(번역) Locally integrable function

Original article: w:Locally integrable function

 

수학(mathematics)에서, 지역적으로 적분-가능 함수(locally integrable function, 때로는 지역적으로 합-가능 함수라고도 불림)는 정의 도메인의 모든 각 컴팩트 부분집합(compact subset)에서 적분-가능인 (따라서 적분은 유한함) 함수(function)입니다. 그러한 함수의 중요성은 그것들의 함수 공간(function space)이 $L^p$ 공간과 유사하지만, 그것의 구성원이 도메인 경계 (도메인이 경계지지 않으면 무한대)에서 행동에 대한 임의의 성장 제한을 만족시킬 필요가 없다는 사실에 있습니다: 다른 말로, 지역적 적분-가능 함수는 도메인 경계에서 임의적으로 빠르게 성장할 수 있지만, 보통의 적분-가능 함수와 유사한 방법으로 여전히 관리 가능합니다.

Definition

Standard definition

Definition 1. Ω를 유클리드 공간(Euclidean space) ${\mathbb{R}}^n$에서 열린 집합(open set)이라고 $f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{C}$를 르베그 측정가능 함수(measurable function)라고 놓습니다. 만약 Ω 위에 f가 다음을 만족하면,

${\displaystyle {\int }_K|f|\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty },}$

즉, 그것의 르베그 적분(Lebesgue integral)이 Ω의 모든 컴팩트 부분집합(compact subsets) K 위에 유한이면, f는 지역적으로 적분-가능(locally integrable)이라고 불립니다. 모든 그러한 함수의 집합은 $L_{1,\mathrm{loc}}(\mathrm{\Omega })$에 의해 표시됩니다:

$L_{1,\mathrm{loc}}(\mathrm{\Omega })=\{f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{C}\text{ measurable}:f{|}_K\in L_1(K)\mathrm{\forall }K\subset \mathrm{\Omega },K\text{ compact}\},$

여기서 ${f|}_K$는 f의 집합 K로의 제한(restriction)을 나타냅니다.

지역적으로 적분-가능 함수의 고전적 정의는 측정 이론(measure theoretic)과 토폴로지적 개념만을 포함하고 토폴로지적 측정 공간(measure space) (X, Σ, μ) 위에 추상적인 복소수-값(complex-valued) 함수로 이월될 수 있습니다: 어쨌든, 그러한 함수의 가장 공통적인 응용은 유클리드 공간 위에 분포 이론(distribution theory)이기 때문에, 이 섹션과 다음 섹션의 모든 정의는 이 중요한 경우에만 명시적으로 다룹니다.

An alternative definition

Definition 2. Ω를 유클리드 공간 ${\mathbb{R}}^n$에서 열린 집합이라고 놓습니다. 그런-다음 각 테스트 함수 $\phi \in C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$에 대해 다음임을 만족하는 함수(function) $f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{C}$는

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}|f\phi |\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty },}$

지역적으로 적분-가능(locally integrable)이라고 불리고, 그러한 함수의 집합은 $L_{1,\mathbf{loc}}(\mathrm{\Omega })$에 의해 표시됩니다. 여기서 $C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$는 $\mathrm{\Omega }$에 포함된 컴팩트 지원(compact support)을 갖는 모든 무한하게 적분가능 함수 $\phi :\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$의 집합을 나타냅니다. 

이 정의는 니콜라 부르바키(Nicolas Bourbaki) 학파에 의해 개발된 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space) 위에 연속 선형 함수형(continuous linear functional)의 개념에 기반한 측정 이론과 적분 이론에 대한 접근 방식에 뿌리를 두고 있습니다: 이 정의는 Strichartz (2003)와 Maz'ya & Shaposhnikova (2009, p. 34)에 의해 채택된 것이기도 합니다. 이 "분포 이론적" 정의는 다음 보조정리가 증명하는 것처럼 표준 정의와 동등합니다:

 

Lemma 1. 주어진 함수 $f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{C}$가 Definition 1에 따라 지역적으로 적분-가능인 것과 그것이 Definition 2에 따라 지역적으로 적분가능인 것은 필요충분 조건입니다, 즉,

${\displaystyle {\int }_K|f|\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty }\mathrm{\forall }K\subset \mathrm{\Omega },K\text{ compact}⟺{\int }_{\mathrm{\Omega }}|f\phi |\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty }\mathrm{\forall }\phi \in C_{\mathrm{c}}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega }).}$

Proof of Lemma 1

If part:  $\phi \in C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$를 테스트 함수라고 놓습니다. 그것은 상한 노름(supremum norm) $\Vert \phi {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$에 의해 경계지고, 측정-가능이고, K라고 부르는 컴팩트 지원(compact support)을 가집니다. 따라서 Definition 1에 의해,

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}|f\phi |\mathrm{d}x={\int }_K|f||\phi |\mathrm{d}x\le \Vert \phi {\Vert }_{\mathrm{\infty }}{\int }_K|f|\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }}$

Only if part: K를 열린 집합 Ω의 컴팩트 부분집합이라고 놓습니다. 우리는 먼저 K의 지시 함수(indicator function) ${\chi }_K$를 전문화하는 테스트 함수 ${\phi }_K\in C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$를 구성할 것입니다. K와 경계(boundary) ∂Ω 사이의 보통의 집합 거리는 엄격하게 영보다 크며, 즉,

$\mathrm{\Delta }:=d(K,\partial \mathrm{\Omega })>0,$

따라서 Δ > 2δ > 0임을 만족하는 실수 δ를 선택할 수 있습니다 (∂Ω이 빈 집합이면, Δ = ∞를 취합니다). $K_{\delta }$와 $K_{2\delta }$는 각각 K의 닫힌 δ-이웃과 2δ-이웃을 나타냅니다. 그것들은 마찬가지로 컴팩트하고 다음을 만족시킵니다:

$K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \mathrm{\Omega },d(K_{\delta },\partial \mathrm{\Omega })=\mathrm{\Delta }-\delta >\delta >0.$

이제 합성곱(convolution)을 다음에 의한 함수 ${\phi }_K:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$로 정의하기 위해 사용합니다:

${\displaystyle {\phi }_K(x)={\chi }_{K_{\delta }}\ast {\phi }_{\delta }(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\chi }_{K_{\delta }}(y){\phi }_{\delta }(x-y)\mathrm{d}y,}$

여기서 ${\phi }_{\delta }$는 표준 양의 대칭적 완화자를 사용함으로써 구성된 완화자(mollifier)입니다. 분명히 ${\phi }_K$는 ${\phi }_K\ge 0$이고 무한하게 미분-가능하다는 의미에서 비-음수이고, 그것의 지원은 $K_{2\delta }$에 지원이 포함되며, 특히 그것은 테스트 함수입니다. 모든 $x\in K$에 대해 ${\phi }_K(x)=1$이므로, ${\chi }_K\le {\phi }_K$임을 가집니다.

f를 Definition 2에 따른 지역적으로 적분-가능 함수라고 놓습니다. 그런-다음

${\displaystyle {\int }_K|f|\mathrm{d}x={\int }_{\mathrm{\Omega }}|f|{\chi }_K\mathrm{d}x\le {\int }_{\mathrm{\Omega }}|f|{\phi }_K\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }.}$

이것은 Ω의 모든 각 컴팩트 부분집합에 대해 유지되므로, 함수 f는 Definition 1에 따라 지역적으로 적분-가능입니다. □

Generalization: locally p-integrable functions

Definition 3. Ω를 유클리드 공간 ${\mathbb{R}}^n$에서 열린 집합이라고 놓고 $f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{C}$를 르베그 측정-가능 함수라고 놓습니다. 만약, 1 ≤ p ≤ +∞을 갖는 주어진 p에 대해, $f$는 다음을 만족시키면:

${\displaystyle {\int }_K|f{|}^p\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty },}$

즉, 그것이 Ω의 모든 컴팩트 부분집합(compact subsets) K에 대해 $L_p(K)$에 속하면, $f$는 지역적으로 p-적분가능(locally p-integrable) 또는 역시 p-지역적으로 적분가능(p-locally integrable)입니다. 모든 그러한 함수의 집합(set)은 $L_{p,\mathrm{loc}}(\mathrm{\Omega })$에 의해 표시됩니다:

$L_{p,\mathrm{loc}}(\mathrm{\Omega })=\{f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{C}\text{ measurable }|f{|}_K\in L_p(K),\mathrm{\forall }K\subset \mathrm{\Omega },K\text{ compact}\}.$

지역적으로 적분-가능 함수에 대해 주어진 것과 완전하게 유사한 대안적인 정의는 지역적으로 p-적분가능 함수에 대해서도 제공될 수 있습니다: 그것은 이 섹션에 있는 것과 동등하고 입증될 수도 있습니다. 명백히 더 높은 일반성에도 불구하고, 지역적으로 p-적분가능 함수는 1 < p ≤ +∞임을 만족하는 모든 각 p에 대해 지역적으로 적분가능 함수의 부분집합을 형성합니다.

Notation

대문자 "L"에 사용될 수 있는 다른 글리프(glyphs)를 제외하고, 지역적으로 적분가능 함수의 집합의 표기법에 대한 변형이 거의 없습니다.

• $L_{\mathrm{loc}}^p(\mathrm{\Omega }),$ adopted by (Hörmander 1990, p. 37), (Strichartz 2003, pp. 12–13) and (Vladimirov 2002, p. 3).
• $L_{p,\mathrm{loc}}(\mathrm{\Omega }),$ adopted by (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4) and Maz'ya & Shaposhnikova (2009, p. 44).
• $L_p(\mathrm{\Omega },\mathrm{loc}),$ adopted by (Maz'ja 1985, p. 6) and (Maz'ya 2011, p. 2).

Properties

$L_{p,\mathrm{loc}}$ is a complete metric space for all p ≥ 1

Theorem 1. $L_{p,\mathrm{loc}}$는 완비 메트릭가능 공간(complete metrizable space)입니다: 그것의 토폴로지는 다음 메트릭(metric)에 의해 생성될 수 있습니다:

${\displaystyle d(u,v)=\sum _{k\ge 1}\frac{1}{2^k}\frac{\Vert u-v{\Vert }_{p,{\omega }_k}}{1+\Vert u-v{\Vert }_{p,{\omega }_k}}u,v\in L_{p,\mathrm{loc}}(\mathrm{\Omega }),}$

여기서 $\{{\omega }_k{\}}_{k\ge 1}$는 다음임을 만족하는 비-빈 열린 집합의 가족입니다:

• ${\omega }_k\subset \subset {\omega }_{k+1},{\omega }_k$는 ${\omega }_{k+1}$에 컴택트하게 포함된다, 즉, 그것은 더 높은 인덱스의 집합에 엄격하게 포함된 컴팩트 클로저를 가지는 집합임을 의미합니다.
• ${\cup }_k{\omega }_k=\mathrm{\Omega }$.
• $\Vert \cdot {\Vert }_{p,{\omega }_k}\to {\mathbb{R}}^{+}$, $k\in \mathbb{N}$는 다음으로 정의된 반노름(seminorms)의 인덱스된 가족(indexed family)입니다:
  
  • $\Vert u{\Vert }_{p,{\omega }_k}={({\int }_{{\omega }_k}|u(x){|}^p\mathrm{d}x)}^{1/p}\mathrm{\forall }u\in L_{p,\mathrm{loc}}(\mathrm{\Omega }).$

참조 (Gilbarg & Trudinger 1998, p. 147), (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 5), (Maz'ja 1985, p. 6), 및 (Maz'ya 2011, p. 2)에서, 이 정리는 명시되어 있지만 형식적 기초 위에 입증되지 않았습니다: 그것을 포함하는 더 일반적인 결과의 완전한 증명은 (Meise & Vogt 1997, p. 40)에서 찾을 수 있습니다.

$L_p$ is a subspace of $L_{1,\mathrm{loc}}$ for all p ≥ 1

Theorem 2. $L_p(\mathrm{\Omega })$, 1 ≤ p ≤ +∞에 속하는 모든 각 함수 $f$는 , 여기서 Ω는 ${\mathbb{R}}^n$
의 열린 부분집합(open subset)이며, 지역적으로 적분-가능입니다.

Proof. 경우 p = 1는 자명하고, 따라서 증명의 계속에서 1 < p ≤ +∞임이 가정됩니다. Ω의 콤팩트 부분집합 K의 특성 함수(characteristic function) ${\chi }_K$를 생각해 보십시오: 그런-다음 p ≤ +∞에 대해,

${\displaystyle {\left|{\int }_{\mathrm{\Omega }}|{\chi }_K{|}^q\mathrm{d}x\right|}^{1/q}={\left|{\int }_K\mathrm{d}x\right|}^{1/q}=|K{|}^{1/q}<+\mathrm{\infty },}$

여기서

• q는 주어진 1 ≤ p ≤ +∞에 대해 1/p + 1/q = 1임을 만족하는 양수(positive number)입니다.
• |K|는 컴팩트 집합(compact set) K의 르베그 측정(Lebesgue measure)입니다.

그런-다음 $L_p(\mathrm{\Omega })$에 속하는 임의의 $f$에 대해, 횔더 부등식(Hölder's inequality)에 의해, 곱(product) $f_{{\chi }_K}$는 적분-가능(integrable), 즉, $L_1(\mathrm{\Omega })$에 속하고 다음과 같습니다:

${\displaystyle {\int }_K|f|\mathrm{d}x={\int }_{\mathrm{\Omega }}|f{\chi }_K|\mathrm{d}x\le {\left|{\int }_{\mathrm{\Omega }}|f{|}^p\mathrm{d}x\right|}^{1/p}{\left|{\int }_K\mathrm{d}x\right|}^{1/q}=\Vert f{\Vert }_p|K{|}^{1/q}<+\mathrm{\infty },}$

따라서

${\displaystyle f\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathrm{\Omega }).}$

다음 부등식이 참이기 때문에

${\displaystyle {\int }_K|f|\mathrm{d}x={\int }_{\mathrm{\Omega }}|f{\chi }_K|\mathrm{d}x\le {\left|{\int }_K|f{|}^p\mathrm{d}x\right|}^{1/p}{\left|{\int }_K\mathrm{d}x\right|}^{1/q}=\Vert f{\chi }_K{\Vert }_p|K{|}^{1/q}<+\mathrm{\infty },}$

정리는 지역적으로 p-적분가능 함수의 공간에만 속하는 함수 $f$에 대해서도 참이고, 따라서 정리는 다음 결과도 암시함을 주목하십시오.

 

Corollary 1. $L_{p,loc}(\mathrm{\Omega })$, $1<p\le \mathrm{\infty }$에서 모든 각 함수 $f$는 지역적으로 적분가능, 즉, $L_{1,loc}(\mathrm{\Omega })$에 속합니다.

Note: 만약 $\mathrm{\Omega }$가 역시 경계진 ${\mathbb{R}}^n$의 열린 부분집합(open subset)이면, 주어진 위의 포함 $L_1(\mathrm{\Omega })\subset L_{1,loc}(\mathrm{\Omega })$을 의미있게 만드는 표준 포함 $L_p(\mathrm{\Omega })\subset L_1(\mathrm{\Omega })$을 가집니다. 그러나 이들 명제의 첫 번째는 만약 $\mathrm{\Omega }$가 경계지지 않으면 참이 아닙니다; 게다가 여전히 임의의 $p$에 대해 $L_p(\mathrm{\Omega })\subset L_{1,loc}(\mathrm{\Omega })$라는 것은 참이지만, $L_p(\mathrm{\Omega })\subset L_1(\mathrm{\Omega })$라는 것은 참이 아닙니다. 이를 확인하기 위해, 전형적으로 함수 $u(x)=1$를 생각해 보십시오, 이 함수는 임의의 유한 $p$에 대해 $L_{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^n)$에 있지만 $L_p({\mathbb{R}}^n)$에 있지 않습니다.

 

$L_{1,\mathrm{loc}}$ is the space of densities of absolutely continuous measures

Theorem 3. 함수 $f$가 절대적으로 연속 측정(absolutely continuous measure)의 밀도(density)인 것과 $f\in L_{1,loc}$인 것은 필요충분 조건입니다.

이 결과의 증명은 (Schwartz 1998, p. 18)에 의해 스케치됩니다. 그 명제를 바꾸어 말하면, 이 정리는 모든 각 지역적으로 적분가능 함수가 절대적으로 연속 측정을 정의하고 반대로 모든 각 절대적으로 연속 측정이 지역적으로 적분가능 함수를 정의한다고 주장합니다: 이것은 역시, 추상 측정 이론 프레임워크에서, Stanisław Saks에 의해 그의 논문에서 제공된 중요한 라돈-니코딤 정리(Radon–Nikodym theorem)의 형식입니다.

Examples

• 실수 직선 위에 정의된 상수 함수 1은 지역적으로 적분가능이지만 전역적으로 적분가능은 아니데 왜냐하면 실수 직선은 무한 측정을 가지기 때문입니다. 보다 일반적으로, 상수, 연속 함수, 및 적분가능 함수(integrable functions)는 지역적으로 적분-가능입니다.
• x ∈ (0, 1)에 대해 함수 $f(x)=1/x$는 (0, 1) 위에 지역적이지만 전역적으로 적분-가능은 아닙니다. 그것은 지역적으로 적분가능인데 왜냐하면 임의의 컴팩트 집합 K ⊆ (0, 1)은 0에서 양의 거리를 가지고 따라서 $f$는 K에 경계지기 때문입니다. 이 예제는 지역적으로 적분-가능 함수가 경계진 도메인에서 경계 근처에서 성장 조건을 만족시킬 필요가 없다는 초기 주장을 뒷받침합니다.
• 다음 함수는
  
  • $f(x)=\{\begin{array}{ll}1/x& x\ne 0,\\ 0& x=0,\end{array}x\in \mathbb{R}$
• x = 0에서 지역적으로 적분-가능이 아닙니다: 그것은 실제로 이 점 근처에서 지역적으로 적분-가능인데 왜냐하면 그것을 포함하지 않는 모든 각 컴팩트 집합에 걸쳐 적분이 유한하기 때문입니다. 형식적으로 말하면, $1/x\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}0):$ 어쨌든, 이 함수는 코시 주요 값(Cauchy principal value)으로 전체 $\mathbb{R}$ 위에 분포로 확장될 수 있습니다.
• 앞의 예제는 다음과 같은 질문을 제기합니다: Ω ⊊ $\mathbb{R}$에서 지역적으로 적분-가능 모든 각 함수는 분포로 전체 $\mathbb{R}$ 위에 확장을 허용하는가? 대답은 부정적이고, 다음 함수에서 반대예제를 제공합니다:
  
  • $f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{1/x}& x\ne 0,\\ 0& x=0,\end{array}$
  • 위 함수는 $\mathbb{R}$ 위에 임의의 분포를 정의하지 않습니다.
• 다음 예제는, 이전 예제와 유사하게, 비정규 특이 계수(irregular singular coefficients)를 갖는 미분 연산자(differential operators)에 분포 이론의 응용에서 기본 반대예제(counterexample) 역할을 하는 $L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}\text{0})$에 속하는 함수입니다:
  
  • $f(x)=\{\begin{array}{ll}{k}_1{e}^{1/x^2}& x>0,\\ 0& x=0,\\ k_2{e}^{1/x^2}& x<0,\end{array}$
  • 여기서 $k_1$와 $k_2$는 복소 상수(complex constants)이며, 위의 함수는 다음 기본 일-차 비-푹스 미분 방정식(non-Fuchsian differential equation)의 일반 해입니다:
  • $x^3\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}+2f=0.$
  • 다시 말하지만 그것은 $k_1$ 또는 $k_2$가 영이 아니면 전체 $\mathbb{R}$ 위에 분포를 정의하지 않습니다: 따라서 그러한 방정식의 유일한 분포적 전역 해는 영 분포이고, 이것은 미분 방정식 이론의 이 가지에서 분포 이론의 방법이 같은 이론의 다른 가지, 특히 상수 계수를 갖는 선형 미분 방정식 이론에서 달성된 같은 성공을 가지도록 기대할 수 없는 방법을 보여줍니다.

Applications

지역적으로 적분-가능 함수는 분포 이론(distribution theory)에서 중요한 역할을 하고 경계진 변동의 함수와 같은 다양한 클래스의 함수(functions)와 함수 공간(function spaces)의 정의에서 발생합니다. 더욱이, 그것들은 모든 각 측정의 절대적으로 연속적인 부분을 특성화함으로써 라돈-니코딤 정리(Radon–Nikodym theorem)에 나타납니다.

See also

• Compact set
• Distribution (mathematics)
• Lebesgue integral

References

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• Schwartz, Laurent (1998) [1966], Théorie des distributions, Publications de l'Institut de Mathématique de l'Université de Strasbourg (in French), vol. No. IX–X (Nouvelle ed.), Paris: Hermann Éditeurs, pp. xiii+420, ISBN 2-7056-5551-4, MR 0209834, Zbl 0149.09501.
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• Vladimirov, V. S. (2002), Methods of the theory of generalized functions, Analytical Methods and Special Functions, vol. 6, London–New York: Taylor & Francis, pp. XII+353, ISBN 0-415-27356-0, MR 2012831, Zbl 1078.46029. A monograph on the theory of generalized functions written with an eye towards their applications to several complex variables and mathematical physics, as is customary for the Author.

External links

 

• Rowland, Todd. "Locally integrable". MathWorld.
• Vinogradova, I.A. (2001) [1994], "Locally integrable function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press