수학(mathematics)에서, 조화 진행(harmonic progression) (또는 조화 수열)은 산술 진행(arithmetic progression)의 역수를 취함으로써 형성된 진행입니다.
동등하게, 수열은 각 항이 이웃 항의 조화 평균(harmonic mean)일 때 조화 진행입니다.
세 번째 동등 특성으로, 그것은 다음 형식의 무한 수열(sequence)입니다:
\( \frac{1}{a} ,\ \frac{1}{a+d}\ , \frac{1}{a+2d}\ , \frac{1}{a+3d}\ , \cdots,\)
여기서 a는 영이 아니고 −a/d은 자연수(natural number)가 아니고, 또는 다음 형식의 유한 수열입니다:
\( \frac{1}{a} ,\ \frac{1}{a+d}\ , \frac{1}{a+2d}\ , \frac{1}{a+3d}\ , \cdots, \frac{1}{a+kd},\)
여기서 a는 영이 아니고, k는 자연수이고 −a/d는 자연수가 아니거나 k보다 더 큽니다.
Examples
- 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6
- 12, 6, 4, 3, \(\tfrac{12}{5}\), 2, … , \(\tfrac{12}{n}\), …
- 30, −30, −10, −6, \(-\tfrac{30}{7}\), … , \(\tfrac{10}{1-\tfrac{2n}{3}}\)
- 10, 30, −30, −10, −6, \(-\tfrac{30}{7}\), … , \(\tfrac{10}{1-\tfrac{2(n-1)}{3}}\)
Sums of harmonic progressions
무한 조화 진행은 합-가능(summable) (무한대까지 합)이 아닙니다.
그것은 (a = 1 및 k = 0인 자명한 경우 외에도) 구별되는 단위 분수의 조화 진행에 대해 정수(integer)로 합하는 것이 가능하지 않습니다. 그 이유는, 필연적으로, 진행의 적어도 하나의 분모는 임의의 다른 분모를 나누지 않는 소수(prime number)로 나눌 수 있는 것입니다.
Use in geometry
만약 같은-직선-위의 점(collinear points) A, B, C 및 D은 D가 A와 B에 관한 C의 조화 켤레(harmonic conjugate)이면, 이들 점의 임의의 하나에서 나머지 세 점까지의 거리가 조화 진행을 형성합니다. 구체적으로, 수열 AC, AB, AD; BC, BA, BD; CA, CD, CB; 및 DA, DC, DB의 각각은 조화 진행이며, 여기서 거리의 각각은 직선의 고정된 방향에 따라 부호화됩니다.
삼각형에서, 만약 높이(altitudes)가 산술 진행(arithmetic progression)이면, 변은 조화 진행입니다.
Leaning Tower of Lire
조화 진행의 훌륭한 예제는 리어리의 기울어진 탑입니다. 그것에서, 균등 블록은 덮인 최대 옆방향 또는 옆으로 거리를 달성하기 위해 서로의 위에 쌓입니다. 블록은 원래 블록 아래 옆으로 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10… 거리로 쌓여집니다. 이것은 질량 중심이 그것이 붕괴되지 않도록 구조물의 중심에 있는 것을 보증합니다. 구조물 위에 무게에서 약간의 증가는 그것을 불안정하고 무너뜨리는 원인이 됩니다.
See also
References
- Mastering Technical Mathematics by Stan Gibilisco, Norman H. Crowhurst, (2007) p. 221
- Standard mathematical tables by Chemical Rubber Company (1974) p. 102
- Essentials of algebra for secondary schools by Webster Wells (1897) p. 307
