기하학(geometry)에서, 절반-공간(half-space)은 평면(plane)이 삼-차원 유클리드 공간(Euclidean space)을 나누는 두 부분 중 하나입니다. 만약 공간이 이-차원(two-dimensional)이면, 절반-공간은 (열린 또는 닫힌) 절반-평면이라고 불립니다. 일-차원(one-dimensional) 공간에서 절반-공간은 절반-직선(half-line) 또는 반직선(ray)이라고 불립니다.
보다 일반적으로, 절반 공간(half-space)은 초평면(hyperplane)이 아핀 공간(affine space)을 나누는 두 부분 중 하나입니다. 즉, 초평면에 입사하지 않는 점은 두 개의 볼록 집합(convex sets, 즉, 절반-공간)으로 분할되어, 한 집합에서 한 점과 다른 집합에서 한 점을 연결하는 임의의 부분-공간이 초평면과 교차해야 함을 만족시킵니다.
절반-공간은 열리거나 닫힐 수 있습니다. 열린 절반-공간은 아핀 공간에서 초평면의 뺄셈에 의해 생성된 두 개의 열린 집합(open sets) 중 하나입니다. 닫힌 절반-공간은 열린 절반-공간과 그것을 정의하는 초평면의 합집합입니다.
절반-공간은 정의하는 초평면을 지정하는 선형 방정식(linear equation)에서 유도된 선형 부등식에 의해 지정될 수 있습니다. 엄격한 선형 부등식(inequality)은 열린 절반-공간을 지정합니다:
\(\quad a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n>b\)
비-엄격한 선형 부등식은 닫힌 절반-공간을 지정합니다:
\(\quad a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\geq b\)
여기서, 모든 실수 \(a_1, a_2, ..., a_n\)은 영이 아니라고 가정합니다.
Properties
- 절반-공간은 볼록 집합(convex set)입니다.
Upper and lower half-spaces
열린 (닫힌) 위쪽 절반-공간은 \(x_n > 0\) (≥ 0)를 만족하는 모든 \((x_1,x_2,...,x_n)\)의 절반-공간입니다. 열린 (닫힌) 아래쪽 절반-공간은 xn이 음수 (비-양수)가 됨을 요구함으로써 유사하게 정의됩니다.
See also
External links
- "Half-plane", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Half-Space". MathWorld.
