\sigma}\right)^2}
\)
따라서 위에 주어진 정의 중 첫 번째를 충족합니다.
위의 정의는, 일-차원의 경우에서, 만약 \(x_0\)가 증가되면, 확률 밀도 또는 질량 함수가 정확한 모양을 유지하면서 오른쪽으로 엄격하게 이동함을 나타냅니다.
위치 매개변수는 위치–스케일 가족(location–scale families)과 같이 하나보다 많은 매개변수를 가지는 가족에서도 찾아질 수 있습니다. 이 경우에서, 확률 밀도 함수 또는 확률 질량 함수는 보다 일반적인 형식의 특수한 경우일 것입니다:
\(\quad f_{x_0,\theta}(x) = f_\theta(x-x_0)\)
여기서 \(x_0\)는 위치 매개변수이고, θ는 추가적인 매개변수를 나타내고, \(f_\theta\)는 추가적인 매개변수에 대해 매개변수화된 함수입니다.
Additive noise
위치 가족을 생각하는 대안적인 방법은 더해지는 소음(additive noise)의 개념을 통한 것입니다. 만약 \(x_0\)가 상수이고 W가 확률 밀도 \(f_W(w)\)를 갖는 무작위 소음(noise)이면, \(X = x_0 + W\)는 확률 밀도 \(f_{x_0}(x) = f_W(x-x_0)\)를 가지고 그것의 분포는 따라서 위치 가족의 일부입니다.
Proofs
연속 일변수 경우에 대해, 확률 밀도 함수 \(f(x | \theta), x \in [a, b] \subset \mathbb{R}\)를 생각해 보십시오, 여기서 \(\theta\)는 매개변수의 벡터입니다. 위치 매개변수 \(x_0\)는 다음을 정의함으로써 더해질 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle
g(x | \theta, x_0) = f(x - x_0 | \theta), \; x \in [a - x_0, b - x_0]
\)
이것은 \(g\)가 두 조건 \(g(x | \theta, x_0) \ge 0\)와 \(\int_{-\infty}^{\infty} g(x | \theta, x_0) dx = 1\)을 존중함을 확인함으로써 p.d.f임을 입증할 수 있습니다. \(g\)는 1로 적분되는데, 다음이기 때문입니다:
\(\quad\displaystyle
\int_{-\infty}^{\infty} g(x | \theta, x_0) dx = \int_{a - x_0}^{b - x_0} g(x | \theta, x_0) dx = \int_{a - x_0}^{b - x_0} f(x - x_0 | \theta) dx
\)
이제 변수를 \(u = x - x_0\)로 변경하고 적분 구간을 업데이트하면 그에 따라서 다음을 산출합니다:
\(\quad\displaystyle
\int_{a}^{b} f(u | \theta) du = 1
\)
왜냐하면 \(f(x | \theta)\)는 가설에 의해 p.d.f이기 때문입니다. \(g(x | \theta, x_0) \ge 0\)는 \(f\)의 같은 이미지를 공유하는 \(g\)에서 따르며, 이것은 p.d.f이므로 그것의 이미지는 \([0, 1]\)에 포함됩니다.
See also
References
- Takeuchi, Kei (1971). "A Uniformly Asymptotically Efficient Estimator of a Location Parameter". Journal of the American Statistical Association. 66 (334): 292–301.
- Huber, Peter J. (1992). "Robust estimation of a location parameter". Breakthroughs in statistics. Springer: 492–518.
- Stone, Charles J. (1975). "Adaptive Maximum Likelihood Estimators of a Location Parameter". The Annals of Statistics. 3 (2): 267–284.
- Ross, Sheldon (2010). Introduction to probability models. Amsterdam Boston: Academic Press. ISBN 978-0-12-375686-2. OCLC 444116127.
