수학(mathematics) 및 컴퓨터 과학(computer science)에서, 바닥 함수(floor function)는 입력으로 실수(real number) \(x\)를 취하고 출력으로 \(\operatorname{floor}(x) = \lfloor x\rfloor \)로 표시되는 \(x\)보다 작거나 같은, 가장 큰 정수(integer)를 제공하는 함수(function)입니다. 비슷하게, 천장 함수(ceiling function)는 \(x\)를, \(\operatorname{ceil}(x) = \lceil x \rceil\)로 표시되는, \(x\)보다 크거나 같은 최소 정수를 매핑합니다.
예를 들어, \(\operatorname{floor}(2.4) = \lfloor 2.4\rfloor = 2\) 및 \(\operatorname{ceil}(2.4) = \lceil 2.4 \rceil = 3\)이지만, \(\lfloor 2\rfloor = \lceil 2 \rceil = 2\)입니다.
Notation
x의 정수 부분(integral part 또는 integer part)의 개념은 1798년 아드리앵-마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre)에 의해 이름 entier ("정수"에 대해 프랑스어) 아래에서, 그가 르장드르의 공식(Legendre's formula)의 그의 증명에 대해 그 개념이 요구될 때, 처음 도입되었습니다.
카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)는 이차 상호관계(quadratic reciprocity)의 그의 세 번째 증명 (1808)에서 사각 괄호 표기법 \([x]\)을 도입했습니다. 케네스 아이버슨(Kenneth E. Iverson)은 1962년 그의 책 A Programming Language에서 이름 "바닥(floor)"과 "천장(ceiling)" 및 대응하는 표기법 \(\lfloor x\rfloor \)과 \(\lceil x \rceil \)을 도입할 때까지 수학에서 표준으로 남았습니다. 두 표기법은 이제 수학에서 사용됩니다; 이 기사는 아이버슨을 따릅니다.
수학에서, 바닥 함수는 굵은-괄호 또는 이중-괄호 \([\![x]\!]\)로 역시 쓰일 수 있습니다. 천장 함수는 굵은-괄호 또는 이중-괄호 \(]\!]x[\![\) 또는 단지 정규 역 괄호 ]x[를 사용하는 또 다른 표기법을 가집니다.
x의 음수 값에 대해, x의 정수 부분이라는 용어는 때때로 천장 함수의 값, 즉, x의 값을 0을 향하는 정수로 반올림된 값으로 취해집니다. 언어 APL은 ⌊x를 사용합니다; 다른 컴퓨터 언어는 공통적으로 entier(x) (ALGOL), INT(x) (BASIC, MS Excel), 또는 floor(x)(C, C++, R, 및 Python)와 같은 표기법을 사용합니다.
천장 함수는 이 함수에 대해 표기법을 가지는 비-APL 컴퓨터 언어에서 보통 ceil(x)에 의해 또는 덜 공통적으로 ceiling(x)에 의해 표시됩니다. 표준 키보드 기호를 사용하기 위해 설계된 APL의 후속 언어, J 프로그래밍 언어(J Programming Language)는 천장에 대해 >. 및 바닥에 대해 <.를 사용합니다.
분수 부분(fractional part)은 실수 ''x''에 대해 \(\{x\}\)에 의해 표시되는, 톱니 함수(sawtooth function)이고 다음 공식에 의해 정의됩니다:
\(\quad \{x\} = x -\lfloor x\rfloor.\)
모든 x에 대해,
\(\quad 0\le\{x\}<1.\)
Examples
| x | Floor \(\lfloor x\rfloor\) | Ceiling \(\lceil x\rceil\) | Fractional part \( \{ x \} \) |
| 2 | 2 | 2 | 0 |
| 2.4 | 2 | 3 | 0.4 |
| 2.9 | 2 | 3 | 0.9 |
| −2.7 | −3 | −2 | 0.3 |
| −2 | −2 | −2 | 0 |
Typesetting
바닥과 천장 기능은 보통 (바닥 함수에 대해) 위쪽 또는 (천장 함수에 대해) 아래쪽 수평 막대가 없는 왼쪽 및 오른쪽 사각 괄호와 함께 조판됩니다. 이들 문자는 유니코드에서 제공됩니다:
- U+2308 ⌈ LEFT CEILING (⌈, ⌈)
- U+2309 ⌉ RIGHT CEILING (⌉, ⌉)
- U+230A ⌊ LEFT FLOOR (⌊, ⌊)
- U+230B ⌋ RIGHT FLOOR (⌋, ⌋)
레이텍(LaTeX) 조판 시스템에서, 이들 기호는 수학 모드에서 \lfloor, \rfloor, \lceil 및 \rceil 명령으로 지정될 수 있습니다.
Definition and properties
다음 공식에서, x와 y는 실수, k, m과 n은 정수이고, \(\mathbb{Z}\)는 정수(integer)의 집합 (양수, 음수 및 영)입니다.
바닥과 천장은 다음 집합 방정식에 의해 정의될 수 있습니다:
\(\quad \lfloor x \rfloor=\max \{m\in\mathbb{Z}\mid m\le x\},\)
\(\quad \lceil x \rceil=\min \{n\in\mathbb{Z}\mid n\ge x\}.\)
길이 일의 반-열린 구간에서 정확히 하나의 정수가 있기 때문에, 임의의 실수 x에 대해 다음을 만족시키는 고유한 정수 m과 n이 있습니다:
\(\quad x-1<m\le x \le n <x+1.\)
그런-다음 \(\lfloor x \rfloor = m\) 및 \(\lceil x \rceil = n\)은 바닥과 천장의 정의로 역시 취해질 수 있습니다.
Equivalences
이들 공식은 바닥과 천장을 포함하는 표현을 단순화하기 위해 사용될 수 있습니다.
\(\quad\displaystyle \begin{align}
\lfloor x \rfloor = m &\;\;\mbox{ if and only if } &m &\le x < m+1,\\
\lceil x \rceil = n &\;\;\mbox{ if and only if } &n -1 &< x \le n,\\
\lfloor x \rfloor = m &\;\;\mbox{ if and only if } &x-1 &< m \le x,\\
\lceil x \rceil = n &\;\;\mbox{ if and only if } &x &\le n < x+1.
\end{align}
\)
순서 이론(order theory)의 언어에서, 바닥 함수는 잔류 매핑(residuated mapping), 즉, 갈루아 연결(Galois connection)의 부분입니다: 그것은 정수를 실수에 삽입시키는 함수의 위쪽 인접입니다.
\(\quad\displaystyle \begin{align}
x<n &\;\;\mbox{ if and only if } &\lfloor x \rfloor &< n, \\
n<x &\;\;\mbox{ if and only if } &n &< \lceil x \rceil, \\
x\le n &\;\;\mbox{ if and only if } &\lceil x \rceil &\le n, \\
n\le x &\;\;\mbox{ if and only if } &n &\le \lfloor x \rfloor.
\end{align}
\)
이들 공식은 인수에 정수를 더하는 방법이 함수에 어떤 영향을 미치는지 보여줍니다:
\(\quad\displaystyle \begin{align}
\lfloor x+n \rfloor &= \lfloor x \rfloor+n,\\
\lceil x+n \rceil &= \lceil x \rceil+n,\\
\{ x+n \} &= \{ x \}.
\end{align}
\)
위의 것은 만약 n이 정수가 아니면 절대 참이지 않습니다; 어쨌든, 모든 각 x, y에 대해, 다음 부등식이 유지됩니다:
\(\quad\displaystyle \begin{align}
\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor &\leq \lfloor x + y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1,\\
\lceil x \rceil + \lceil y \rceil -1 &\leq \lceil x + y \rceil \leq \lceil x \rceil + \lceil y \rceil.
\end{align}\)
Relations among the functions
다음인 것은 정의로부터 명확합니다:
\(\quad\displaystyle \lfloor x \rfloor \le \lceil x \rceil,\) 상등을 갖는 것은 x가 정수인 것과 필요충분 조건입니다, 즉,
\(\quad\displaystyle \lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = \begin{cases}
0&\mbox{ if } x\in \mathbb{Z}\\
1&\mbox{ if } x\not\in \mathbb{Z}
\end{cases}\)
사실, 정수 n에 대해, 바닥과 천장 함수 둘 다는 다음 항등식(identity)입니다:
\(\quad\displaystyle \lfloor n \rfloor = \lceil n \rceil = n.\)
명제를 부정하면 바닥과 천장이 서로-바뀌고 그 부호가 변경됩니다:
\(\quad\displaystyle \begin{align}
\lfloor x \rfloor +\lceil -x \rceil &= 0 \\
-\lfloor x \rfloor &= \lceil -x \rceil \\
-\lceil x \rceil &= \lfloor -x \rfloor
\end{align}
\)
및:
\(\quad\displaystyle \lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = \begin{cases}
0&\text{if } x\in \mathbb{Z}\\
-1&\text{if } x\not\in \mathbb{Z},
\end{cases}\)
\(\quad\displaystyle \lceil x \rceil + \lceil -x \rceil = \begin{cases}
0&\text{if } x\in \mathbb{Z}\\
1&\text{if } x\not\in \mathbb{Z}.
\end{cases}\)
명제를 부정하면 분수 부분을 보충합니다:
\(\quad\displaystyle \{ x \} + \{ -x \} = \begin{cases}
0&\text{if } x\in \mathbb{Z}\\
1&\text{if } x\not\in \mathbb{Z}.
\end{cases}\)
바닥, 천장, 및 분수 부분 함수는 거듭상등(idempotent)입니다:
\(\quad\displaystyle \begin{align}
\Big\lfloor \lfloor x \rfloor \Big\rfloor &= \lfloor x \rfloor, \\
\Big\lceil \lceil x \rceil \Big\rceil &= \lceil x \rceil, \\
\Big\{ \{ x \} \Big\} &= \{ x \}.
\end{align}
\)
중첩된 바닥 또는 천장 함수의 그 결과는 정수에 대해 항등 속성에 기인하여 가장-안쪽 함수입니다:
\(\quad\displaystyle \begin{align}
\Big\lfloor \lceil x \rceil \Big\rfloor &= \lceil x \rceil, \\
\Big\lceil \lfloor x \rfloor \Big\rceil &= \lfloor x \rfloor
\end{align}
\)
Quotients
만약 m과 n은 정수이고 n ≠ 0이면,
\(\quad\displaystyle 0 \le \left \{\frac{m}{n} \right\} \le 1-\frac{1}{|n|}.\)
만약 n이 양의 정수이면,
\(\quad\displaystyle \left\lfloor\frac{x+m}{n}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{\lfloor x\rfloor +m}{n}\right\rfloor,\)
\(\quad\displaystyle \left\lceil\frac{x+m}{n}\right\rceil = \left\lceil\frac{\lceil x\rceil +m}{n}\right\rceil.\)
만약 m이 양수이면,
\(\quad\displaystyle n=\left\lceil\frac{n}{m}\right\rceil + \left\lceil\frac{n-1}{m}\right\rceil +\dots+\left\lceil\frac{n-m+1}{m}\right\rceil,\)
\(\quad\displaystyle n=\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n+1}{m}\right\rfloor +\dots+\left\lfloor\frac{n+m-1}{m}\right\rfloor.\)
m = 2에 대해, 이들은 다음임을 의미합니다:
\(\quad\displaystyle n= \left\lfloor \frac{n}{2}\right \rfloor + \left\lceil\frac{n}{2}\right \rceil.\)
보다 일반적으로, 양수 m에 대해 (에르미트의 항등식(Hermite's identity)을 참조하십시오)
\(\quad\displaystyle \lceil mx \rceil =\left\lceil x\right\rceil + \left\lceil x-\frac{1}{m}\right\rceil +\dots+\left\lceil x-\frac{m-1}{m}\right\rceil,\)
\(\quad\displaystyle \lfloor mx \rfloor=\left\lfloor x\right\rfloor + \left\lfloor x+\frac{1}{m}\right\rfloor +\dots+\left\lfloor x+\frac{m-1}{m}\right\rfloor.\)
다음은 바닥을 천장으로 변환하기 위해 사용될 수 있고 그 반대도 마찬가지입니다 (m은 양수)
\(\quad\displaystyle \left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil = \left\lfloor \frac{n+m-1}{m} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{n - 1}{m} \right\rfloor + 1, \)
\(\quad\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor = \left\lceil \frac{n-m+1}{m} \right\rceil = \left\lceil \frac{n + 1}{m} \right\rceil - 1, \)
모든 m과 n 엄격하게 양의 정수에 대해:
\(\quad\displaystyle \sum_{k = 1}^{n - 1} \left\lfloor \frac{k m}{n} \right\rfloor = \frac{(m - 1)(n - 1)+\gcd(m,n)-1}2,\)
이것은, 양수 및 서로소(coprime) m과 n에 대해, 다음으로 줄어듭니다:
\(\quad\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \left\lfloor \frac{km}{n} \right\rfloor = \frac{1}{2}(m - 1)(n - 1).\)
일반적인 경우의 오른쪽 변이 m과 n에서 대칭이므로, 이것은 다음임을 의미합니다:
\(\quad\displaystyle \left\lfloor \frac{m}{n} \right \rfloor + \left\lfloor \frac{2m}{n} \right \rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{(n-1)m}{n} \right \rfloor =
\left\lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor + \left\lfloor \frac{2n}{m} \right \rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{(m-1)n}{m} \right \rfloor.
\)
보다 일반적으로, 만약 m과 n이 정수이면,
\(\quad\displaystyle \begin{align}
&\left\lfloor \frac{x}{n} \right \rfloor +
\left\lfloor \frac{m+x}{n} \right \rfloor +
\left\lfloor \frac{2m+x}{n} \right \rfloor +
\dots +
\left\lfloor \frac{(n-1)m+x}{n} \right \rfloor\\=
&\left\lfloor \frac{x}{m} \right \rfloor +
\left\lfloor \frac{n+x}{m} \right \rfloor +
\left\lfloor \frac{2n+x}{m} \right \rfloor +
\cdots +
\left\lfloor \frac{(m-1)n+x}{m} \right \rfloor.
\end{align}
\)
이것은 때때로 상호관계 법칙(reciprocity law)이라고 불립니다.
Nested divisions
양의 정수 n, 및 임의의 실수 m, x에 대해:
\(\quad\displaystyle \left\lfloor \frac{\lfloor x/m\rfloor}{n} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{x}{mn} \right\rfloor \)
\(\quad\displaystyle \left\lceil \frac{\lceil x/m\rceil}{n} \right\rceil = \left\lceil \frac{x}{mn} \right\rceil. \)
Continuity and series expansions
이 기사에서 논의된 함수 중 어느 것도 연속적(continuous)이지는 않지만, 모두는 조각별 선형(piecewise linear)입니다: 함수 \(\lfloor x \rfloor\), \(\lceil x \rceil\), 및 \(\{ x\}\)는 정수에서 불연속성을 가집니다.
\(\lfloor x \rfloor\) is upper semi-continuous and \(\lceil x \rceil\) and \(\{ x\}\) are lower semi-continuous.
이 기사에서 논의된 함수 중 어느 것도 연속적이지 않기 때문에, 그들 중 어느 것도 거듭제곱 급수(power series) 전개를 가지지 않습니다. 바닥과 천장은 주기적이지 않기 때문에, 그들은 균등하게 수렴하는 푸리에 급수(Fourier series) 전개를 가지지 않습니다. 분수 부분 함수는 정수가 아닌 x에 대해 다음 푸리에 급수 전개를 가집니다:
\(\quad\displaystyle \{x\}= \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty
\frac{\sin(2 \pi k x)} {k}\)
불연속의 점에서, 푸리에 급수는 바닥, 천장 및 분수 부분 함수와 달리, 왼쪽과 오른쪽에 대한 극한의 평균인 값으로 수렴합니다: 고정된 y 및 y의 배수 x에 대해, 주어진 푸리에 급수는 x mod y = 0가 아니라 y/2로 수렴합니다. 연속성의 점에서, 그 급수는 참 값으로 수렴합니다.
공식 floor(x) = x − {x}를 사용하면 정수가 아닌 x에 대해 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle \lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}\)
Applications
Mod operator
정수 x과 양의 정수 y에 대해, x mod y로 표시되는 모듈로 연산(modulo operation)은 x가 y에 의해 나누어질 때 나머지의 값을 제공합니다. 이 정의는, 다음 공식에 의해, 실수 x와 y, y ≠ 0으로 확장될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle x \bmod y = x-y\left\lfloor \frac{x}{y}\right\rfloor.\)
그런-다음 이 확장된 연산이 많은 자연스러운 속성을 만족시킴은 바닥 함수의 정의를 따릅니다. 특히, x mod y는 항상 0과 y 사이에 있습니다. 즉,
만약 y가 양수이면,
\(\quad\displaystyle 0 \le x \bmod y <y,\)
그리고 만약 y가 음수이면,
\(\quad\displaystyle 0 \ge x \bmod y >y.\)
Quadratic reciprocity
아이젠 슈타인에 의해 수정된 가우스의 이차 상호-관계(quadratic reciprocity)의 증명은 두 기본 단계를 가집니다.
p와 q를 양의 홀수 소수로 놓고, 다음을 놓습니다:
\(\quad\displaystyle m = \frac{p - 1}{2},\) \(n = \frac{q - 1}{2}.\)
먼저, 가우스의 보조정리(Gauss's lemma)는 제공된 르장드르 기호(Legendre symbol)가 다음에 의해 주어짐을 보이기 위해 사용됩니다:
\(\quad\displaystyle \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{q}{p}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2q}{p}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{mq}{p}\right\rfloor }\)
및
\(\quad\displaystyle \left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{p}{q}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2p}{q}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{np}{q}\right\rfloor }.\)
두 번째 단계는 다음임을 보이기 위해 기하 인수를 사용하는 것입니다:
\(\quad\displaystyle \left\lfloor\frac{q}{p}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2q}{p}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{mq}{p}\right\rfloor
+\left\lfloor\frac{p}{q}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{2p}{q}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor\frac{np}{q}\right\rfloor
= mn.\)
이들 공식을 결합하면 다음 형식에서 이차 상호관계를 제공합니다:
\(\quad\displaystyle \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{mn}=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}.\)
작은 숫자 모드 홀수 소수 p의 이차 성질을 표현하기 위해 바닥을 사용하는 공식이 있습니다:
\(\quad\displaystyle \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{p+1}{4}\right\rfloor},\)
\(\quad\displaystyle \left(\frac{3}{p}\right) = (-1)^{\left\lfloor\frac{p+1}{6}\right\rfloor}.\)
Rounding
임의의 실수 \(x\)에 대해, 양의 무한대로 향하는 동점 깨기(tie breaking)를 갖는 \(x\)를 가장-가까운 정수로 반올림(rounding)은 \(\text{rpi}(x)=\left\lfloor x+\tfrac{1}{2}\right\rfloor = \left\lceil \tfrac{\lfloor 2x \rfloor}2 \right\rceil\)에 의해 제공됩니다; 음의 무한대로 향하는 반올림은 \(\text{rni}(x)=\left\lceil x-\tfrac{1}{2}\right\rceil = \left\lfloor \tfrac{\lceil 2x \rceil}2 \right\rfloor\)으로 제공됩니다.
만약 동점-깨기가 0으로부터 멀어지는 것이면, 반올림 함수는 \(\text{ri}(x) = \text{sgn}(x)\left\lfloor|x|+\tfrac{1}{2}\right\rfloor\)이고, 보통 가장-가까운 정수 함수(nearest integer function)에서 처럼, 짝수로 향하는 반올림은 보다 성가신 \(\lfloor x\rceil=\left\lfloor x+\tfrac{1}{2}\right\rfloor+\left\lceil\tfrac{2x-1}4\right\rceil-\left\lfloor\tfrac{2x-1}4\right\rfloor-1\)로 표현될 수 있으며, 이것은 양의 무한대로 향하는 반올림에 대해 위의 표현 \(\text{rpi}(x)\) 빼기 \(\tfrac{2x-1}4\)에 대해 정수성(integrality) 지시자(indicator)입니다.
Truncation
양수의 잘림(truncation)은 \(\lfloor x\rfloor\)에 의해 제공됩니다. 음수의 잘림은 \(\lceil x \rceil\)에 의해 제공됩니다. 분명히 \(0\)의 잘림은 그 자체 \(0\)입니다.
실수의 잘림은 \(\text{sgn}(x) \lfloor |x| \rfloor\)에 의해 제공할 수 있으며, 여기서 sgn은 부호 함수(sign function)입니다.
Number of digits
양의 정수 k의 밑수(base) b의 자릿수의 숫자는 다음입니다:
\(\quad\displaystyle \lfloor \log_{b}{k} \rfloor + 1 = \lceil \log_{b}{(k+1)} \rceil .\)
Factors of factorials
n을 양의 정수, p를 양의 소수로 놓습니다. n!을 나누는 p의 최대 거듭-제곱의 지수는 르장드르의 공식(Legendre's formula)의 버전에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle \left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p^3}\right\rfloor + \dots = \frac{n-\sum_{k}a_k}{p-1}\)
여기서 \(n = \sum_{k}a_kp^k\)은 밑수 p에서 n을 쓰는 방법입니다. 이것은 유한 합인데, 왜냐하면 바닥은 \(p^k > n\)일 때 영이기 때문입니다.
Beatty sequence
비티 수열(Beatty sequence)은 모든 각 양의 무리수(irrational number)가 바닥 함수를 통해 자연수(natural number)의 두 분할을 야기하는 방법을 보여줍니다.
Euler's constant (γ)
바닥과 천장을 포함하는 오일러의 상수(Euler's constant) γ = 0.57721 56649 ...에 대해 공식이 있습니다.
\(\quad\displaystyle \gamma =\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx,\)
\(\quad\displaystyle \gamma = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right ),\)
및
\(\quad\displaystyle
\gamma = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{ \left \lfloor \log_2 k \right \rfloor}{k}
= \tfrac12-\tfrac13
+ 2\left(\tfrac14 - \tfrac15 + \tfrac16 - \tfrac17\right)
+ 3\left(\tfrac18 - \cdots - \tfrac1{15}\right) + \dots
\)
Riemann function (ζ)
분수 부분 함수는 역시 리만 제타 함수(Riemann zeta function)의 적분 표시로 나타납니다. 만약 \(\phi(x)\)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속 도함수를 갖는 임의의 함수이면, 다음임을 (부분에 의한 적분을 사용하여) 증명하는 것은 간단합니다:
\(\quad\displaystyle \sum_{a<n\le b}\phi(n) =
\int_a^b\phi(x) \, dx +
\int_a^b\left(\{x\}-\tfrac12\right)\phi'(x) \, dx +
\left(\{a\}-\tfrac12\right)\phi(a) -
\left(\{b\}-\tfrac12\right)\phi(b).
\)
1보다 큰 s의 실수 부분(real part)에 대해 \(\phi(n)={n}^{-s}\)을 놓고 a와 b를 정수로 놓고, b가 무한대로 접근하는 것으로 놓으면 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle \zeta(s) = s\int_1^\infty\frac{\frac12-\{x\}}{x^{s+1}}\,dx + \frac{1}{s-1} + \frac12.\)
이 공식은 −1보다 더 큰 실수 부분을 갖는 모든 s에 대해 유효하고 (s = 1을 제외, 극점이 있는 곳) {x}에 대해 푸리에 전개와 결합하여 제타 함수를 전체 복소 평면으로 확장하기 위해 및 그것의 함수형 방정식을 증명하기 위해 사용될 수 있습니다.
임계 스트립 0 < σ < 1에서 s = σ + it에 대해,
\(\quad\displaystyle \zeta(s)=s\int_{-\infty}^\infty e^{-\sigma\omega}(\lfloor e^\omega\rfloor - e^\omega)e^{-it\omega}\,d\omega.\)
1947년에서 반 더 풀(van der Pol)은 이 표현을 사용하여 제타 함수의 근을 찾기 위한 아날로그 컴퓨터를 구성하기 위해 사용했습니다.
Formulas for prime numbers
바닥 함수는 소수의 특성화하는 여러 공식에서 나타납니다. 예를 들어, \(\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n-1}{m}\right\rfloor\)는 만약 m이 n을 나누면 1과 같고, 그렇지 않으면 0이므로, 양의 정수 n이 소수인 것과 다음인 것은 필요충분(iff) 조건임을 따릅니다:
\(\quad\displaystyle
\sum_{m=1}^{\infty}\left(\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n-1}{m}\right\rfloor\right) = 2.
\)
우리는 소수를 생성하기 위한 공식을 역시 제공할 수 있습니다. 예를 들어, \(p_n\)을 n-번째 소수로 놓고, 임의의 정수 r > 1에 대해, 다음 합에 의해 실수 α를 정의합니다:
\(\quad\displaystyle \alpha = \sum_{m=1}^\infty p_m r^{-m^2}.\)
그런-다음
\(\quad\displaystyle p_n = \left\lfloor r^{n^2}\alpha \right\rfloor - r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^2}\alpha\right\rfloor.\)
비슷한 결과는 다음
\(\quad\displaystyle \left\lfloor \theta^3 \right\rfloor, \left\lfloor \theta^9 \right\rfloor, \left\lfloor \theta^{27} \right\rfloor, \dots\)
이 모두 소수라는 속성을 갖는 숫자 θ = 1.3064... (밀스 상수(Mills' constant))가 있다는 것입니다.
다음
\(\quad\displaystyle \left\lfloor 2^\omega\right\rfloor, \left\lfloor 2^{2^\omega} \right\rfloor, \left\lfloor 2^{2^{2^\omega}} \right\rfloor, \dots\)
이 모두 소수라는 속성을 갖는 역시 숫자 ω = 1.9287800...가 있습니다.
π(x)를 x보다 작거나 같은 소수의 숫자로 놓습니다. 그것은 다음이라는 윌슨의 정리(Wilson's theorem)로부터 간단한 추론입니다:
\(\quad\displaystyle \pi(n) = \sum_{j=2}^n\left\lfloor\frac{(j-1)!+1}{j} - \left\lfloor\frac{(j-1)!}{j}\right\rfloor\right\rfloor.\)
역시, 만약 n ≥ 2이면,
\(\quad\displaystyle
\pi(n) = \sum_{j=2}^n \left\lfloor \frac{1}{\sum_{k=2}^j\left\lfloor\left\lfloor\frac{j}{k}\right\rfloor\frac{k}{j}\right\rfloor}\right\rfloor.
\)
이 섹션에서 어떤 공식도 실용적이지 않습니다.
Solved problems
라마누젠(Ramanujan)은 이들 문제를 Journal of the Indian Mathematical Society에 제출했습니다.
만약 n이 양의 정수이면, 다음임을 입증합니다:
(i) \(\displaystyle \left\lfloor\tfrac{n}{3}\right\rfloor + \left\lfloor\tfrac{n+2}{6}\right\rfloor + \left\lfloor\tfrac{n+4}{6}\right\rfloor = \left\lfloor\tfrac{n}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\tfrac{n+3}{6}\right\rfloor,\)
(ii) \(\left\lfloor\tfrac12 + \sqrt{n+\tfrac12}\right\rfloor = \left\lfloor\tfrac12 + \sqrt{n+\tfrac14}\right\rfloor,\)
(iii) \(\left\lfloor\sqrt{n}+ \sqrt{n+1}\right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{4n+2}\right\rfloor.\)
Unsolved problem
워링의 문제(Waring's problem)의 연구는 해결되지 않는 문제로 이어져 왔습니다:
다음임을 만족하는 임의의 양의 정수 k ≥ 6가 있습니까?
\(\quad\displaystyle 3^k-2^k\left\lfloor \left(\tfrac32\right)^k \right\rfloor > 2^k-\left\lfloor \left(\tfrac32\right)^k \right\rfloor -2\)
말러(Mahler)는 그러한 k의 유한 숫자가 오직 존재할 수 있음을 입증되어 왔습니다; 어떤 것도 알려진 것이 없습니다.
Computer implementations
대부분의 프로그래밍 언어에서, 부동-점 숫자를 정수로 변환하기 위한 가장 간단한 방법은 바닥 또는 천장이 아니라, 잘림(truncation)을 하는 것입니다. 이것은 역사적인데, 왜냐하면 최초의 기계가 일의 보수(ones' complement)를 사용하고 잘림은 구현하기가 더 간단했기 때문입니다. (바닥은 이의 보수(two's complement)에서 더 간단합니다). 포트란(FORTRAN)은 이 동작을 요구하도록 정의되었었고 따라서 거의 모든 프로세서가 이 방법으로 변환을 구현합니다. 일부는 이것을 원점의 음의 측면에서 음의 오프셋과 그래픽을 처리하는 버그로 이어지게 되는 불행한 역사적 설계 결정으로 여깁니다.
\(n\)에 의한 부호화된 정수 \(x\)의 비트-별 오른쪽-이동(bit-wise right-shift)은 \(\left\lfloor \frac{x}{2^n} \right\rfloor\)와 같습니다. 2의 거듭제곱으로 나눗셈은 종종 오른쪽-이동으로 쓰여졌는데, 가정되었던 최적화에 대한 것이 아니라 음의 결과의 바닥이 필요하기 때문입니다. 그러한 이동을 가정하는 것은 "시기-상조의 최적화"이고 그들을 나눗셈으로 대체하는 것은 소프트웨어가 손상될 수 있습니다.
많은 프로그래밍 언어 ((including C, C++, C#, Java, PHP, R, 및 Python을 포함함)가 보통 floor 및 ceil으로 불리는 바닥 및 천장에 대해 표준 함수를 제공합니다.
Spreadsheet software
대부분의 스프레드시트(spreadsheet) 프로그램은 ceiling 함수의 특정 형식을 지원합니다. 비록 세부-사항은 프로그램마다 다를지라도, 대부분의 구현은 두 번째 매개 변수—주어진 숫자가 반올림되려는 것의 배수를 지원합니다. 예를 들어 ceiling(2, 3)은 2를 3의 가장-가까운 배수로 반올림하고, 3을 제공합니다. "반올림"의 의미에 대한 정의는, 어쨌든, 프로그램마다 다릅니다.
Excel 2010까지, Microsoft Excel의 ceiling 함수는 음의 인수에 대해 부정확했습니다; 천장(−4.5)은 −5였습니다. 이것은 Office Open XML 파일 형식을 통해 이어졌습니다. Excel 2010은 이제 표준 정의를 따릅니다. 한편, 그것의 roundup 함수는 영에서 멀어지는 반올림을 계속합니다.
OpenOffice.org, Libreoffice 및 다른 것에 의해 사용된 것처럼, OpenDocument 파일 형식은 Excel 호환성에 대해 선택적 매개 변수와 함께 그것의 ceiling 함수에 대해 천장의 수학적 정의를 따릅니다. 예를 들어, CEILING(-4.5)는 -4를 반환합니다.
See also
References
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External links
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- Weisstein, Eric W. "Floor Function". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Ceiling Function". MathWorld.